Россия
Москва, г. Москва и Московская область, Россия
Квалифицированное изложение темы «Касательная плоскость и нормаль поверхности» в терминах компетентностного подхода возможно при должном уровне акцентирования внимания студентов как на внутрипредметных, так и межпредметных связях начертательной геометрии. Внутрипредметные связи следуют из того положения, что касание является частным (предельным) случаем пересечения. Следовательно, у линии пересечения касательной плоскости и поверхности или у двух соприкасающихся поверхностей в точке касания появляется особая точка. Из дифференциальной геометрии известно [1], что эта точка может быть узловой, возврата или изолированной. В свою очередь, вид этой точки зависит от дифференциальных свойств поверхности (ей) в окрестности этой точки. Поэтому для грамотного решения рассматриваемой позиционной задачи следует учитывать также межпредметные связи начертательной и дифференциальной геометрий. В учебных курсах начертательной геометрии касательные плоскости строятся только к простейшим поверхностям, содержащим, как правило, каркасы прямых линий и окружностей. Поэтому касательная плоскость определяется двумя касательными, проведенными в точке касания к двум таким линиям. В инженерной практике в качестве таких линий используются сечения поверхности плоскостями, параллельными каким-либо двум координатным плоскостям. То есть с позиций курса высшей математики задача сводится к вычислению частных производных. Хотя эта тема изучается после курса начертательной геометрии, по-видимому, можно дать им в двух словах геометрическое пояснение вычисления частных производных. Представляется также, что изучению этой темы будет стимулировать рассказ об инженерных задачах, в основе решения которых лежит построение касательной плоскости и нормали к технической поверхности. В статье приведен пример использования линий кривизны поверхности для программирования фрезерной обработки поверхностей объемной остастки.
поверхность, касательная плоскость, нормаль, частные производные, кривизна поверхности, индикатрисса Дюпена, фрезерование.
Тема «Касательная плоскость и нормаль поверхности» в курсе начертательной геометрии является уникальной в том смысле, что:
• во-первых, в ее изложении следует четко выделить внутрипредметные связи (компетенции): касательная плоскость — это предельное положение секущей и как оно влияет на особенности сечения в точке касания, следовательно, характеризует дифференциальные свойства поверхности, в частности, как от них зависит ее развертываемость на плоскость;
• во-вторых, отмеченные выше внутрипредметные связи тесно переплетаются с межпредметными начертательной и дифференциальной геометрий, с одной стороны, и дифференциальным исчислением (частные производные), с другой стороны;
• в-третьих, эта тема имеет непосредственный выход в инженерную практику, в частности, в технологию фрезерной обработки поверхностей объемной оснастки на станках с числовым программным управлением.
Таким образом, квалифицированное изложение материала этой темы должно способствовать реальным подвижкам трансформирования традиционного курса начертательной геометрии в прикладную (инженерную) геометрию [14]. Для достижения этой цели в преподавании материала этой темы следует акцентировать внимание студентов на решении следующих задач:
1) построение сечения поверхности касательной плоскостью и построение линии пересечения двух соприкасающихся поверхностей, изучение вида (особенности) точки касания на этих линиях;
2) аналитическая реализация графического алгоритма построения касательной плоскости и нормали поверхности;
3) геометрическое толкование построения индикатрисы Дюпена и линий кривизны поверхности;
4) использование линий кривизны поверхности для программирования фрезерной обработки поверхностей объемной оснастки.
Далее обсудим решение перечисленных задач, обратив внимание на межпредметные связи начертательной геометрии и смежных разделов математики.
1. Выгодский М.Я. Дифференциальная геометрия [Текст] / М.Я. Выгодский. — М-Л.: Госуд. изд-во технико-теоретической лит-ры, 1949. — 512 с.
2. Голованов Н.Н. Геометрическое моделирование [Текст] / Н.Н. Голованов. — М.: Изд-во физико-математической литературы, 2002. — 472 с.
3. Графский О.А. Начертательная геометрия как учебная дисциплина и теоретическая база прикладной геометрии, инженерной и компьютерной графики [Текст] / О.А. Графский, Г.С. Иванов // Графическое образование: вопросы теории, истории и практики: труды второй межвузовской научно-метод. конф. — Хабаровск: Изд-во ДВГУПС, 2005. — С. 59–63.
4. Графский О.А. Вычислительная геометрия [Текст]: учеб. пособие / О.А. Графский. — Хабаровск: Изд-во ДВГУПС, 2014. — 150 с.
5. Графский О.А. Некоторые методические аспекты геометро-графической подготовки студентов [Текст] / О.А. Графский, Ю.В. Пономарчук // Проблемы и перспективы развития образования в технических вузах: сб. матер. научно-метод. конф., 8–10 ноября 2016 г.; под ред. А.Н. Гануса. — Хабаровск: Изд-во ДВГУПС, 2016. — С. 200–204.
6. Гузненков В.Н. Принципы формирования структуры и содержания геометро-графической подготовки [Текст] / В.Н. Гузненков, В.И. Якунин // Стандарты и мониторинг в образовании. — 2013. — № 6. — С. 34–39.
7. Гузненков В.Н. Геометро-графическая подготовка как интегрирующий фактор образовательного процесса [Текст] / В.Н. Гузненков, В.И. Якунин // Образование и общество. — 2014. — № 2. — С. 26–28.
8. Дмитриева И.М. Начертательная геометрия [Текст]: рабочая тетрадь / И.М. Дмитриева, Г.С. Иванов, А.П. Чувашев. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2018. — 92 с.
9. Дмитриева И.М. О профессиональных компетенциях в преподавании начертательной геометрии. [Текст] / И.М. Дмитриева, Г.С. Иванов // Проблемы качества графической подготовки студентов в техническом вузе: традиции и инновации. — 2017. — Т. 1. — С. 237–242.
10. Иванов Г.С. Обоснование выбора рациональной траектории движения инструмента по поверхности [Текст] / Г.С. Иванов // Автоматизация проектирования машиностроительных предприятий. Тезисы докладов. — Киев, 1981. — С. 72.
11. Иванов Г.С. Организационно-правовое обеспечение постановки интегрированного курса линейной алгебры, начертательной и аналитической геометрии [Текст] / Г.С. Иванов, И.М. Дмитриева // Право и образование. — 2007. — № 11. — С. 68–74.
12. Иванов Г.С. Интегрированный курс геометрии и линейной алгебры как средство формирования математической подготовки студентов технических вузов [Текст] / Г.С. Иванов, И.М. Дмитриева // Омский научный вестник. — 2010. — № 5. — С. 205–208.
13. Иванов Г.С. Начертательная геометрия [Текст] / Г.С. Иванов. — М.: Изд-во МГУЛ, 2012. — 340 с.
14. Иванов Г.С. Предыстория и предпосылки трансформации начертательной геометрии в инженерную [Текст] / Г.С. Иванов // Геометрия и графика. — 2016. — Т. 4. — № 2. — С. 29–36. — DOI: 10.12737/19830.
15. Иванов Г.С. Концепция современного учебника начертательной геометрии [Текст] / Г.С. Иванов // Научно-методические проблемы графической подготовки в техническом вузе на современном этапе. — Астрахань: Изд-во АГТУ, 2010. — С. 65–67.
16. Иванов Г.С. Перспективы начертательной геометрии как учебной дисциплины [Текст] / Г.С. Иванов // Геометрия и графика. — 2013. — Т. 1. — № 1. — С. 26–27.
17. Иванов Г.С. Компетентностный подход к содержанию курса начертательной геометрии [Текст] / Г.С. Иванов // Геометрия и графика. — 2013. — Т. 1. — № 2. — С. 3–5.
18. Иванов Г.С. Нелинейные формы в инженерной графике [Текст] / Г.С. Иванов, И.М. Дмитриева // Геометрия и графика. — 2017. — Т. 5. — № 2. — С. 4–12.
19. Москаленко В.О. Как обеспечить общегеометрическую подготовку студентов технических университетов [Текст] / В.О. Москаленко, Г.С. Иванов, К.А. Муравьев // Наука и образование: научное издание МГТУ им. Н.Э. Баумана. — 2012. — № 8. — URL: http:// technomag.edu.ru/doc/445140.html/
20. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике [Текст] / Д.Т. Письменный. — М.: Айрис-пресс, 2006. — 608 с.
21. Сальков Н.А. Геометрическая составляющая технических инноваций [Текст] / Н.А. Сальков // Геометрия и графика. — 2018. — Т. 6. — № 2. — С. 85–94.
22. Фокс А. Вычислительная геометрия [Текст] / А. Фокс, М. Пратт. — М.: Мир, 1982. — 304 с.
