Москва, г. Москва и Московская область, Россия
Отражение от некоего зеркала является одним из основных видов преобразований в геометрии. На плоскости зеркало представляет собой прямую. При отражении получаем объект, каждая точка которого симметрична относительно этой прямой. В данной статье рассмотрены примеры отражения от окружности – общего случая прямой, если определять последнюю через окружность бесконечного радиуса. При анализе простого отражения и обобщении этого процесса на случаи подобного искривления зеркала, было обнаружено любопытное явление – увеличение размерности отражения на единицу, т.е. при отражении одномерного объекта от окружности получается двумерная кривая. Так, при отражении точки от окружности было получено семейство улиток Паскаля. Также были рассмотрены основные случаи отражения от кругового зеркала простейших двумерных объектов – отрезка и окружности при различном их расположении. В данных примерах отражениями являются двумерные объекты – области причудливой формы, ограниченные участками кривых – улиток Паскаля. Наиболее интересным является отражение двумерных объектов на плоскости, поскольку отражение получается слишком информативным для того, чтоб уместиться в соответствующем пространстве. Для представления моделей полученных отражений было предложено перейти в трехмерное пространство, а также разработан общий алгоритм, позволяющий получить отражение объекта от криволинейного зеркала в пространстве любой размерности. Приведены трехмерные модели полученных по данному алгоритму отражений. Данная статья раскрывает перспективы дальнейших исследований, связанных с переходом в трехмерное пространство и отражением объектов от сферической поверхности (возможность получения четырехмерных и пятимерных отражений), а также исследований отражений от геометрических кривых в плоскости и более сложных поверхностей в пространстве.
отражение, криволинейное зеркало, размерность, окружность, улитки Паскаля, трехмерная модель отражения.
1. Александров А.Д. Стереометрия. Геометрия в пространстве [Текст]: учеб. пособие для уч. ст. кл. и абитуриентов / А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик. — Висагинас: Alfa, 1998. — 576 с.
2. Беглов И.А. Метод вращения геометрических объектов вокруг криволинейной оси [Текст] / И.А. Беглов, В.В. Рустамян // Геометрия и графика. — 2017. — Т. 5. — № 3. — С. 45–50. — DOI: 10.12737/article_59bfa4eb0bf488.99866490.
3. Берман Г.Н. Циклоида [Текст] / Г.Н. Берман — М.: Наука, 1980. — 112 с.
4. Боровиков И.Ф. О применении преобразований при решении задач начертательной геометрии [Текст] / И.Ф. Боровиков, Г.С. Иванов, Н.Г. Суркова // Геометрия и графика. — 2018. — Т. 6. — № 2. — С. 78–84. — DOI: 10.12737/article_5b55a35d683a33.30813949.
5. Васев П.А. О создании методов многомерной визуализации [Текст] / П.А. Васев, Д.С. Перевалов // Труды. — 2002. — С. 431–437.
6. Вяткин С.И. Моделирование сложных поверхностей с применением функций возмущения [Текст] / С.И. Вяткин //Автометрия. — 2007. — Т. 43. — № 3. — С. 40–47.
7. Гирш А.Г. Фокусы алгебраических кривых [Текст] / А.Г. Гирш // Геометрия и графика. — 2015. — Т. 3. — № 3. — C. 4–17. — DOI: 10.12737/14415.
8. Гордон В.О. Курс начертательной геометрии [Текст] / В.О. Гордон, М.А. Семенцов-Огиевский. — М.: Высшая школа, 1998. — 272 с.
9. Графский О.А. Анализ построения кривых второго порядка [Текст] / О.А. Графский, С.С. Доронина, Н.Х. Галлиулин // Научно-техническое и экономическое сотрудничество стран АТР в XXI веке: материалы Всерос. науч.-практ. конф. с междунар. участием, 22–24 апреля 2009 г. — Т. 6. — Хабаровск: Изд-во ДВГУПС, 2009. — С. 165–168.
10. Графский О.А. Виды аффинных преобразований и их композиции [Текст] / О.А. Графский // Геометрия и графика. — 2016. — Т. 4. — № 3. — С. 11–16. — DOI: 10.12737/21529.
11. Графский О.А. Особенности свойств параболы при ее моделировании [Текст] / О.А. Графский, Ю.В. Пономарчук, В.В. Суриц // Геометрия и графика. — 2018. — Т. 6. — № 2. — С. 63–77. — DOI: 10.12737/article_5b55a16b547678.01517798.
12. Жижилкин И.Д. Инверсия [Текст] / И.Д. Жижилкин. — М.: Московский центр непрерывного математического образования, 2009. — 69 с.
13. Жихарев Л.А. Фракталы в трехмерном пространстве. i-фракталы [Текст] / Л.А. Жихарев // Геометрия и графика. — 2017. — Т. 5. № 3. — С. 51–66. — DOI: 10.12737/article_59bfa55ec01b38.55497926.
14. Жихарев Л.А. Фрактальные размерности [Текст] / Л.А. Жихарев // Геометрия и графика. — 2018. — Т. 6. № 3. — С. 33–48. — DOI: 10.12737/article_5bc45918192362.77856682.
15. Кантор Г. Труды по теории множеств [Текст] / Г. Кантор. — М.: Наука, 1985. — С. 124.
16. Клейн К.Ф. Высшая геометрия [Текст] / К.Ф. Клейн. — М.: Государственное объединенное научно-техническое изд-во, 1939.
17. Клейн К.Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей [Текст] / К.Ф. Клейн. — Т. 2. — М.: Наука, 1987.
18. Клячин В.А. Триангуляция Делоне многомерных поверхностей и ее аппроксимационные свойства [Текст] / В.А. Клячин, А.А Широкий // Известия высших учебных заведений. Математика. — 2012. — № 1. — С. 31–39.
19. Коптева Д. Улитка Паскаля [Текст] / Д. Коптева., К. Горская. — М.: Аз-буки, 2018. — Т. 61. — № 3. — С. 465–480.
20. Курант Р. Что такое математика? [Текст] / Р. Курант, Г. Роббинс — М.: МцНМО, 2001. — 318 с.
21. Левкин Ю.С. Получение четырёхмерных номограмм на базе теоремы подобия [Текст] / Ю.С. Левкин // Геометрия и графика. — 2017. — Т. 5. — № 2. — С. 69–74. — DOI: 10.12737/article_5953f334279642.78930109.
22. Левкин Ю.С. Шестимерная эпюрная номограмма в четырехоктантовом измерении [Текст] / Ю.С. Левкин // Геометрия и графика. — 2018. — Т. 6. — № 1. — С. 39–47. — DOI: 10.12737/article_5ad098b05f1559.36303938.
23. Люстерник Л.А. Топологические методы в вариационных задачах и их приложения к дифференциальной геометрии поверхностей [Текст] / Л.А. Люстерник, Л.Г. Шнирельман // Успехи математических наук. — 1947. — Т. 2. — № 1. — С. 166–217.
24. Ляшков А.А. Моделирование формообразования сложных поверхностей деталей [Текст] / А.А. Ляшков [и др.] // Металлообработка. — 2010. — № 4. — С. 36–42.
25. Резникова Ю.С. Срединно-усеченные симплексы в аффинных пространствах произвольной размерности [Текст] / Ю.С. Резникова, П.А. Милкой // International geometry center. — 2010. — С. 57.
26. Розенфельд Б.А. Многомерные пространства [Текст] / Б.А. Розенфельд. — М.: Книга по требованию, 2013. — 637 с.
27. Сальков Н.А. Приложение свойств циклиды Дюпена к изобретениям [Текст] / Н.А. Сальков // Геометрия и графика. — 2017. — Т. 5. — № 4. — С. 37–43. — DOI: 10.12737/article_5a17fd233418b2.84489740.
28. Сальков Н.А. Формирование циклических поверхностей в кинетической геометрии [Текст] / Н.А. Сальков // Геометрия и графика — 2017. — Т. 5. — № 4. — С. 24–29. — DOI: 10.12737/article_5a17fbe3680f52.30844454.
29. Сальков Н.А. Циклида Дюпена и ее приложение [Текст]: монография / Н.А. Сальков. — М.: ИНФРА-М, 2016. — 145 с.
30. Сальков Н.А. Циклида Дюпена и кривые второго порядка. Часть 1 [Текст] / Н.А. Сальков // Геометрия и графика. — 2016. — Т. 4. — № 2. — С. 19–28. — DOI: 10.12737/19829.
31. Сальков Н.А. Циклида Дюпена и кривые второго порядка. Часть 2 [Текст] / Н.А. Сальков // Геометрия и графика. — 2016. — Т. 4. — № 3. — С. 17–28. — DOI: 10.12737/21530.
32. Тупицын А.А. Альтернативный вид зубчатого зацепления: свойства и характеристики [Текст] / А.А. Тупицын, А.А. Ревенский // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. — 2010. — № 4. — С. 83–91.
33. Харитонова И.В. Основы проективной геометрии [Текст] / И.В. Харитонова. — Архангельск: Поморский университет, 2005. — 28 с.
34. Хаусдорф Ф. Теория множеств [Текст] / Ф. Хаусдорф. — М.: Книга по требованию, 2014. — 304 с.
35. Чечулин В.Л. Теория множеств с самопринадлежностью (основания и некоторые приложения): монография [Текст] / В.Л. Чечулин. — Пермь: Изд-во Перм. гос. ун-та, 2010. — 100 с.
36. Яглом И.М. Геометрические преобразования. Линейные и круговые преобразования. [Текст] / И.М. Яглом. — М.: Книга по требованию, 2013. — 607 с.
