сотрудник
Москва, г. Москва и Московская область, Россия
студент
Москва, г. Москва и Московская область, Россия
ГРНТИ 67.11 Строительные конструкции
ББК 385 Строительные конструкции
В основе расчета лежит аппроксимация исходного дифференциального уравнения изгиба тонкой изотропной пластинки с использованием обобщенных уравнений метода конечных разностей (МКР), полученных относительно вторых производных функции прогибов. Эти уравнения позволяют решать задачу в пределах интегрируемой области с учетом разрывов искомой функции, ее первой производной и правой части исходного дифференциального уравнения. Из системы уравнений получаем значения вторых производных искомой функции в каждой расчетной точке сетки. Используя известные зависимости можно перейти к изгибающим моментам, что упрощает решение. В статье изложен алгоритм решения задач с использованием предложенной методики. Приведены примеры расчетов с различными граничными условиями и нагрузкой при минимальном числе разбиений. Результаты сравниваются с решением С.П. Тимошенко в рядах. Такой подход может быть использован в качестве методических рекомендаций, а также для проведения поверочных расчетов при проектировании конструкций.
изгибаемая плита, тонкая, изотропная, искомая функция, разрыв функции, численное реше-ние, обобщенные уравнения метода конечных разностей
Разрешающее дифференциальное уравнение изгиба тонкой пластинки [1] имеет вид:
(1)
где 
– прогиб; 
– интенсивность распределенной нагрузки; 
– цилиндрическая жесткость.
Перейдем к безразмерным параметрам и понизим порядок уравнения (1), введя обозначения
(2)
получим:
(3)
где 
- интенсивность нагрузки в какой-либо точке, 
– длина одной из сторон плиты.
Внутренние усилия также запишем в безразмерном виде:
(4)
Приведем разностную аппроксимацию дифференциального уравнения (3), используя обобщенное уравнение метода конечных разностей МКР (2.1.17) [2] при 
, 
с заменой 
на 
.
(5)
(6)
Здесь 
и 
– величины разрывов безразмерной поперечной силы в направлениях 
соответственно в точке, расположенной на бесконечно малом расстоянии от точки 
.
Уравнения записываем на квадратной сетке с шагом h. Фрагмент сетки на которой строится численное решение показан на рис. 1.
Алгоритм расчета сводится к следующему: для определения 
и 
необходимо совместное решение систем уравнений (5) и (6) с учетом граничных условий.
При шарнирном опирании на контуре 
, поэтому для решения достаточно уравнений (5) и (6).
|
|
|
Рис. 1. Шаблон с расчётными точками Рис. 2. Шаблон для записи граничных условий
Получим уравнение описывающее граничные условия при жестком защемлении стороны 
, параллельной оси 
. Граничные условия можно записать в виде уравнения метода последовательных аппроксимаций используя (3.1.6) [2]:
(7)
и выражение 
, при 
, где – точка края, получим
(8)
Для других краев плиты эти уравнения записываются по аналогии с заменой 
на 
. Фрагмент сетки приведен на рис. 2.
Для вычисления вторых производных 
воспользуемся известными формулами метода конечных разностей:
(9)
Формула для 
следует из (9) с заменой на 
.
Приведем решение нескольких задач.
1. Рассмотрим квадратную шарнирно опёртую по контуру плиту, нагруженную распределенными моментами по краям 
. Расчетная схема изображена на рис.3. Принимаем 
. При такой нагрузке момент на контуре 
. 
найдем из зависимостей (4) - 
Для решения необходимо записать уравнения (5) и (6) для расчетных точек поля с учетом симметрии при 
.
Решая систему получим: 
Из (4) определим: 
Результаты, приведенные в работе С.П. Тимошенко [1]: 
. Погрешность по моментам 
– 9,7%, 
– 6,7%.
|
|
Рис. 3. Расчетная схема к задаче 1
2. Квадратная пластинка, три края которой свободно оперты и один защемлен, загружена равномерно распределенной нагрузкой 
. Граничные условия как на рис 4.
Для решения этой задачи наряду с уравнениями (5) и (6) составленных для точки поля 22, необходимо записать уравнение (8) для точки контура 23, учитывающее граничные условия. Значение прогиба в точке 22, в уравнении (8), запишем с использованием известного уравнения метода конечных разностей (9).
(10)
Решая (10) найдем: 
С учётом (4) 
Прогиб 
Решение в рядах [1] для этой задачи дает: 
Погрешность по прогибам - 
по моменту в заделке – 
.
|
Рис. 4. Расчетная схема к задаче 3
|
Рис. 5. Расчетная схема к задаче 4
|
3. Рассмотрим плиту, представленную на рис. 4 под действием гидростатической нагрузки. Уравнения (5) и (6) записываются аналогично предыдущему примеру, при этом 
,5. Уравнение (8) записываем с учетом (9) полагая 
. В результате получим: 
С учётом (4) при
– 
Прогиб 
Решение [1]: 
Погрешность по прогибам – 
по моменту в заделке - 
.
4. Пластинка, жестко закрепленная двумя противоположными сторонами и свободно опертая двумя другими под действием равномерно распределенной нагрузки по всей поверхности (рис. 5). Для решения записываем уравнения (5) и (6) для точки 22, уравнение (8), с учетом (9) для точки 23. При шаге 
, получим следующие результаты: 
С учётом (4) при - 
Прогиб 
Решение [1]: 
Погрешность по прогибу - 
по моменту в заделке - 
.
Таблица 1
Результаты расчетов задач на сетке с шагом 
и 
|
|
|
|
|
|
|
|
задача №1 |
1/2 |
0,0312 |
0,422 |
0,422 |
- |
|
1/4 |
0,0356 |
0,281 |
0,369 |
- |
|
|
решение [1] |
0,0368 |
0,256 |
0,394 |
- |
|
|
задача №2 |
1/2 |
0,0026 |
0,027 |
0,027 |
-0,083 |
|
1/4 |
0,0027 |
0,035 |
0,031 |
-0,0838 |
|
|
решение [1] |
0,0028 |
0,039 |
0,034 |
-0,084 |
|
|
задача №3 |
1/2 |
0,0011 |
0,012 |
0,012 |
-0,051 |
|
1/4 |
0,0013 |
0,015 |
0,017 |
-0,043 |
|
|
решение [1] |
0,0013 |
0,016 |
0,019 |
-0,048 |
|
|
задача №4 |
1/2 |
0,0018 |
0,019 |
0,019 |
-0,067 |
|
1/4 |
0,00187 |
0,022 |
0,028 |
-0,069 |
|
|
решение [1] |
0,0019 |
0,024 |
0,033 |
-0,069 |
|
Решен ряд тестовых задач. Из анализа приведенных результатов следует, что решения с помощью изложенного алгоритма достоверны, погрешность при минимальном числе разбиений плиты на элементы не значительная. Нагрузка может быть любого типа, в том числе сосредоточенная с использованием подхода, показанного в [5], [8], [9], [11]. Исходя из этого, данный метод может быть использован для проведения расчетов подобных задач и для задач с другими вариантами нагрузок и граничных условий. Работа может представлять интерес с методической точки зрения, а также в связи с возможностью определения непосредственно моментов. В заключении отметим, что существует обширная литература, посвященная расчету изгибаемых плит. Расчет методом конечных разностей в традиционной форме представлен в работах [3], [4], [12]. Вариационные методы использованы в [1], [7], [10]. А также решение методом конечных элементов реализовано в вычислительных комплексах [6], [13].
1. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки пер. с англ. М., Изд-во Наука, 1966, 635 с.
2. Габбасов Р.Ф., Габбасов А.Р., Филатов В.В. Численное построение разрывных реше-ний задач строительной механики. М.: Изд-во АСВ, 2008. 280 с.
3. Киселев В.А. Расчет пластин. М: Изд-во Стройиздат, 1973. 151 с.
4. Вайнберг Д.В. Справочник по прочно-сти, устойчивости и колебаниям пластин. К.: Изд-во Будивельник, 1973. 488 с.
5. Михайлов Б.А. Пластинки и оболочки с разрывными параметрами. Л.: Изд-во Ле-нинградского университета, 1980. 196 с.
6. Золотов А.Б., Акимов П.А., Сидоров В.Н., Мозгалева М.Л. Численные и аналити-ческие методы расчета строительных кон-струкций. М. : Изд-во АСВ, 2009. 336 с
7. Варданян Г.С., Андреев В.И., Атаров Н.М., Горшков А.А. Сопротивление материа-лов с основами теории упругости и пластич-ности. Изд-во: М.: Изд-во Инфра-М; издание 2-е, испр. и доп. 2011. 638 с.
8. Gabbasov R. F., Filotov V.V., Ovarova N.B., Mansour A.M. Dissection method applica-tions for complex shaped membranes and plates // Procedia engineering. 2016. Pp. 444–449.
9. Уварова Н.Б., Парамонов Е.Е. Приме-нение обобщенных уравнений метода конеч-ных разностей к расчету изгибаемых плит на локальные и разрывные нагрузки. // Вестник Белгородского государственного технологи-ческого университета им. В.Г. Шухова. 2018. №1. С. 56-59.
10. Биргер И.А., Пановко Я.Г. Прочность, устойчивость, колебания. Спра-вочник в трех томах. Том 1. М.: Изд-во Ма-шиностроение, 1968. 831 с.
11. Габбасов Р.Ф., Ань Хоанг Туан, Ань Нгуен Хоанг. Сравнение результатов расчета тонких изгибаемых плит с использо-ванием обобщенных уравнений методов ко-нечных разностей и последовательных ап-проксимаций. // Промышленное и граждан-ское строительство. 2014. №1. С. 62–64.
12. Жилкин В.А. Расчет шарнирно опертых прямоугольных пластин методом конечных разностей в MathCAD. АПК России. 2017. Т. 24. №1. С. 119–129.
13. Карпиловский В.С., Криксунов Э.З., Маляренко А.А., Перельмутер А.В., Перельмутер М.А., Фи-алко С.Ю. SCAD Office. Версия 21. Вычислитель-ный комплекс SCAD++. Изд-во: «СКАД СОФТ», 2015. 848 с.
