г. Москва и Московская область, Россия
Москва, г. Москва и Московская область, Россия
ГРНТИ 67.11 Строительные конструкции
ГРНТИ 67.01 Общие вопросы строительства
ОКСО 08.02.02 Строительство и эксплуатация инженерных сооружений
ББК 222 Механика
ББК 30 Техника и технические науки в целом
ББК 38 Строительство
ББК 385 Строительные конструкции
ББК 308 Монтаж, эксплуатация, ремонт машин и промышленного оборудования
ТБК 50 Технические науки в целом
ТБК 5014 Техническая физика
ТБК 54 Строительство
ТБК 5414 Строительные конструкции
Ферма с одной неподвижной шарнирной и тремя подвижными опорами имеет двойную крестообразную решетчатую структуру. Выводятся аналитические зависимости прогиба от числа панелей. Уравнения для определения усилий в стержнях решаются в символьной форме в системе компьютерной математики Maple. Применяется формула Максвелла - Мора и метод индукции для получения общего решения.
Ферма, прогиб, формула Максвелла- Мора, Maple
Расчет перемещений узлов фермы, необходимый для оценки ее деформативности, обычно выполняют численно в одном из стандартных пакетов. С увеличением числа стержней в ферме увеличивается и размер матрицы уравнений равновесия узлов. Начиная с некоторого значения, любой численный метод начинает давать погрешности, недопустимые, если речь идет о таких ответственных расчетах, как расчеты мостов, покрытий промышленных сооружений, концертных залов, стадионов. Именно в таких сооружениях как правило применяются фермы с большим числом панелей. В работах [1-3] показано, что для многих статически определимых стержневых регулярных (с периодической решеткой) ферм возможно получить формульное решение, свободное от упомянутого "проклятия размерности". Аналитические решения для пространственных [4-10] и плоских ферм [11-19] получены с использованием системы компьютерной математики Maple и метода индукции. В настоящей работе на основе программы [20] для нахождения усилий в стержнях статически определимых фермах и упомянутого метода индукции выводятся формулы для прогиба центрального узла плоской фермы (рис. 1). Ферма с n панелями (считаются по нижнему поясу) содержит m=4n+18 стержней и 2n+9 сочленяющих узлов. Ферма статически определима, однако из трех уравнений равновесия конструкции в целом (как это обычно делается в начале расчета) найти пять реакций не удается. Это связано с тем, что ферма без опор не является жестким телом и имеет две степени свободы. Отсюда неизбежно применения полного расчета фермы вырезанием всех узлов и составление общей системы равновесия.
1. Рассмотрим решение задачи о действии сосредоточенной силы. В программу [20] вводятся координаты узлов, порядок соединения стержней и узлов. Результатом расчетов являются аналитические выражения для усилий. Смещение вычисляется по формуле Максвелла – Мора
где — усилия в стержнях фермы от действия единичной нагрузки P,
— длины стержней, EF — жесткость стержней (принята одинаковой для всех стержней). Принимается четное число панелей n=2k. Суммирование ведется по всем стержням, кроме опорных. В процессе счета было замечено, что при k=2,5,8... определитель системы уравнений равновесия обращается в ноль. Для того, чтобы исключить эти значения из метода индукции для параметра k выбирается закон изменения
Рис.1. Ферма при значениях
Получено следующее выражение для прогиба
(1)
где 
. Методом индукции найдены коэффициенты
Для этого из решений для ферм с числом панелей от 1 до 14 были выявлены последовательности коэффициентов перед кубами линейных размеров a и c соответственно:
Оператор rgf_findrecur из пакета genfunc системы Maple по этим данным дал рекуррентные уравнения, которым удовлетворяют члены последовательностей:
Рис.2. График зависимости прогиба фермы от числа панелей, L=100м
Одновременно с выводом формулы для прогиба можно получить и формулы для расчета реакции опоры стержней. Горизонтальная компонента реакции неподвижной опоры: . Вертикальные реакции подвижных опор:
2. Рассчитаем в (1) коэффициенты от распределенной нагрузки ( рис.3).
Рис.3. Ферма с распределенной нагрузкой
Методом индукции получено
Для этого из решений для ферм с числом панелей от 1 до 18 были выявлены последовательности коэффициентов перед кубами линейных размеров a и c соответственно:
7, 207, 399, 1871, 2811, 7683, 10315, 21771, 27423, 49703, 60087, 98487, 115699, 176571, 203091, 293843, 332535, 461631
Оператор rgf_findrecur из пакета genfunc системы Maple по этим данным дал рекуррентные уравнения, которым удовлетворяют члены последовательностей:
.
1. Hutchinson R. G., Fleck N.A. Microarchitectured cellular solids – the hunt for statically determinate periodic trusses // ZAMM Z. Angew. Math. Mech. 2005. 85, No. 9, Pp. 607–617.
2. Hutchinson R.G., Fleck N.A. The structural performance of the periodic truss // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. 2006. Vol. 54. No. 4. Pp. 756-782.
3. Zok F. W., Latture R. M., Begley M. R. Periodic truss structures // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. 2016. vol. 96. Pp. 184–203. https://doi.org/10.1016/j.jmps.2016.07.007
4. Kirsanov M. N. Stress State and Deformation of a Rectangular Spatial Rod Cover // Scientific Herald of the Voronezh State University of Architecture and Civil Engineering. Construction and Architecture. 2016. Vol. 31. No. 3. Pp. 71–79.
5. Kirsanov M. N. Analysis of the buckling of spatial truss with cross lattice // Magazine of Civil Engineering. 2016. No. 4. Pp. 52 – 58. DOI: 10.5862/MCE.64.5
6. Кирсанов М.Н. Аналитическое исследование жесткости пространственной статически определимой фермы // Вестник МГСУ. 2017. Т. 12. Вып. 2 (101). С. 165–171.
7. Кирсанов М.Н., Андреевская Т.М. Анализ влияния упругих деформаций мачты на позиционирование антенного и радиолокационного оборудования // Инженерно-строительный журнал. 2013. №5(40). С. 52-58.
8. Кирсанов М.Н. Изгиб, кручение и асимптотический анализ пространственной стержневой консоли // Инженерно-строительный журнал. 2014. № 5 (49). С. 37-43.
9. Кирсанов М.Н. Расчет пространственной стержневой системы, допускающей мгновенную изменяемость // Строительная механика и расчет сооружений. 2012. № 3. С. 48–51.
10. Voropai R. A., Kirsanov M.N. On the deformation of spatial cantilever trusses under the action of lateral loads // Science Almanac. 2016. No. 9–2(23). С.17–20. DOI: 10.17117/na.2016.09.02.017
11. Доманов Е. В. Аналитическая зависимость прогиба пространственной консоли треугольного профиля от числа панелей//Научный альманах. 2016. №6–2 (19). С. 214–217. DOI: 10.17117/na.2016.06.02.214
12. Ершов Л.А Формулы для расчета деформаций пирамидального купола // Научный альманах. 2016. № 11-2(25). С. 315–318. DOI: 10.17117/na.2016.11.02.315
13. Tinkov D. V., Safonov A. A. Design Optimization of Truss Bridge Structures of Composite Materials // Journal of Machinery Manufacture and Reliability. 2017. Vol. 46, No. 1, Pp. 46–52. DOI: 10.3103/S1052618817010149
14. Астахов С.В. Вывод формулы для прогиба внешне статически неопределимой плоской фермы под действием нагрузки в середине пролета// Строительство и архитектура. 2017. Т. 5. № 2. С. 50-54.
15. Кирсанов М.Н., Суворов А.П. Исследование деформаций плоской внешне статически неопределимой фермы // Вестник МГСУ. 2017. Т. 12. Вып. 8 (107). С. 869-875. DOI: 10.22227/1997-0935.2017.8.869-875
16. Кирсанов М.Н. Анализ прогиба арочной фермы // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2017. – № 5. – С. 50-55
17. Кирсанов М. Н. Анализ усилий и деформаций в корабельном шпангоуте моделируемого фермой // Вестник Государственного университета морского и речного флота имени адмирала С. О. Макарова. — 2017. — Т. 9. — № 3. — С. 560–569. DOI: 10.21821/2309-5180-2017-9-3-560-569
18. Kirsanov M.N., Zaborskaya N.V. Deformations of the periodic truss with diagonal lattice // Magazine of Civil Engineering. 2017. No. 3. Pp. 61–67. doi: 10.18720/MCE.71.7.).
19. Belyankin N.A., Boyko A. Y. Analysis of the deflection of the flat statically determinate girder // Sciense Almanac. 2017. N 2-3(28). С. 246-249. https://elibrary.ru/download/elibrary_28913792_32626016.pdf
20. Кирсанов М.Н. Maple и Maplet. Решения задач механики. СПб.: Изд-во Лань, 2012. 512 с.
