Иркутск, Иркутская область, Россия
ГРНТИ 55.01 Общие вопросы машиностроения
ГРНТИ 55.13 Технология машиностроения
Рассмотрены динамические свойства техно-логических вибрационных машин на основе модели в виде механической колебательной системы с двумя степенями свободы, содержащей в своем составе устройство для преобразования движения, создающее дополнительные инерционные связи при одновременном действии двух гармонических внешних факторов. Разработан метод построения математических моделей, которые обеспечивают возможности оценки динамических состояний при использовании таких параметров состояния, как отношение динамических реакций связей между опорной поверхностью (источник кинематического возмущения) и рабочим органом.
инерционные связи, динамическое состояние, динамические реакции связей, передаточные функции, динамические эффекты, дополнительные связи
Использование дополнительных связей в структурах механических колебательных систем, рассматриваемых в качестве расчетных схем технических объектов различного назначения, является достаточно развитым направлением в решении задач динамики машин, что нашло отражение в работах [1-5]. Во многих случаях конструктивно-технические формы дополнительных связей реализуются как введение в структуру механических колебательных систем различных механизмов - зубчатых, рычажных, в том числе и винтовых несамотормозящихся устройств. Теоретические основы таких подходов рассматриваются в работах [6-9]. Наличие механизмов как специфических механических цепей в структуре колебательных систем позволяет решать достаточно широкий спектр задач динамики, в которых изменение динамических свойств системы в целом достигается за счет динамических эффектов, возникающих во взаимодействиях элементов системы [10-13]. В рамках структурного математического моделирования, когда механической колебательной системе сопоставляется эквивалентная в динамическом отношении структурная схема системы автоматического управления, дополнительные связи интерпретируются как устройства для преобразования движения (УПД) и реализуются типовыми элементарными звеньями с передаточными функциями двойного дифференцирования [3-5].
Особенности динамических свойств систем с УПД на основе винтовых несамотормозящихся механизмов рассмотрены, в частности, в работах [14-17]. Введение УПД в колебательные структуры позволяет в достаточно широких пределах изменять свойства технических объектов в задачах динамики, в том числе и в защите машин, оборудования и аппаратуры от вибрационных воздействий. В вибрационных технологических машинах введение УПД позволяет формировать необходимые формы периодических движений рабочих органов, снижать динамические нагрузки в соответствующих точках рабочих органов. Вместе с тем многие вопросы, связанные с учетом особенностей динамических взаимодействий, еще не получили достаточно детализированного описания.
В предлагаемой статье развивается метод структурного математического моделирования в приложениях к решению задач оценки особенностей динамических взаимодействий при соединениях УПД с массоинерционными и упругими типовыми элементами механической колебательной системы.
Некоторые общие положения. Постановка задачи исследования
Рассматривается технический объект, расчетная схема которого может быть представлена механической колебательной системой с двумя степенями свободы (рис. 1). Инерционный элемент массой m2 имеет опорную пружину жесткостью k3 и опирается в т. А на опорную поверхность II. Кроме того, элемент m2 опирается на упругий сложный элемент (или структурное образование - квазипружину), состоящий из пружины жесткостью k1 с точками контакта В и В1 соответственно с парой элементов k2 и L в тт. В1, В2. В точке В1 сосредоточена масса m1. Вторая часть структурного блока представляет собой параллельное соединение упругих элементов с жесткостью k2 и УПД с промежуточной массой m1. Контактирование с инерционным элементом m2 происходит в т. В2. Положение инерционного элемента m2 определяется координатой y2, а промежуточной массы m1 - соответственно координатой y1. Предполагается, что система обладает линейными свойствами и совершает малые колебания относительно положения статического равновесия. Движение опорных поверхностей I и II определяется известными гармоническими функциями z1(t) и z2(t) одной частоты; между внешними возмущениями существует функциональная связь
Приведенная масса УПД, обозначенная как L на рис. 1, определяется выражением
Положение системы рассматривается в координатах y1 и y2 в неподвижном базисе. Для построения математической модели составим выражения для кинетической и потенциальной энергий:
Структурная математическая модель, или структурная схема эквивалентной в динамическом отношении системы автоматического управления, приводится на рис. 2. Структура состоит из двух парциальных систем, которые связаны между собой инерционно-упруго, что обеспечивает возможность обнуления связи на частоте
На схеме (рис. 1) показано, что m1 представляет собой массоинерционный элемент, через который каскад Lp2 + k2 соединяется с упругим элементом k1 (при этом вводится в рассмотрение точка В1).
Задача исследования заключается в оценке динамических особенностей, привносимых в механическую колебательную систему устройством для преобразования движения, а также введением промежуточного массоинерционного элемента m1, создающего в системе подвески два каскада, последовательно соединенных между собой.
Оценка динамических свойств системы при введении УПД
В большинстве работ, посвященных оценке динамических свойств механических колебательных систем [4; 5], точка В1, в которой одновременно контактируют три типовых элемента с передаточными функциями k1, k2 и Lp2, не рассматривается как характерная точка. Автором такая точка интерпретируется как узловая, ее положение определяется координатой . Предельным случаем можно полагать ситуацию, когда m1 → 0, что предопределяет подход к оценке динамической жесткости двухкаскадного последовательного соединения элементов системы; величина m1 оказывает влияние на распределение динамических реакций связей в тт. В, В1 и В2.
Используя структурную схему на рис. 2, запишем передаточные функции, учитывая связность внешних воздействий, определяемую выражением (1):
На рис. 3 приведены преобразованные структурные схемы с выделением элементов m1 и m2, охваченных соответствующими отрицательными обратными связями. В физическом смысле передаточные функции таких связей определяют динамические жесткости структурных образований.
Особенности динамических свойств систем, описываемых через соотношение реакций связей
Отношение реакций динамических связей в характерных точках исходной системы может рассматриваться как параметр, отражающий динамическое состояние системы с учетом особенностей, определяемых набором типовых элементов, условиями внешнего возмущения и выбором значений параметров.
1. В обычной механической колебательной системе с двумя степенями свободы (m1 ≠ 0, L = 0, α = 0) амплитудно-частотная характеристика по координате имеет режим динамического гашения колебаний на частоте
что следует из (8) при L = 0. Если m1 = 0, L = 0, то исходная система редуцируется до системы с одной степенью свободы; при этом координата аннулируется; частота собственных колебаний системы с одной степенью свободы в этом случае определяется выражением
Для оценки влияния параметров типовых элементов используется модельная задача, в которой рассматриваются изменения α (0, 0,5, 2); m1 = 100 кг; m2 = 1000 кг; k1 = 100000 Н/м; k2 = 200000 Н/м; k3 = 300000 Н/м; L (0, 100 кг).
2. Отметим, что в общем случае в системе возможны проявления резонансных режимов на частотах собственных колебаний, определяемых из частотного характеристического уравнения (12). При переходе к амплитудно-частотным характеристикам (АЧХ) реакций связей, определяемым выражением (20), будут наблюдаться следующие особенности. К примеру, при ω → ∞ отношение будет стремиться к пределу.
Когда L = 0, m1 = 100 кг, рассматриваемая система становится обычной цепной системой с двумя степенями свободы (рис. 4).
Если настроечным параметром выбирать m1, то это не всегда является рациональным из-за расхода материалов при требованиях больших m1. Если рассматривать возможности системы, полагая, что L ≠ 0 (L – приведенная масса), то можно получать большие значения m1 + L за счет эффектов изменения приведенных параметров УПД, обеспечивая тем самым экономию расхода материалов (уменьшая m1 до нулевых значений).
На рис. 5а графики пересекаются с осью абсцисс (т.(1), т.(2), т.(3)) во втором диапазоне частот (ω1соб - ω2соб); с увеличением значений α точка пересечения перемещается направо - к ω2соб; точки пересечения показывают частоты динамического гашения колебаний по координате . В свою очередь, на рис. 5б точки пересечения графиков зависимостей с осью абсцисс (т.(1'), т.(2'), т.(3')) перемещаются в третий диапазон частот (ω2соб - ∞). На рис. 5в т.(1) - точка пересечения с осью абсцисс, которая находится во втором диапазоне частот соответственно значению α = 0 (рис. 5а); т.(2'') находится в первом диапазоне для значения α = -0,5; со значением α = -2 не будет частоты динамического гашения колебаний (точка пересечения отсутствует). На рис. 5г показано, что при α = -0,5, -2 точки пересечения графиков зависимостей (т.(2'''), т.(3''')) размещаются во втором диапазоне частот (по сравнению с тт.(2'), (3') на рис. 5б). Таким образом, коэффициент связности внешних воздействий α обладает возможностями существенного влияния на АЧХ по координатам
и .
3. Частотная диаграмма (рис. 6) представляет собой графики частот динамического гашения колебаний (которые определяются из числителей выражений (13), (14)), собственных и парциальных частот в зависимости от коэффициента связности α.
На рис. 6 точки (1) и (2) представляют собой пересечения графиков и ; в этих же точках происходит пересечение с графиками и (эти графики являются прямыми), поскольку собственные частоты не зависят от коэффициента связности α.
Отметим, что при действии на систему двух синфазных гармонических возмущений в ней может формироваться специфический режим, когда система с двумя степенями свободы изменяет свою структуру и проявляет частотные характеристики, которыми обладают системы с одной степенью свободы (динамический эффект изменения структуры).
4. Для определения динамических состояний через отношение реакций связей выражение (20) при L = 0 трансформируется в выражение
На частоте графики отношения реакций связей, как было ранее упомянуто, пересекаются с осью абсцисс (т.(2) на рис. 7а и т.(2') на рис. 7б) вне зависимости от коэффициента α, как это определялось из (24'). На рис. 7а все графики отношения реакций связей с положительными значениями α еще проходят через общие точки - т.(1) и т.(3), соответственно т.(1') и т.(3') на рис. 7б - для отрицательных значений α.
5. При введении m1 = 100 кг, L = 100 кг амплитудно-частотные характеристики системы при различных значениях α приводятся на рис. 8.
Отметим, что АЧХ системы при включении УПД (рис. 8) имеют такие же формы, как и АЧХ системы при отсутствии УПД (рис. 5).
Из числителя уравнения (20) получим три частоты обнуления отношения реакций связей. Одна из частот имеет вид
На рис. 9а все графики отношения реакций связей с положительными значениями α проходят через общую точку - т.(1). То же самое можно отметить в т.(1') на рис. 9б для отрицательных значений α. Отметим также, что графики отношения реакций связей пересекаются с осью абсцисс (т.(2), т.(3) на рис. 9а и т.(2'), т.(3') на рис. 9б) независимо от коэффициента α, что следует из выражения (28). При определенных условиях график отношения реакций связей может принимать специфический режим в т.(4'). Таким образом, при любых значениях коэффициета связности α графики зависимостей N(ω) пересекаются на одной и той же общей частоте. Такие динамические эффекты имеют значение для разработки технологий управления динамическими состояниями технических объектов.
Заключение
Автором предложен метод построения математических моделей системы транспортных подвесок, позволяющий оценивать их динамические возможности при действии различных внешних возмущений, в том числе и при одновременном действии нескольких факторов.
Идея метода заключается в использовании структурной математической модели в виде структурной схемы эквивалентной в динамическом отношении системы автоматического управления. Показано, что структурная схема подвески с выделенным объектом, динамическое состояние которого оценивается, может рассматриваться в качестве основы для определения динамической жесткости системы в характерных точках. Это позволяет, в свою очередь, определять динамические реакции связей как произведение динамической жесткости на динамическое смещение рассматриваемой точки, определяемое передаточной функцией системы.
В работе вводится понятие об амплитудно-частотных характеристиках, в которых выходным сигналом служит динамическая реакция связей. Анализ показывает, что изменения динамических реакций связей могут существенно отличаться от представлений о динамических свойствах систем, получаемых обычным способом. Настройка динамических подвесок, оценка их динамических свойств могут осуществляться при использовании такой динамической характеристики, как отношение реакций связей, возникающих на опорной поверхности и защищаемом объекте. При этом управление динамическим состоянием может производиться путем изменения отношения жесткостей системы.
1. Clarence, W. Vibration. Fundamentals and Practice / W. Clarence, De Silva. - Boca Raton; London; New York; Washington, D.C.: CRC Press, 2000. - 957 p.
2. Karnovsky, I.A. Theory of vibration protection / I.A. Karnovsky, E. Lebed. - Switzerland: Springer, 2016. - 708 p.
3. Eliseev, S.V. Dynamics of Mechanical Systems with Additional Ties / S.V. Eliseev, A.V. Lukyanov, Yu.N. Reznik, A.P. Khomenko. - Irkutsk: Irkutsk State University, 2006. - 315 p.
4. Елисеев, С.В. Динамический синтез в обобщенных задачах виброзащиты и виброизоляции технических объектов / С.В. Елисеев, Ю.Н. Резник, А.П. Хоменко, А.А. Засядко. - Иркутск: Изд-во ИГУ, 2008. - 523 с.
5. Елисеев, С.В. Прикладная теория колебаний в задачах динамики линейных механических систем / С.В. Елисеев, А.И. Артюнин. - Новосибирск: Наука, 2016. - 459 с.
6. Левитский, Н.И. Колебания в механизмах / Н.И. Левитский. - М.: Наука, 1988. - 336 с.
7. Елисеев, С.В. Рычажные связи в динамических взаимодействиях элементов механических колебательных систем / С.В. Елисеев, В.Б. Кашуба, Е.В. Каимов, А.В. Николаев // Проблемы машиностроения и автоматизации. - М., 2017. - № 2. - С. 39-50.
8. Елисеев, С.В. Крутильные колебания в передачах как задачи виброзащиты и виброизоляции / С.В. Елисеев, М.А. Драч // Трибофатика: материалы V междунар. симп. - Иркутск, 2005. - С. 289-305.
9. Паршута, Е.А. Механизмы в механических колебательных системах как форма введения дополнительных связей / Е.А. Паршута // Интеллектуальные и материальные ресурсы Сибири: материалы регион. науч.-практ. конф. - Иркутск, 2013. - С. 42-48.
10. Ленк, А. Электромеханические системы. Системы с сосредоточенными параметрами / А. Ленк. - М.: Мир, 1978. - 283 с.
11. Коренев, Б.Г. Динамические гасители колебаний: теория и технические приложения / Б.Г. Коренев, Л.М. Резников. - М.: Наука, 1988. - 304 с.
12. Елисеев, С.В. Динамическое гашение колебаний: концепция обратной связи и структурные методы математического моделирования / С.В. Елисеев, А.П. Хоменко. - Новосибирск: Наука, 2014. - 357 с.
13. Белокобыльский, С.В. Динамика механических систем. Рычажные и инерционно-упругие связи / С.В. Белокобыльский, С.В. Елисеев, И.С. Ситов. - СПб.: Политехника, 2013. - 319 с.
14. Елисеев, С.В. О поведении механических систем с устройствами для преобразования движения / С.В. Елисеев, А.А. Засядко // Вибрационная защита и надежность приборов, машин и механизмов. - Иркутск: ИрГТУ, 1973. - С. 4-14.
15. Елисеев, С.В. Управление колебаниями с помощью пневматических устройств / С.В. Елисеев, П.А. Лонцих // Теория активных виброзащитных систем. - Иркутск: ИрГТУ, 1974. - С. 85-103.
16. Пат. 133232 RU, МПК F16F7/10; F16F15/04. Устройство для гашения колебаний / С.В. Елисеев, А.А. Савченко, А.Н. Трофимов, Е.А. Паршута, А.И. Артюнин. - № 2013105925/11; заявл. 12.02.13; опубл. 10.10.13, Бюл. № 28.
17. Елисеев, С.В. Задачи защиты оборудования и приборов: математические модели на основе квазиэлементов / С.В. Елисеев, Р.С. Большаков, А.Н. Трофимов // Решетневские чтения: материалы науч.-практ. конф. - Красноярск, 2015. - Т. 1. - № 19. - С. 451-453.
18. Кашуба, В.Б. Динамические реакции в соединениях элементов механических колебательных систем / В.Б. Кашуба, С.В. Елисеев, Р.С. Большаков. - Новосибирск: Наука, 2017. - 331 с.
