Москва, г. Москва и Московская область, Россия
Уже достаточно давно известны фракталы, построение которых сводится к вырезанию элементов по определенной закономерности из отрезков, кривых или геометрических фигур. Если фрактал полностью самоподобен, его размерность уменьшается относительно исходного объекта и, как правило, становится дробной. Весь фрактал зачастую распадается на совокупность отдельных элементов, организованных в пространстве соответствующей мерности. Одним из первых, еще в конце XIX в., такое фрактальное множество предложил немецкий математик Георг Кантор. Затем в начале ХХ в. польским математиком Вацлавом Серпинским был описан ковер Серпинского — один из вариантов обобщения множества Кантора на двумерное пространство. Еще позднее австриец Карл Менгер создал трехмерный аналог фрактала Серпинского. Подобные множества отличаются по ряду параметров от прочих фракталов, поэтому их следует рассмотреть отдельно. В данной статье предложено называть такие фракталы i-фракталами (от лат. interfican — «вырезать»). Основное внимание уделяется пространственным i-фракталам, созданным на основе принципов Кантора, Серпинского и прочих фрактальных зависимостей. Математика пространственных фрактальных множеств очень сложна для восприятия, поэтому использовались компьютерные модели, разработанные в программах трехмерного моделирования КОМПАС и SolidWorks, полученные данные обрабатывались при помощи математических программ. Используя фрактальные принципы, можно создать большое число моделей трехмерных i-фракталов, поэтому к важным задачам исследования относится разработка классификации таких объектов. Кроме того, были проанализированы особенности геометрии пространственных i-фракталов и предложены общие принципы их создания.
множества Кантора, фракталы Серпинского, i-фракталы, пены, губки, тюли, монополостные фракталы, гольф-фракталы.
Вступление
В [9] представлено исследование пространственных фракталов, созданных путем «доращивания» мономеров (в литературе встречаются также термины «генератор» [13] и «фрагмент» [22]). Данная же статья посвящается фракталам, созданным путем вырезания мономеров (аналогам фракталов Серпинского [25] и Кантора [2], [15]).
1. Александров П.С. Введение в теорию размерности [Текст] / П.С. Александров, Б.А. Пасынков. — М.: Наука, 1973.
2. Болотов В.Н. Обобщенная функция Кантора и переходное фрактальное рассеяние [Текст] / В.Н. Болотов // Журнал технической физики. — 2002. — Т. 72. — № 2. — С. 8–15.
3. Бушманова Г.В. Введение в конформную геометрию [Текст] / Г.В. Бушманова, А.П. Норден. — М.: Наука, 1964.
4. Брылкин Ю.В. Моделирование структуры рельефа реальных поверхностей на основе фракталов в аэродинамике разреженных газов [Текст] / Ю.В. Брылкин, А.Л. Кусов // Космонавтика и ракетостроение. — 2014. — № 3. — C. 22–28.
5. Брылкин Ю.В. Фрактальный подход к описанию поверхностей металлов и сплавов [Текст] / Сборник научных статей докторантов и аспирантов московского государственного университета леса // Научные труды. — Вып. 364. — М.: МГУЛ, 2013. — С. 5–10.
6. Гончаров В.Д. Модель пористости на основе обобщенной губки Менгера [Текст] / В.Д. Гончаров, В.Ю. Ильинова // Физические, химические и климатические факторы продуктивности полей. — СПб.: Изд-во ПИЯФ РАН, 2007. — С. 44–47.
7. Вейль Г. Симметрия [Текст] / Г. Вейль; пер. с англ. Б.В. Бирюкова и Ю.А. Данилова, под ред. Б.А. Розенфельда. — М.: Наука, 1968. — С. 101.
8. Жихарев Л.А. Обобщение на трёхмерное пространство фракталов Пифагора и Коха. Часть 1 [Текст] / Л.А. Жихарев // Геометрия и графика. — 2015. — Т. 3. — № 3. — С. 24–37. — DOI: 10.12737/14417.
9. Кагдин А.Н. Фрактальное моделирование и нейронные электрические сети [Текст] / А.Н. Кагдин, Д.А. Джапарова, К.И. Терехов // Вопросы современной науки и практики. Университет им. В.И. Вернадского. — 2014. — Спец. вып. (52). — С. 65–70.
10. Кантор Г. Труды по теории множеств [Текст] / Г. Кантор — М.: Наука, 1985.
11. Кэрролл Р.Т. Бритва Оккама [Текст] / Р.Т. Кэрролл // Энциклопедия заблуждений: собрание невероятных фактов, удивительных открытий и опасных поверий. — М.: Диалектика, 2005. — С. 78–82.
12. Мамедов Дж.И. Моделирование нестационарных процессов переноса вещества и адсорбции в пористой среде на основе фрактала «губка Менгера» [Текст] / Дж.И. Мамедов, А.Г. Нагиев // Известия высших учебных заведений. Химия и химическая технология. — 2009. — № 10.
13. Морозов Д.А. Введение в теорию фракталов [Текст] / Д.А. Морозов. — М.: Институт компьютерных исследований, 2002. — С. 12–16.
14. Лисичкин Г.В. Химия привитых поверхностных соединений [Текст] / Г.В. Лисичкин, А.Ю. Фадеев — М.: ФИЗМАЛИТ, 2003. — С. 33–38.
15. Осташков В.Н. Диалоги о фракталах [Текст] / В.Н. Осташков. — Тюмень: Изд-во ТюмГНГУ, 2011. — 292 с.
16. Селиванов Д.Ф. Тело геометрическое [Текст] / Д.Ф. Селиванов // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона. 86 т. — СПб., 1890–1907.
17. Федер Е. Фракталы [Текст] / Е. Федер; пер. с англ. — М.: Мир, 1991. — С. 30–34.
18. Шмидт Ф.К. Фракталы в физической химии гетерогенных систем и процессов [Текст] / Ф.К. Шмидт. — Иркутск: Изд-во Иркутского ун-та, 2000. — 147 с.
19. Avnir D. Nouv [Текст] / D. Avnir, D. Farin // J. Chim. 1992. V. 16. P. 439.
20. Cipriani F. Fredholm modules on pcf self-similar fractals and their conformal geometry [Текст] / F. Cipriani, J.L. Sauvageot // Communications in mathematical physics. 2009. V. 286. № 2. Pp. 541–558.
21. Koch N.F.H. von Sur une courbe continue sans tangente, obtenue par une construction géométrique élémentaire [Текст] / N.F.H. von Koch. Stockholm, 1904.
22. Mandelbrot B.B. The Fractal Geometry of Nature [Текст] / B.B. Mandelbrot, W.H. Freeman. New York, 1982.
23. Menger К. Selected papers in logic and foundations, didactics and economics [Текст] / К. Menger. — Boston: Reidel, 1979.
24. Rogowski W. Die elektrische Festigkeit am l ande des Plaltenkondensators. (нем.) [Текст] / W. Rogowski // Archiv ftir Elektrotechnik. Bd., 1923. 12. S. 1–15. DOI: 10.1007/ BF01656573.
25. Sierpinski W. Sur line courbe dont tout point est un point de ramification [Текст] / W. Sierpinski // Comptes Rendus. Paris: 1915. Pp. 160, 302.
26. Sierpinski W. Sur une courbe cantorienne qui contient une image biunivoque et continue de toute courbe doimee [Текст] / W. Sierpinski // Comptes Rendus. Paris, 1916. Pp. 162, 629.
27. Spider H.Z. fur. Clumie [Текст] / H. Spider. 1988. V. 28. No. 12. С. 426.
28. 3D-печать — будущее бетона [Электронный ресурс] / ProGrinding.ru. 2012. — URL: http://progrinding.ru/2012/08/16/3d-pechat-budushhee-betona/3D-печать из металла набирает обороты [Электронный ресурс] / Top 3D Shop. 2016.
29. URL: https://geektimes.ru/company/top3dshop/blog/280098/
