Ростов-на-Дону, Россия
Линейчатые поверхности давно известны и находят широкое применение в строительстве, архитектуре, дизайне и технике. И если с технической точки зрения более привлекательны развертываемые поверхности, то архитектура и дизайн удачно экспериментируют и с неразвертываемыми. В данной работе рассматриваются неразвертываемые линейчатые поверхности с тремя образующими, две из которых криволинейные. Согласно классификации, такие поверхности называются дважды косыми цилиндроидами. В работе предложен способ получения дважды косых цилиндроидов путем погружения кривой в линейчатую конгруэнцию гиперболического типа. Действительными директрисами такой конгруэнции являются прямая и кривая. В качестве криволинейной директрисы предложено использование винтовых линий (цилиндрической и конической), а в качестве прямолинейной – ось винтовой линии. Тогда прямолинейный луч конгруэнции будет одновременно пересекать винтовую линию и ее ось. Параметрами конгруэнции являются шаг линии и радиус направляющего цилиндра или конуса. Выбор криволинейной директрисы обоснован тем, что винтовые линии нашли широкое применение в технике и архитектуре. Соответственно, поверхности на их основе могут иметь большой потенциал. В работе приведены параметрические уравнения рассматриваемых конгруэнций. Уравнения конгруэнции рассмотрены с точки зрения введения новой криволинейной системы координат. В статье также изучены координатные поверхности и координатные линии полученной системы. Для извлечения поверхности необходимо погрузить кривую в конгруэнцию. Для синтеза уравнений использован конструктивно-параметрический метод, основанный на подстановке параметрических уравнений погружаемой линии в уравнения конгруэнции по особому алгоритму. В статье приведены 5 примеров синтеза уравнений линейчатых поверхностей типа дважды косой цилиндроид и их визуализация. Метод является универсальным, алгоритмизированным, а значит, и легко адаптируемым для автоматизированного построения поверхностей с изменяемыми параметрами как конгруэнции, так и погружаемой линии.
линейчатая поверхность, линейчатая конгруэнция, дважды косой цилиндроид, винтовая линия, параметрические уравнения.
Линейчатые поверхности давно привлекают внимание геометров, архитекторов, машиностроителей и дизайнеров. Наиболее изученными и применяемыми из неразвертываемых поверхностей являются геликоиды, иперболический параболоид, однополостной гиперболоид и поверхности Каталана [1; 5; 19; 22; 27–29], которые можно увидеть практически повсюду. Согласно классической классификации в русскоязычной учебной литературе, линейчатые поверхности по количеству направляющих делятся на три типа: с тремя, двумя и одной направляющей. В свою очередь, линейчатые поверхности с тремя направляющими делятся на [5]: 1) поверхность общего вида — с тремя криволинейными направляющими; 2) дважды косой цилиндроид — с двумя криволинейными и одной прямолинейной направляющей; 3) дважды косой коноид — с двумя прямолинейными и одной криволинейной направляющей; 4) однополостной гиперболоид — с тремя прямолинейными направляющими. Линейчатая поверхность с тремя направляющими фактически представляет собой поверхность линейчатой конгруэнции иперболического типа, где две из трех направляющих являются директрисами, а третья — погружаемой в линейчатую конгруэнцию кривой. Таким образом, дважды косые коноиды являются поверхностями гиперболической конгруэнции прямых Кг (1,1), а однополостной гиперболоид является ее частным случаем при погружении прямой. Особое внимание конгруэнциям начали уделять в период развития проективной геометрии. В начале ХХ в. было построено множество натурных наглядных моделей по представлению пространственных кривых, являющихся линиями пересечения поверхностей, линейчатых поверхностей и линейчатых конгруэнций и их поверхностей (рис. 1). Практическое применение поверхностей конгруэнций прямых стало возможным с развитием синтетической и конструктивной геометрии [2; 6; 10–14]. В настоящее время изучение построения и визуализации таких поверхностей ведется как с точки зрения создания программно реализуемых алгоритмов проективной геометрии [7; 8; 19–21; 23; 25–30], так и с точки зрения получения параметрических уравнений конгруэнций и их поверхностей конструктивно-параметрическим методом [3; 4; 9; 15–18; 24]. В работах [18; 31] был предложен способ получения параметрических уравнений гиперболической конгруэнции прямых Кг (1,1) и ее поверхностей, а также рассмотрены некоторые частные случаи управления параметрами формы. Эти поверхности являются дважды косыми коноидами. Целью настоящей работы является получение параметрических уравнений линейчатых поверхностей, полученных погружением кривой в конгруэнцию гиперболического типа, в которой директрисами являются прямая и винтовая линии (цилиндрическая и коническая с постоянным шагом), а лучом — прямая. Данный тип поверхности относится к категории дважды косых цилиндроидов.
1. Иванов В.Н. Основы разработки и визуализации объектов аналитических поверхностей и перспективы их использования в архитектуре и строительстве [Текст] / В.Н. Иванов, С.Н. Кривошапко, В.А. Романова // Геометрия и графика. — 2017. — № 4. — С. 3–14. — DOI: 10.12737/article_5a17f590be3f51.37534061.
2. Иванов Г.С. Принцип двойственности — теоретическая база взаимосвязи синтетических и аналитических способов решения геометрических задач [Текст] / Г.С. Иванов, И.М. Дмитриева // Геометрия и графика. — 2016. — № 3. — С. 3–10. — DOI: 10.12737/21528.
3. Кокарева Я.А. Аналитическая модель поверхностей на основе координации пространства винтовыми и эллиптическими линиями [Текст] / Я.А. Кокарева // Прикладная математика и вопросы управления. — 2017. — № 1. — С. 27–36.
4. Кокарева Я.А. Параметрические уравнения конгруэнции прямых, заданной фокальными окружностями [Текст] / Я.А. Кокарева // Научное обозрение. — 2014. — № 11. — С. 689–692.
5. Кривошапко С.Н. Энциклопедия аналитических поверхностей [Текст] / С.Н. Кривошапко, В.Н. Иванов. — М.: Либроком, 2010. — 560 с.
6. Михайленко В.Е. Формообразование оболочек в архитектуре [Текст] / В.Е. Михайленко, В.С. Обухова, А.Л. Подгорный. — Киев: Будівельник, 1972. — 208 с.
7. Несвідомін В.М. Комп’ютерні моделі синтетичної геометрії [Текст]: автореф. дис. … д-ра техн. наук: 05.01.01 / В.М. Несвідомін. — Київ, 2008. — 435 с.
8. Несвідомін В.М. Конструювання лінійчатих поверхонь методом з’єднання проективних точкових рядів [Текст] / В.М. Несвідомін // Геометричне та комп’ютерне моделювання. — Харків: ХДУХТ, 2004. — Вип. 8. — С. 43–47.
9. Неснов Д.В. Конгруэнция винтовых линий в нормальных конических координатах [Текст] / Д.В. Неснов // Научный альманах. — 2016. — № 11-2 (25). — С. 186–188. — DOI: 10.17117/na.2016.11.02.186.
10. Обухова В.С. Двуосевое проектирование кривых линий [Текст] / В.С. Обухова // Прикладная геометрия и инженерная графика. — 1965. — Вып. I. — С. 39–47.
11. Обухова В.С. Моделирование линейчатых поверхностей 4-го порядка проекционным способом [Текст] / В.С. Обухова, А.Л. Подгорный, К. Срока // Прикл. геом. та інж. граф. — 1996. — Вып. 60. — С. 23–27.
12. Подгорный А.Л. Дуальные конгруэнции и вопросы их конструктивного задания и отображения [Текст] / А.Л. Подгорный // Прикладная геометрия и инженерная графика. — 1968. — Вып. VII. — С. 3–10.
13. Подгорный А.Л. Конструирование поверхностей оболочек по заданным условиям на основе выделения их из конгруэнций прямых [Текст] / А.Л. Подгорный // Прикладная геометрия и инженерная графика. — 1969. — Вып. VIII. — С. 17–28.
14. Подгорный А.Л. Проекционный способ задания конгруэнций многозначным соответствием плоских полей и конструирование из них поверхностей [Текст] / А.Л. Подгорный // Прикладная геометрия и инженерная графика. — 1971. — Вып. 13. — С. 98–100.
15. Сименко О.В. Проекціювання променями конгруенції циліндричних гвинтових ліній сталого кроку [Текст] / О.В. Сименко // Прикладна геометрія та інженерна графіка. Праці Таврійського державного агротехнічного університету. — 2004. — Вип. 4. — Т. 23. — С. 86–91.
16. Скидан И.А. Специальная параметризация конгруэнции прямых [Текст] / И.А. Скидан, Н.В. Журба // Прикладная геометрия и инженерная графика: Сб. статей. — 1993. — Вып. 55. — С. 35–40.
17. Скідан І.А. Загальна аналітична теорія прикладного формоутворення на основі глобальної параметризації [Текст] / І.А. Скідан // Прикладна геометрія та інженерна графіка. Праці Таврійської державної агротехнічної академії. — 2001. — Вип. 4. — Т. 13. — С. 21–28.
18. Скідан І.А. Параметричні рівняння гіперболічної конгруенції прямих та їх поверхонь [Текст] / І.А. Скідан, Я.А. Кокарєва // Прикладна геометрія та інженерна графіка. Праці Таврійського державного агротехнічного університету. — 2010. — Вип. 4. — Т. 46. — С. 27–32.
19. Хейфец А.Л. 3D-модели линейчатых поверхностей с тремя прямолинейными направляющими [Текст] / А.Л. Хейфец, А.Н. Логиновский // Вестник ЮУрГУ. Серия «Строительство и архитектура». — 2008. — № 25. — С. 51–56.
20. Abramczyk J. Method for Parametric Shaping Architectural Free Forms Roofed with Transformed Shell Sheeting [Электронный ресурс] / J. Abramczyk // IOP Conf. Series: Materials Science and Engineering. — 2017. — V. 245. — DOI: 10.1088/1757-899X/245/5/052026. — URL: http://iopscience.iop.org/article/10.1088/1757-899X/245/5/052026/pdf (дата обращения: 14.07.2018).
21. Ali A.T. Ruled surfaces generated by some special curves in Euclidean 3-Space [Текст] / A.T. Ali, H.S. Abdel Aziz, A.H. Sorour // Journal of the Egyptian Mathematical Society. — 2013. — V. 21. — I. 3. — Pp. 285–294. — DOI: 10.1016/j.joems.2013.02.004.
22. Flöry S. Ruled Surfaces for rationalization and design in architecture [Текст] / S. Flöry, H. Pottmann // LIFE information. On Responsive Information and Variations in Architecture. Proceedings of the 30th Annual Conference of the Association for Computer Aided Design in Architecture (ACADIA) — 2010. — Pp. 103–109.
23. Hagen H. Surface interrogation algorithms [Текст] / H. Hagen, S. Hahmann, T. Schreiber, Y. Nakajima, B. Wordenweber, P. Hollemann-Grundstedt // IEEE Computer Graphics and Applications. — 1992. — V. 12. — I. 5. — Pp. 53–60.
24. Maleček K. A Method for Creating Ruled Surfaces and its Modifications [Электронный ресурс] / K. Maleček, D. Szarková // KoG. — 2001. — V. 6–2001/02. — Pp. 59–66. — URL: http://master.grad.hr/hdgg/kog_stranica/kog6gif/kog6_malecekszarkova.pdf (дата обращения: 14.07.2018).
25. Odehnal B. Computing with discrete models of ruled surfaces and line congruences [Электронный ресурс] / B. Odehnal, H. Pottmann // Electron. J. Comput. Kinematics. — 2002. — V. 1-1. — URL: http://www-sop.inria.fr/coprin/EJCK/Vol1-1/20_pottmann.pdf (дата обращения: 14.07.2018).
26. Odehnal B. On rational Isotropie congruences of lines [Текст] / B. Odehnal // Journal of Geometry. — 2004. — V. 8. — Pp. 126–138.
27. Odehnal B. Subdivision algorithms for ruled surfaces [Текст] / B. Odehnal // Journal for Geometry and Grafics. — 2008. — V. 12. — I. 1. — Pp. 1–18.
28. Ravani B. Computer aided geometric design of line constructs [Текст] / B. Ravani, J. Wang // ASME J. Mech. Design Environment and Plannin. — 1991. — V. 113. — Pp. 363–371.
29. Wallner J. Computational line geometry [Текст] / J. Wallner, H. Pottmann. — Springer, 2010. — 564 p.
30. Wang J. Discrete Line Congruences for Shading and Lighting [Электронный ресурс] / J. Wang, C. Jiang, Ph. Bompas, J. Wallner, H. Pottmann // Eurographics Symposium on Geometry Processing. — 2013. — V. 32 (5). — URL: http://www.geometrie.tugraz.at/wallner/lineconsgp.pdf (дата обращения: 14.07.2018).
31. Zamyatin A.V. Designing of architectural shells on the basis of linear hyperbolic congruence surfaces [Электронный ресурс] / A.V. Zamyatin, Y.A. Kokareva // IOP Conference Series: Materials Science and Engineering. — 2017. — V. 262. — DOI: 10.1088/1757-899X/262/1/012113. — URL: http://iopscience.iop.org/article/10.1088/1757-899X/262/1/012113/pdf (дата обращения: 14.07.2018).
