Санкт-Петербург, г. Санкт-Петербург и Ленинградская область, Россия
сотрудник с 01.01.2005 по настоящее время
Санкт-Петербург, г. Санкт-Петербург и Ленинградская область, Россия
Цель статьи заключается в исследовании нетрадиционных систем проецирования и их проецирующих поверхностей, выборе таких параметров конгруэнции конических винтовых линий, которые позволяют охватить весь комплекс требований к поверхности, получаемой проецированием лучами конгруэнции произвольной плоской или пространственной линии, а также использовании средств компьютерной графики в визуализации поверхности. В статье представлен пример аналитической интерпретации образа криволинейного проецирования коническими винтовыми линиями постоянного шага и пример конгруэнции конических винтовых линий, расположенных на соосных конусах с общей вершиной и переменным углом наклона образующей к оси. Исследованы свойства, определены параметры винтовой линии конгруэнции, проходящей через произвольную точку пространства, не принадлежащей оси. Предложен способ конструирования спиральных поверхностей, каркас которых составляют лучи, проецирующие произвольную линию. Формообразование поверхностей аналитическими методами и их визуализация средствами компьютерной графики — одна из актуальных проблем прикладной геометрии в связи с использованием таких методов в автоматизированных системах научных исследований, проектировании, изготовлении на оборудовании с числовым программным управлением. Ведущим методом исследования данной проблемы является общая аналитическая теория прикладного формообразования поверхностей, разработанная проф. И.А. Скиданом и составляющая единый аппарат, где в основе лежит математическое обеспечение компьютерных технологий проектирования и создания объектов сложной формы. На примерах визуализации проецирующих поверхностей средствами компьютерной графики можно показать применимость аналитических моделей в компьютерных технологиях научных исследований, проектирования, изготовления.
нетрадиционные системы проецирования, конгруэнция, коническая винтовая линия, спиральная поверхность, формообразование.
Введение
Существуют два направления аналитического моделирования объектов сложной формы, отличающиеся формой их первоначального представления: дискретное моделирование, основанное на сгущении первоначального точечного каркаса, дополненного (не всегда) значениями кривизны или значениями производных в некоторых точках. Как правило, это незакономерные поверхности, которые П. Безье удачно назвал скульптурными. Дискретное моделирование приобрело особое значение с разработкой и широким применением в разноотраслевых расчетах методом конечных элементов. Из иностранных ученых, кроме вышеупомянутого П. Безье, отметим Р. Барнхилла, Г. Бернштейна, В. Гордона, С. Кунса, Ж. Фергюсона, Г. Фарин, В. Бохм, Д. Каххам, А. Грей [1; 2; 14; 16–20; 25]. Второе направление аналитического моделирования поверхностей опирается на их представлении непрерывными функциями. Стратегия развития этого направления заключается в поиске таких выражений функций, обеспечивающих: соответствие формы функциональному назначению изделия, агрегата или сооружения, применения существующих методов их проектирования, применения существующих технологий их изготовления или сооружения. Актуальность аналитического моделирования поверхностей вызвана успехами компьютерной графики, а его базу составляют конструктивные способы формообразования: кинематический (М.Я. Громов, И.И. Котов, А.В. Павлов, О.Л. Подгорный, А.Н. Подкорытов, Н.П. Рузлева, А.М. Тевлин и др.) [10–13]; способ выделения линейного каркаса поверхности из множеств, в частности, конгруэнций линий (В.С. Обухова, О.Л. Подгорный, Н.Н. Рыжов, А.М. Тевлин и др.); способ преобразований (И.С. Джапаридзе, И.И. Котов, С. Иванов, В.С. Обухова, О.Л. Подгорный, А.М. Тевлин и др.) [3; 4]; способ получения линейного каркаса поверхности как множества лучей нестандартного проецирования как прямыми, так и кривыми линиями (А.И. Руубель, А.Н. Каченюк, И.И. Котов, В.С. Обухова, О.Л. Подгорный, А.М. Тевлин и др.) [10]. Следует определить, что параллельно с разработкой конструктивных способов формообразования поверхностей, разрабатывались их аналитические интерпретации; согласованные конструктивные, аналитические и компьютерные модели поверхностей [5]; методы определения очертаний сложных технических поверхностей при их отображении различными видами конгруэнций [9]. Так, аналитическую интерпретацию кинематического способа дают И.И. Котов, А.Н. Подкорытов, А.М. Тевлин, способа извлечения линейного каркаса из множеств или конгруэнций линий — Н.Н. Рыжов, А.М. Тевлин, способа преобразований — С. Иванов, способа криволинейного проецирования — А.И. Руубель, А.Н. Подкорытов, А.М. Тевлин. Методологическая основа В геометрии вообще и в прикладной геометрии в частности поверхность чаще всего подают не напрямую, а условиями, которые называют определителем. Определитель поверхности имеет конструктивную часть, состоящую из геометрических фигур, и информационную часть, в которой формулируется от-
ношение геометрических фигур конструктивной части к поверхности, то есть, назначаются роли составляющим конструктивной части, которые они должны играть в процессе получения чертежей поверхности. Поскольку в докомпьютерный период развития прикладной геометрии внимание сосредотачивалось на разработке способов конструирования поверхностей сложной формы, сопровождение конструктивных моделей аналитически преследовало единственную цель — повышение точности. Каждому конструктивному способу образования поверхностей присущ свой набор определителей. К определителю при кинематическом способе входит образующая постоянного или переменного вида и закон ее движения в пространстве, который определяется при помощи направляющих линий. Саму образующую, ее мгновенные положения в процессе образования поверхности подают с помощью поверхности или плоскости инциденции.
1. Григорьев М.И. Полиномы Бернштейна от двух переменных [Текст] / М.И. Григорьев // Электронный архив препринтов С.-Петербургского матем. общества. Препринт. — СПб., 2008.
2. Григорьев М.И. Геометрическое моделирование с использованием составных кривых и поверхностей Безье [Текст]: автореф. дис. … канд. физ.-мат. наук / М.И. Григорьев. — СПб., 2009.
3. Джапаридзе И.О. Конструктивные отображения проективных преобразований пространства [Текст] / И.О. Джапаридзе. — Тбилиси: Труды ГПИ, 1964. — 127 с.
4. Джапаридзе И.О. Основные плоскостные модели пространства и их производные [Текст] / И.О. Джапаридзе. — Тбилиси: Труды ГПИ, 1964.
5. Зверева С.А. Согласованные конструктивные, аналитические и компьютерные модели поверхностей [Текст]: автореф. дис. … канд. техн. наук / С.А. Зверева. — Донецк, 2000.
6. Ивженко А.В. Моделирование криволинейного проецирования мгновенными линейными конгруэнциями применительно к конструированию поверхностей [Текст]: автореф. дис. … канд. техн. наук / А.В. Ивженко. — М., 1978.
7. Котов И.И. Мгновенные алгебраические преобразования и их возможные приложения [Текст] / И.И. Котов // Кибернетика графики и прикладная геометрия поверхностей: Труды МАИ. — 1969. — Вып. 3. — С. 71–83.
8. Котов И.И. Мгновенные преобразования и векторные методы конструирования поверхностей [Текст] / И.И. Котов // Кибернетика графики и прикладная геометрия поверхностей: Труды МАИ. — 1969. — Вып. 3. — С. 27–33.
9. Найханов В.В. Методы определения очертаний сложных технических поверхностей при их отображении различными видами конгруэнций [Текст]: автореф. дис. … канд. техн. наук / В.В. Найханов. — М., 1984.
10. Подгорный А.Л. Винтовое проектирование [Текст] / А.Л. Подгорный // Труды общеинженерных кафедр УСХА. — Киев: Госсельхозиздат УССР, 1963. — C. 228–234.
11. Тевлин А.М. Винтовое проектирование и его применение для решения геометрических и технических задач [Текст] / А.М. Тевлин // Известия вузов СССР. Машиностроение. — 1968. — № 2.
12. Тевлин А.М. Профилирование сопряженных винтовых поверхностей методом криволинейного проектирования [Текст] / Тевлин А.М., Иванов Ю.Н., Подкорытов А.Н. // Вопросы прикладной геометрии. Сборник работ аспирантов и соискателей. — 1966. — C. 6–16.
13. Худяков Г.И. Развитие методов аналитической геометрии на сфере для решения задач геодезии и навигации [Текст] / Г.И. Худяков // Записки Горного института. — 2017. — Т. 223. — C. 70–82. — DOI http://dx.doi.org/10.18454/pmi.2017.1.70.
14. Bohm W., Farin G., Kahmann J. A Survey of Curve and Surface Methods in CAGD, Computer-Aided Design. — 1984. — P. 1–60.
15. Darboux G. Lecons sur la theorie generale des surfaces. — V. 4. — Paris: 1914. — 576 p.
16. Farin G. Curves and Surfaces for Computer Aided Gmetric Design. — 4th ed., Academic Press, San Diego, California. — 1997.
17. Gray A. Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces. — 2nd ed., CRC Press LLC, Boca Raton, Florida. — 1998.
18. Hoscheck J. Approximate Conversion of Spline Curves // Computer-Aided Geometric Design. — V. 4. — 1987. — P. 59–66
19. Hoscheck J., Schneider F. Spline Conversion for Trimmed Rational Bezier and B-spline surfaces // Computer-Aided Design. — V. 22. — № 9. — November 1990. — P. 580–590.
20. Hoscheck J., Schneider F., Wassum P. Optimal Approximate Conversion of Spline Surfaces // Computer-Aided Geometric Design. — V. 6. — 1989. — P. 293–306.
21. Simenko E.V., Voronina M.V. Constructive methods of forming surfaces // International Journal of Applied Engineering Research. — 2017. — No. 12 (6). — P. 956–962.
22. Simenko E.V., Ignatiev S.A., Voronina M.V. Analytical and computergraphic method of surfaces’ formation projected by rays of congruence of cylindrical screw lines with the constant step // International Journal of Engineering and Technology. — 2017. — Vol. 9. — No. 5. — P. 3912–3921.
23. Skidan I.A. Generalization of Analytical Formation Methods Founded on Global Parametrization of Surfaces // The Applied Geometry and Engineering Graphics. — 2002. — Issue 70. — Kyiv, KNUBA. — P. 79–84.
24. Skidan I.A. General analytical theory of applied formulation based on global parametrization // Proceedings of the Tavria State Agrotechnical Academy. — Vip. Applied geometry and engineering graphics. — V. 13. — Melitopol, 2001. — P. 22–28.
25. Yamaguchi F. Curves And Surfaces in Computer Aided Geometric Design // Springer-Verlag, 1988.
