Получено в аналитическом виде приближенное решение задачи об изгибе круглой многослойной пластины постоянной толщины, лежащей на упругом основании сложной структуры. Пластина изгибается под действием осесимметричной распределенной нагрузки и реакции со стороны основания. Упругое основание представляет собой непрерывно-неоднородный по толщине слой (покрытие), лежащий на однородном полупространстве (подложке). Модуль Юнга в зоне сопряжения покрытия и подложки имеет существенный скачок. Для пластины рассмотрены два случая граничных условий: условия закрепленного и свободного края. Построенное приближенное аналитическое решение задачи эффективно в широком диапазоне как геометрических параметров (толщина неоднородного слоя и радиус пластины), так и физических параметров (гибкость пластины и упругие свойства покрытия и подложки). Методом интегральных преобразований контактная задача сводится к решению системы интегро-дифференциальных уравнений. Полученные формулы могут быть использованы для расчета характеристик контактного взаимодействия многослойной пластины с основанием сложной структуры в зависимости от граничных условий и характера нагрузки на пластину.
неоднородные материалы, многослойная пластина, функционально-градиентное покрытие, осесимметричная задача, аналитические методы приближенное аналитическое решение.
УДК 539.3
Осесимметричный изгиб круглой многослойной пластины на упругом основании сложной структуры[1]
С. М. Айзикович, С. С. Волков, А. В. Мелконян
Получено в аналитическом виде приближенное решение задачи об изгибе круглой многослойной пластины постоянной толщины, лежащей на упругом основании сложной структуры. Пластина изгибается под действием осесимметричной распределенной нагрузки и реакции со стороны основания. Упругое основание представляет собой непрерывно-неоднородный по толщине слой (покрытие), лежащий на однородном полупространстве (подложке). Модуль Юнга в зоне сопряжения покрытия и подложки имеет существенный скачок.Для пластины рассмотрены два случая граничных условий: условия закрепленного и свободного края. Построенное приближенное аналитическое решение задачи эффективно в широком диапазоне как геометрических параметров (толщина неоднородного слоя и радиус пластины), так и физических параметров (гибкость пластины и упругие свойства покрытия и подложки). Методом интегральных преобразований контактная задача сводится к решению системы интегро-дифференциальных уравнений. Полученные формулы могут быть использованы для расчета характеристик контактного взаимодействия многослойной пластины с основанием сложной структуры в зависимости от граничных условий ихарактера нагрузки на пластину.
[1] Результаты работы получены при выполнении проекта, поддержанного грантом РФФИ № 13-08-90916-мол_ин_нр
1. Hager, A. M. Short-Fibre Reinforced, High-Temperature Resistant Polymers for a Wide Field of Tribological Applications / A. M. Hager, M. Davies // Advances in Composite Tribology / под ред. K. Friedrich. — Амстердам : Elsevier, 1993. — С. 107–157.
2. Friedrich, K. Wear of polymer composites / K. Friedrich, R. Reinicke, Z. Zhang // Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part J: Journal of Engineering Tribology. — 2002. — Т. 216, вып. 6. — С. 415–426.
3. Моделирование фрикционного взаимодействия композиционных покрытий триботехнического назначения / И. Г. Горячева [и др.] // Трение и износ. — 2012. — Т. 33, № 6. — С. 557–565.
4. Васильев, А. С. Кручение упругого полупространства с многослойным покрытием периодической структуры / А. С. Васильев, Е. В. Садырин, М. Е. Васильева // Вестник Дон. гос. техн. ун-та. — 2013. — № 5–6. — С. 6–13.
5. Горбунов-Посадов, М. И. Расчет балок и плит на упругом полупространстве // Прикладная математика и механика. — 1940. — Т. 4, вып. 3. — С. 61–80.
6. Ишкова, А. Г. Об изгибе полосы и круглой пластины, лежащих на упругом полупространстве // Инженерный сборник. — 1960. — Т. 23. — С. 171–181.
7. Гребенщиков, В. Н. Расчет круглой пластинки на упругом полупространстве // Теория расчета и надежность приборов : сб. трудов II Саратовской обл. конф. молодых ученых. — 1969. — С. 48–51.
8. Александров, В. М. Универсальная программа расчета изгиба балочных плит на линейно-деформируемом основании / В. М. Александров, Л. С. Шацких // Труды 7-й Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин. Днепропетровск, 1969. — Москва : Наука, 1970. — С. 46–51.
9. Шацких, Л. С. К расчету изгиба плиты на упругом слое // Известия Академии наук СССР. Механика твердого тела. — 1972. — № 2. — С. 170–176.
10. Александров, В. М. Эффективное решение задачи о цилиндрическом изгибе пластинки конечной ширины на упругом полупространстве / В. М. Александров, И. И. Ворович, М. Д. Солодовник // Известия Академии наук СССР. Механика твердого тела. — 1973. — № 4. — С. 129–138.
11. Александров, В. М. Асимптотическое решение задачи о цилиндрическом изгибе пластинки конечной ширины на упругом полупространстве / В. М. Александров, М. Д. Солодовник // Прикладная механика. — 1974. — Т. 10, вып. 7. — С. 77–83.
12. Босаков, С. В. К решению контактной задачи для круглой пластинки / С. В. Босаков // Прикладная математика и механика. — 2008. — Т. 72, № 1. — С. 59–61.
13. Kashtalyan, M. Effect of a functionally graded interlayer on three-dimensional elastic deformation of coated plates subjected to transverse loading / M. Kashtalyan, M. Menshykova // Composite Structures. — 2009. — Т. 89, № 2. — С. 167–176.
14. Kashtalyan, M. Three-dimensional elasticity solution for bending of functionally graded rectangular plates / M. Kashtalyan // European Journal of Mechanics A/Solids. — 2004. — Т. 23. — № 5. — С. 853–864.
15. Silva, A. R. D. Numerical methods for analysis of plates on tensionless elastic foundations / A. R. D. Silva, R. A. M. Silveira, P. B. Goncßalves // International Journal of Solids and Structures. — 2001. — Т. 38, № 10–13. — C. 2083–2100.
16. Митрин, Б. И. Распределение контактных напряжений под круглой пластиной, лежащей на мягком слое / Б. И. Митрин, С. С. Волков // Вестник Дон. гос. техн. ун-та. — 2013. — № 5–6. — С. 14–25.
17. Айзикович, С. М. Асимптотическое решение одного класса парных уравнений / С. М. Айзикович // Прикладная математика и механика. — 1990. — Т. 54, вып. 5. — С. 872–877.
18. Лурье, А. И. Теория упругости. — Москва : Наука, 1970. — 824 с.
19. Белубекян М. В. К вопросу колебаний неоднородной по толщине пластинки / М. В. Белубекян // Известия национальной академии наук Армении. Механика. — 2002. — Т. 55, № 3. — С. 34–41.
20. Цейтлин, А. И. Об изгибе круглой плиты, лежащей на линейно деформируемом основании / А. И. Цейтлин // Известия АН СССР. Механика твердого тела. — 1969. — № 1. — С. 99–112.
21. Айзикович, С. М. Осесимметрическая задача о вдавливании круглого штампа в упругое, неоднородное по глубине полупространство / С. М. Айзикович, В. М. Александров // Известия АН СССР. Механика твердого тела. — 1984. — Т. 19, № 2. — С. 73–82.
22. Айзикович, С. М. Асимптотическое решение задачи о взаимодействии пластины с неоднородным по глубине основанием / С. М. Айзикович // Прикладная математика и механика. — 1995. — Т. 59, вып. 4. — С. 688–697.
