Хабаровск, Хабаровский край, Россия
Хабаровск, Хабаровский край, Россия
Хабаровск, Хабаровский край, Россия
При изучении теории построения обвода по учебной дисциплине «Аффинная и проективная геометрия» по профилям подготовки «Системы автоматизированного проектирования» и «Прикладная информатика в дизайне» выполняется раздел расчетно-графической работы «Построение обвода» в конструктивном исполнении. В указанной расчетно-графической работе выполняются построения обвода кривыми второго порядка (окружность — радиусографическим способом, гипербола, эллипс, парабола — при помощи кривых Паскаля, с учетом положений инженерного дискриминанта). Построения дуги эллипса, гиперболы и параболы осуществляются на основе теоремы Паскаля: во всяком шестиугольнике, вершины которого принадлежат ряду второго порядка, три точки пересечения противоположных сторон лежат на одной прямой — прямой Паскаля. Однако при построении коники (кривая второго порядка) необходимо направить внимание студентов на то, что точки, принадлежащие ряду второго порядка (кривая второго порядка, или коника), составляют геометрическое место точек пересечения смежных противоположных сторон шестиугольника Паскаля. Этим способом студенты успешно строят сопряженные дуги эллипса и гиперболы с другими кониками. Построение дуги параболы, сопряженной также с другими кониками, выполняют методом инженерного дискриминанта (удобнее делить пополам отрезки: медиану и сторону треугольника, которая является противоположной его вершине, через которую проходит дуга параболы). Следует отметить, что теоретический и практический материал по данной теме соответствует освоению необходимых компетенций учебного плана (каждый в своем направлении подготовки), но отдельные аспекты этой темы принимаются студентами «на веру». Целью статьи является исследование способов построения параболы, применяемой для моделирования обвода.
парабола, прямая Паскаля, инженерный дискриминант, сегмент кривой Эрмита, Безу, В-сплайна.
Плоская алгебраическая кривая n-го порядка имеет параметрическое число, равное
Для коники в соответствии с выражением (1) параметрическое число равно 5. Это объясняется и общим положением с позиции аналитической геометрии: исходя из уравнения кривой 2-го порядка в декартовых координатах
Ax2 + By2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0 (2) имеем 6 коэффициентов (A, B, C, D, E, F). Если поделить каждый член уравнения (2) на коэффициент F, то уравнение (2) примет вид
A x2 + B y2 + C xy + D x + E y +1 = 0, в котором 5 параметров. Поэтому заключаем, что для ее задания необходимо 5 параметров — количество коэффициентов: A′, B′, C′, D′, E′, т.е. это ∞5 множество точек, или любые другие условия, сохраняющие именно 5 параметров: 5 точек; три точки и две касательные и т. д. [6; 12; 19]. Однако в случае, если коника проходит через начало координат, то в выражении (2) коэффициент F = 0 [3; 9; 14; 23]. Тогда уравнение такой кривой следует записать как
Ax2 + By2 + Cxy + Dx + Ey = 0, (3) т.е. 5 коэффициентов и, таким образом, 5 параметров. Коэффициенты A, B, C, D, E выражения (3) можно определить, подставив координаты точек в уравнение кривой. Получаем 5 уравнений первой степени. Решая систему пяти уравнений, узнаем искомые коэффициенты [5; 11; 14; 15; 19]. Приведем несколько примеров, применяемых как при конструктивном моделировании параболы (только при помощи прямых Паскаля и свойства инженерного дискриминанта, не затрагивая другие известные способы построения), так и с использованием средств компьютерной визуализации. Пример 1. Принимая «на веру», что при определении параболы и ее касательной t в точке A отрезки OAy и OAy равны, т.е. OA OA y y = (рис. 1), следует доказать это положение известной теоремы. Попутно приведем цитату: «Заметим синтез и анализ, не в математическом, а в общелогическом смысле слова совершенно равноправны, и во всяком исследовании они постоянно переплетаются друг с другом; поэтому едва ли может быть речь о предоставлении господства одному из этих орудий чело-
веческой мысли» [21]. В связи с этим проводимые исследования следует рассматривать и с аналитических позиций [18; 24; 25], которые обеспечивают моделирование с применением информационных технологий [10].
1. Гирш А.Г. Мнимости в геометрии [Текст] / А.Г. Гирш // Геометрия и графика. — 2014. — Т. 2. — № 2. — С 3–8. — DOI: 10.12737/5583.
2. Глаголев Н.А. Проективная геометрия [Текст] / Н.А. Глаголев. — М.: Высшая школа, 1963. — 344 с.
3. Графский О.А. Анализ построения кривых второго порядка [Текст] / О.А. Графский, С.С. Доронина, Н.Х. Галлиулин // Научно-техническое и экономическое сотрудничество стран АТР в XXI веке: Материалы Всерос. науч.-практ. конф. с междунар. участием, 22–24 апреля 2009 г. — В 6 т. — Т. 6. — Хабаровск: Изд-во ДВГУПС, 2009. — С. 165–168.
4. Графский О.А. Аффинная и проективная геометрия [Текст]: методические указания / О.А. Графский. — Хабаровск: Изд-во ДВГУПС, 2013. — 27 с.
5. Графский О.А. Взаимная связь ряда и пучка второго порядка на примере функции Жуковского [Текст] / О.А. Графский, В.В.Сметанина, Е.Н. Ни // Научный взгляд в будущее: Международная научно-практическая интернет-конференция SWorld «Интеллектуальный потенциал XXI века ‘2016». — Вып. 4. — Т. 4. — Одесса: Куприенко С.В., 2016. — С. 70–77. — DOI: 10.21893/2415-7538-2016-04-4-085.
6. Графский О.А. Вычислительная геометрия [Текст]: учеб. пособие / О.А. Графский. — Хабаровск: Изд-во ДВ-ГУПС, 2014. — 150 с.
7. Графский О.А. Вычислительная геометрия [Текст]: метод. указания по выполнению расчетно-графических контрольных работ / О.А. Графский, О.В. Саенко. — Хабаровск: Изд-во ДВГУПС, 2013. — 21 с.
8. Графский О.А. Графоаналитические исследования инволюции [Текст] / О.А. Графский, А.В. Усманов, А.А. Холодилов // Геометрия и графика. — 2017. — Т. 5. — № 1. — C. 3–11. — DOI: 10.12737/25118.
9. Графский О.А. К вопросу обоснования конструирования ряда второго порядка [Текст] / О.А. Графский, Н.Х. Галлиулин // Современные проблемы и пути их решения в науке, транспорте, производстве и образовании ‘2008: Материалы Междунар. науч.-практ. интернет-конф., 15–25 декабря 2008 г. — Одесса: Черноморье, 2008. — С. 59–63.
10. Графский О.А. Некоторые методические аспекты геометро-графической подготовки студентов [Текст] / О.А. Графский, Ю.В. Пономарчук // Проблемы и перспективы развития образования в технических вузах: сб. матер. науч.-метод. конф., 8–10 ноября 2016 г.; под ред. А.Н. Гануса. — Хабаровск: Изд-во ДВГУПС, 2016. — С. 200–204.
11. Графский О.А. Об установлении взаимной связи ряда и пучка второго порядка [Текст] / О.А. Графский // Геометрия и графика. — 2016. — Т. 4. — № 2. — C. 8–18. — DOI: 10. 12737/19828.
12. Графский О.А. Основы аффинной и проективной геометрии [Текст]: учеб. пособие / О.А. Графский. — Хабаровск: Изд-во ДВГУПС, 2013. — 135 с.
13. Графский О.А. Особенности кривых Безье и В-сплайнов [Текст] / О.А. Графский, В.В. Сметанина, Е.Н. Ни // Вопросы науки и образования: теоретические и практические аспекты: Материалы Международной научно-практической конференции 16 мая 2017 г. (Прага, Чехия): Vydavatel "Osviceni", Мир науки, 2017. — С. 99–106.
14. Графский О.А. Теоретико-конструктивные проблемы моделирования мнимых элементов в начертательной геометрии и ее приложениях [Текст]: автореф. дис. ... д-ра техн. наук / О.А. Графский. — М., 2004. — 406 с.
15. Иванов Г.С. Начертательная геометрия [Текст]: учебник для вузов / Г.С. Иванов. — М.: Машиностроение, 1995. — 224 с.
16. Иванов Г.С. Нелинейные формы в инженерной графике [Текст] / Г.С. Иванов, И.М. Дмитриева // Геометрия и графика. — 2017. — Т. 5. — № 2. — C. 30–41. — DOI: 10.12737/article_5953f295744f77.58727642.
17. Иванов Г.С. О задачах начертательной геометрии с мнимыми решениями [Текст] / Г.С. Иванов, И.М. Дмитриева // Геометрия и графика. — 2015. — Т. 2. — № 2. — С 3–8. — DOI: 10.12737/12163.
18. Иванов Г.С. Принцип двойственности — теоретическая база взаимосвязи синтетических и аналитических способов решения геометрических задач [Текст] / Г.С. Иванов, И.М. Дмитриева // Геометрия и графика. — 2016. — Т. 4. — № 3. — С. 3–10. — DOI: 10.12737/21528.
19. Иванов Г.С. Теоретические основы начертательной геометрии [Текст]: учеб. пособие / Г.С. Иванов. — М.: Машиностроение, 1998. — 157 с.
20. Ли К. Основы САПР (CAD/CAM/CAE) [Текст] / К. Ли. — СПб.: Питер, 2004. — 560 с.
21. Протокол 79-го заседания. 31 марта 1898 г. [Текст] / Известия Физико-математического общества Императорского Казанского университета. Вторая серия. — Казань: Типолитография Императорского ун-та, 1898. — Т. 8. — № 2. — С. 18–20.
22. Роджерс Д. Математические основы машинной графики [Текст]: пер с англ. / Д. Роджерс. — М.: Мир, 1989. — 512 с.
23. Савелов А.А. Плоские кривые. Систематика, свойства, применения [Текст]: справочное руководство / А.А. Савелов. — М.: РХД, 2002. — 294 с.
24. Сальков Н.А. Начертательная геометрия — база для геометрии аналитической [Текст] / Н.А. Сальков // Геометрия и графика. — 2016. — Т. 4. — № 1. — C. 44–54. — DOI: 10.12737/18057.
25. Серегин В.И. Междисциплинарные связи начертательной геометрии и смежных разделов высшей математики [Текст] / В.И. Серегин, Г.С. Иванов, И. М. Дмитриева, К.А. Муравьев // Геометрия и графика. — 2013. — Т. 1. — №. 3–4. C. 8–12. — DOI: 10.12737/2124.
26. Столбова И.Д. Актуальные проблемы графической подготовки студентов в технических вузах [Текст] / И.Д. Столбова // Геометрия и графика. — 2014. — Т. 2. — № 1. — C. 30–41. DOI: 10.12737/3846.
27. Столбова И.Д. Об обеспечении качества предметного обучения студентов технического университета [Текст] / И.Д. Столбова // Геометрия и графика. — 2016. — Т. 3. — № 4. — C. 27–37. — DOI: 10.12737/17348.
28. Четверухин Н.Ф. Проективная геометрия [Текст] / Н.Ф. Четверухин. — М.: Просвещение, 1969. — 368 с.
