В статье сформулирована актуальная проблема формального подхода к преподаванию начертательной геометрии (НГ). Авторы рассматривают понятие алгоритма и подходы к формальному описанию способов (алгоритмов) решения задач. Подчеркивается, что известные способы создания и представления алгоритмов решения задач НГ отражают не все возможности алгоритмизации как таковой. В третьем разделе авторы на примерах подчеркивают сложность алгоритмизации решений задач НГ. Отмечается многообразие решений той или иной задачи НГ в зависимости от расположения исходных фигур, что требует соответствующего анализа контекста при решении, и, как следствие, выбора алгоритма. Указывается, что причиной этому служат различные способы выражения геометрических свойств фигур средствами чертежа. Рассматриваются общие алгоритмы применения метода геометрических мест и геометрических преобразований к решению задач. С позиции геометрических мест рассмотрены две базовые задачи НГ — построение чертежа точки по координатам и перпендикуляра к плоскости. Подчеркивается значимость метода геометрических мест ввиду простоты составления алгоритмов и широких возможностей при решении задач. Авторы отмечают, что алгоритмизация не уменьшает важность знания геометрии или понимания геометрического содержания задач и используемых методов, но акцентирует значимость первого этапа решения задач – этапа анализа, на котором принимаются базовые решения и выбирается его способ. В заключении подчеркивается, что в практике решения учебных задач НГ оптимально применять именно алгоритмизацию, так как это дает возможность структуризации курса, оперирования компактными алгоритмами, внедрения автоматизированных технологий конструктивного геометрического моделирования.
начертательная геометрия, конструктивная геометрия, алгоритм решения задачи, задача на построение, элементарные построения, составные построения, метод геометрических мест.
Введение
В работе [29] обозначен ряд проблем, возникающих в случае преподавания начертательной геометрии (НГ) на основе формального изложения и принципов алгоритмизации. Так, по словам авторов, на фоне сокращения времени на традиционные виды занятий и низкой геометро-графической подготовки в школе, упор на применение алгоритмов и формальный подход к решению задач курса НГ приводит к тому, что у студентов формируется примитивное мышление, понятийная составляющая пропадает. Сходные выводы сделаны в работе [16], где отмечается, что преподавание НГ на формально-логической основе создает опасность, что образное мышление студентов остается неразвитым. Наоборот, в [31] подчеркивается, что изучение НГ на формально-логической основе «ставит в равное положение студентов с различным уровнем пространственного мышления». Различные аспекты алгоритмизации и формализации начертательной геометрии неоднократно рассматривались [2; 4; 10; 19; 22–24 и др.]. Алгоритмы использовались при изложении материла в учебниках и пособиях [11; 14; 20; 21]. В связи с чем представляется необходимым рассмотреть подробнее и вскрыть причины противоречий, приводящих к появлению указанных проблем.
1. О понятии алгоритма и концепциях языков программирования
Алгоритмом называется точно определенное правило действий, для которого указано, как и в какой последовательности его необходимо применять к исходным данным задачи, чтобы получить ее решение [36, с. 94–95].
Первоначально алгоритмами назывались сочинения по искусству счета, в частности, известен алгоритм Евклида для вычисления наибольшего общего делителя, приведенный в «Началах» отдельно для целых чисел и отрезков. В начале XX в. алгоритмы обрели статус «базисного» понятия математики. С ними связаны теория алгоритмов [36, с. 106–107] и конструктивное направление в математике [36, с. 482–482]. С появлением и распространением вычислительной техники алгоритмы стали главным инструментом решения прикладных задач любого рода. В этой области — области разработки программ для ЭВМ — алгоритмы, в образе программ для тех или иных языков программирования, неоднократно видоизменялись, что привело к появлению ряда подходов к описанию способов решения задач и организации алгоритмов (концепций программирования) [34]:
1) линейный — команды записываются последовательно, часто нумеруются, для изменения последовательного выполнения программы используются переходы к команде по ее номеру или метке; 2) структурный (модульный) — команды выполняются последовательно, но могут группироваться в составных операторах, переходы не используются, алгоритм приобретает структуру за счет явного выделения ветвлений, циклов, подпрограмм, модулей; 3) объектно ориентированный — программа представляет собой описание взаимодействующих между собой по определенным правилам сущностей — объектов, а решение задачи в целом дробится на отдельные акты, совершаемые тем или иным объектом. 4) функциональный — программа представляет собой описание функции, которая находит значение требуемой величины от набора значений исходных, и вспомогательных функций, при этом циклы и присваивание не используются, вычисления осуществляются рекурсивно; 5) логический — программа представляет собой описание модели для логического вывода на основе хранилища истинных утверждений об объектах задачи и правил вывода новых истинных утверждений (предикатов); 6) предметно-ориентированный — программа представляет собой описание модели задачи в терминах предметной области.
1. Аргунов Б.И. Геометрические построения на плоскости [Текст] / Б.И. Аргунов, М.Б. Балк. — М., 1957. — 268 с.
2. Белосельская В.Д. Формирование системы приемов умственной деятельности студентов при изучении курса начертательной геометрии [Текст] / В.Д. Белосельская // Сборник науч.-метод. статей по НГ и ИГ. — М.: Высшая школа, 1978. — Вып. 6. — С. 6–10.
3. Боровиков И.Ф. О применении преобразований при решении задач начертательной геометрии [Текст] / И.Ф. Боровиков, Г.С. Иванов, Н.Г. Суркова // Геометрия и графика. — 2018. — Т. 6. — № 2. — С. 78–84. — DOI: 10.12737/article_5b55a35d683a33.30813949.
4. Бородкина С.И. Обобщенные алгоритмы решения задач начертательной геометрии [Текст] / С.И. Бородкина // Сборник науч.-метод. статей по НГ и ИГ. — М.: Высшая школа, 1976. — Вып. 6. — С. 13–19.
5. Вальков К.И. Введение в теорию моделирования [Текст] / К.И. Вальков. — Л.: Изд-во ЛИСИ, 1973. — 152 с.
6. Волошинов Д.В. Визуально-графическое проектирование единой конструктивной модели для решения аналогов задачи Аполлония с учетом мнимых геометрических образов [Текст] / Д.В. Волошинов // Геометрия и графика. — 2018. — Т. 6. — № 2. — С. 23–46. — DOI: 10.12737/article_5b559c70becf44.21848537.
7. Волошинов Д.В. Инструмент для геометрического моделирования: каким ему быть? [Текст] / Д.В. Волошинов // Проблемы качества графической подготовки в техническом вузе: традиции и инновации. — Пермь: Изд-во ПНИПУ, 2015. — Вып. 2. — С. 111–134.
8. Волошинов Д.В. Об особенностях конструктивного решения задачи о сферах Данделена / Д.В. Волошинов // Геометрия и графика. — 2018. — Т. 6. — № 2. — С. 55–62. — DOI: 10.12737/article_5b559f018f85a7.77112269.
9. Гилой В. Интерактивная машинная графика: Структуры данных, алгоритмы, языки [Текст] / В. Гилой. — М.: Мир, 1981. — 384 с.
10. Гирш А.Г. О позиционных задачах [Текст] / А.Г. Гирш // Сборник науч.-метод. статей по НГ и ИГ. — М.: Высшая школа, 1978. — Вып. 6. — С. 33–37.
11. Глоговский В.В. Начертательная геометрия на алгоритмической основе [Текст] / В.В. Глоговский, Б.М. Гринева, М.О. Гнатюк. — Львов: Вища школа, 1978. — 148 с.
12. Глоговский В.В. Элементарные конструктивные задачи по начертательной геометрии [Текст] / В.В. Глоговский. — Львов, 1981. — 156 с.
13. Егорычева Е.В. Решение задач по начертательной геометрии [Текст] / Е.В. Егорычева. — Иваново, 2014. — 352 с.
14. Иванов Г.С. Начертательная геометрия [Текст] / Г.С. Иванов. — М.: Изд-во МГУ Леса, 2012. — 340 с.
15. Иванов Г.С. Теоретические основы начертательной геометрии [Текст] / Г.С. Иванов. — М.: Машиностроение, 1998. — 160 с.
16. Иловайский Л.В. Развивать образное мышление студентов [Текст] / Л.В. Иловайский // Сборник науч.-метод.статей по НГ и ИГ. — М.: Высшая школа, 1974. — Вып. 2. — С. 37–40.
17. Каган В.Ф. Очерки по геометрии [Текст] / В.Ф. Каган. — М., 1963. — С. 42–48.
18. Королевич А.И. Элементы теории информации в геометрии графического отображения [Текст] / А.И. Королевич // Сборник науч.-метод. статей по НГ и ИГ. — М.: Высшая школа, 1976. — Вып. 3. — С. 66–69.
19. Котов И.И. Методика планирования и организации материала в преподавании начертательной геометрии и черчения [Текст] / И.И. Котов, В.С. Полозов // Сборник науч.-метод. статей по НГ и ИГ. — М.: Высшая школа, 1977. — Вып. 4. — С. 4–10.
20. Курс начертательной геометрии на основе геометрического моделирования [Текст] / В.Я. Волков [и др.]. — Омск: Изд-во СибАДИ, 2010. — 256 с.
21. Курс начертательной геометрии с алгоритмами для ЭВМ [Текст] / Л.Г. Нартова [и др.]. — М.: МАИ, 1994. — 253 с.
22. Ларин М.Д. Учебные алгоритмы как средство управления деятельностью студентов при обучении решению задач [Текст] / М.Д. Ларин // Сборник науч.-метод. статей по НГ и ИГ. — М.: Высшая школа, 1986. — Вып. 13. — С. 76–80.
23. Маркова А.П. Обучение студентов составлению алгоритмов решения задач инженерной графики [Текст] / А. П. Маркова // Сборник науч.-метод. статей по НГ и ИГ. — М.: Высшая школа, 1976. — Вып. 3. — С. 8–13.
24. Михайленко В.Е. О применении ЭВМ в преподавании начертательной геометрии [Текст] / В.Е. Михайленко, В.А. Анпилогова // Сборник науч.-метод. статей по НГ и ИГ. — М.: Высшая школа, 1978. — Вып. 3. — С. 10–13.
25. Начертательная геометрия [Текст] / Д. З. Есхожин [и др.]. — Акмола: АСХИ, 1992. — 144 с.
26. Ньюмен У. Основы интерактивной машинной графики [Текст] / У. Ньюмен, Р. Спрулл. — М.: Мир, 1976. — 576 с.
27. Панчук К.Л. Элементы циклографической начертательной геометрии [Текст] / К.Л. Панчук, Н.В. Кайгородцева // GraphiCon 2016. Труды Международной научной конференции. — Москва–Протвино, 2016. — С. 69–71.
28. Пеклич В.А. Высшая начертательная геометрия [Текст] / В.А. Пеклич. — М.: АСВ, 2000. — 344 с.
29. Полубинская Л.Г. Формальная логика и алгоритмы в преподавании начертательной геометрии [Текст] / Л.Г. Полубинская, Т.Р. Хуснетдинов, Р.А. Максутова // Педагогика. Вопросы теории и практики. — 2018. — № 1. — C. 97–102.
30. Сальков Н.А. Олимпиады по начертательной геометрии как катализатор эвристического мышления [Текст] / Н.А. Сальков, В.И. Вышнепольский, В.М. Аристов, В.П. Куликов // Геометрия и графика. — 2017. — Т. 5. — № 2. — С. 93–101. — DOI: 10.12737/article_5953f3767b1e80.12067677.
31. Серегин В.И. Научно-методические вопросы подготовки студентов к олимпиадам по начертательной геометрии [Текст] / В.И. Серегин, Г.С. Иванов, И.Ф. Боровиков // Геометрия и графика. — 2017. — Т. 5. — № 1. — С. 73–81. — DOI: 10.12737/25126.
32. Талалай П.Г. Начертательная геометрия на примерах [Текст] / П.Г. Талалай. — СПб.: БХВ-Петербург, 2011. — 288 с.
33. Харах М.М. Элементы теории параметризации и параметрические чертежи в «Компас-График» [Текст] / М.М. Харах [и др.] // Геометрия и графика. — 2017. — Т. 5. — № 1. — С. 64–72. — DOI: 10.12737/25125.
34. Хопкрофт Дж. Введение в теорию автоматов, языков и вычислений [Текст] / Дж. Хопкрофт, Р. Мотвани, Дж. Ульман. — М.: Вильямс, 2008. — 528 с.
35. Четверухин Н.Ф. Методы геометрических построений [Текст] / Н.Ф. Четверухин. — М.: Учпедгиз, 1952. — 148 с.
36. Энциклопедия кибернетики [Текст]: В 2 т. — К.: Главная редакция Украинской Советской Энциклопедии, 1974. — Т. 1. — 608 c.
37. Юматова Э.Г. Система межинтегративных конструктивно-аналитических задач как метод формирования профессионально-ориентированных способностей будущих инженеров [Текст] / Э.Г. Юматова // Геометрия и графика. — 2017. — Т. 5. — № 2. — С. 93–101. — DOI: 10.12737/article_5953f350da7151.85721309.
