Введение. Применение мультироботизированных систем для решения многих практических задач является важным и актуальным в настоящее время. Мультироботизированная многоагентная система может быть описана как группа интеллектуальных роботов (агентов), способных взаимодействовать друг с другом и совместно реализуя различные задачи [1]. Они могут быть реализованы различными роботами и могут применяться в обширных областях, включая военное наблюдение, разведку, спасательные операции и т. д. Совместное и распределенное управление такими системами привлекло многих исследователей в последние несколько лет. Контроль формирования группы мобильных агентов является одним из важных применение многоагентных систем, где агентами могут быть любые из следующих факторов: беспилотный летательный аппарат (БПЛА), мобильный робот, автономный подводный аппарат (AUV) и т. д. Основным источником вдохновения для исследования многоагентного контроля пласта является кооперативное поведение биологических существ, таких как птицы, рыбы, насекомые и т. д. [2]. Есть несколько подходов для решения этой проблемы. Жесткость графика как инструмент для изучения формирования транспортных средств была введена в [3]. Подход искусственной потенциальной функции (APF) использовался многими исследователями для контроля пласта [4]. Пассивный дизайн закона управления для формирования нескольких агентов был исследован в [5]. Существует больше подходов для решения проблемы управления формацией, таких как управление на основе поведения [6], управление на основе виртуальной структуры [7] и управление на основе лидера-последователя [8]. В задаче контроля пласта агенты должны формировать определенный образец, такой как линейный, треугольный, прямоугольный или круглый [9]. Можно выделить статьи, посвященные формированию круговой структуры. Так в работе [10] представлено управление формированием круговой структуры и соответствующий закон управления для его достижения. Важной задачей при построении системы управления мультироботизированной системы является определение рабочей области каждого из роботов, которая может быть представлена как ограничения при их взаимном движении. Кроме того, следует учитывать конфигурацию роботов и параметры их геометрической структуры. В данной статье рассмотрены проблемы аппроксимации рабочей области разнородной группы роботов, имеющих как последовательную, так и параллельную структуру [12].

Постановка задачи. Рассмотрим применение метода неравномерных покрытий для определения рабочей области. Покрытием множества P называем совокупность n-мерных параллелепипедов Pi , i∈1,k , таких, что

P⊆i∈1,kPi

и для каждого Pi , i∈1,k , выполняется хотя бы одно из трёх условий:

1. maxi∈1,kmaxi∈Pigjx<0
2. maxi∈1,kminx∈Pigjx<0
3. неравенства 1 и 2 не выполняются и d(Pi ) ≤ δ, где δ - заданная положительная величина, определяющая точность аппроксимации.

На основе рассмотренного метода строится внешнее и внутреннее аппроксимационные множества. Внутреннее аппроксимационное множество включается во множество решений системы неравенств, а внешнее включает его. Оба множества представляют собой объединения n-мерных параллелепипедов. Этот метод позволяет аппроксимировать множество решений систем равенств или неравенств, описывающих рабочую зону робота. Математическое преобразование уравнений связи некоторых роботов позволяет уменьшить размерность и, следовательно, время вычислений. Использование параллелепипедов большой размерности позволяет избежать значительных математических преобразований, а затем проецировать их на оси координат, необходимые для визуализации.

Рассмотрим пространственный механизм параллельного манипулятора (рис. 1), который содержит подвижное горизонтальное основание 1, которое шарнирно связано с вертикальным основанием 2 с возможностью его отклонения от вертикали. Вертикальное основание 2 имеет привод 3 На вертикальном основании 2 установлен, например, с помощью шарнира, трипод 4. Выходное звено 5 шарнирно установлено на рабочей площадке 6 трипода 4 с возможностью вращения относительно оси, перпендикулярной рабочей площадке 6 трипода. На площадке трипода установлен привод 7, обеспечивающий вращение выходного звена 5. Оптимально длину выходного звена выполнить не менее половины длины рабочего инструмента, размещённого в захвате 8. Захват закреплен, например, болтами, на свободном конце выходного звена 5. Также рассмотрим пространственный механизм последовательного манипулятора (рис. 2), который содержит горизонтальное основание 1, которое шарнирно связано с последовательным манипулятором 2 с вращательными шарнирами имеющими на конце схват 3.

Рис. 1 — Схема параллельного манипулятора

Рис. 2 — Схема последовательного манипулятора

 Определение рабочей области последовательного манипулятора. Идея применить эвристические методы многокритериальной оптимизации для задач аппроксимации границы рабочей области робота- манипулятора была высказана в [11]. Метод, использованный в [11], не гарантировал того, что рабочая область целиком лежит внутри построенной аппроксимации. Для ряда приложений подобная гарантия необходима. Предложенный выше подход позволяет строить множество, гарантированно содержащее рабочую область. Рассматривается планарный робот с k звеньями переменной длины (рис. 3). Один из концов манипулятора закреплен в начале координат. Рабочая область определяется как множество возможных позиций свободного (второго) конца робота, называемого схватом. Позиция схвата полностью определяется вектором длин звеньев    и вектором величин углов между соответствующими звеньями.

Рис. 3 — Углы и звенья, определяющие конфигурацию робота- манипулятора

Допустимое множество углов и длин звеньев является параллелепипедом

где и – заданные диапазоны возможных значений длины звена s_i и угла θ_i соответственно.

Рабочая область робота- манипулятора – это образ допустимого множества X, где   задается формулами.

,

.

Для рабочей области Y строится внешняя ε-аппроксимация эффективной границы с помощью метода, изложенного в предыдущем разделе. Построенное множество точек полностью определяет ε-эффективную оболочку, включающую в себя рабочую область робота- манипулятора.

Рассмотрим пример трехзвенного робота- манипулятора с фиксированными длинами звеньев

и заданными диапазонами изменения углов  [13]. На рис. 4 приведена внешняя ε-аппроксимация эффективной границы рабочей области манипулятора при ε = 0.5, 0.01. Время расчетов на персональном компьютере Intel (TM) Core i5 CPU, 3.1 ГГц, 4 Гб Ram составило 0.2 с и 47.9 с соответственно. Данный пример наглядно демонстрирует повышение точности аппроксимации, сопровождаемое увеличением времени расчетов.

Рис. 4 — Аппроксимация рабочей области манипулятора при разных значениях ε

Определение рабочей области параллельного манипулятора на базе трипода. Рассмотрим трипод, который включает три штанги переменной длины, которые соединены вращательными шарнирами с основанием и сферическими шарнирами   с рабочей платформой (рис. 5). Основание и рабочая платформа представляют собой равносторонние треугольники. В результате изменения длин штанг рабочая платформа совершает перемещение по оси Z1 на расстояние z1, и повороты вокруг оси X1 на угол ψ и вокруг Y1 угол θ. Кроме этого, имеются дополнительные степени свободы - смещение по осям X1 на расстояние x1 и по Y1  на расстояние y1 и вращение вокруг оси Z1 на угол α, которые определяются по формулам:

α=Tan-1(sinψsinθcosψ+cosθ)

x1=r2(cosθcosα+sinψsinθsinα-cosψcosα)

y1=-rcosψsinα

Входными координатами являются длины приводных звеньев l1 , l2 , l3 , выходными - координаты точки O'  рабочего органа: xo',yo',zo' . Т. O'  располагается на расстоянии h от центра подвижной платформы. Отрезок, проведённый из центра подвижной платформы O  к т. O' ,  перпендикулярен плоскости платформы. В связи с этим, обратная задача кинематики имеет множество решений и для определения рабочей области необходимо, предварительно, определить множество допустимых значений линейных и угловых координат центра O  подвижной платформы, а затем для данных значений определить множество координат точки O'  рабочего органа.

Рис. 5 — Cхема робота-трипода

Опишем координаты т. O'  в подвижной системе координат X1'Y1'Z1'

O1''=00h1T

Вычислим координаты т. O'   в неподвижной системе координат X1Y1Z1  

O1'=O1'M1'_1

где M1'_1  - матрица перехода от подвижной системы координат X1'Y1'Z1'  к неподвижной системе координат X1Y1Z1 , которая включает перемножение матриц перемещений вдоль осей X1, Y1, Z1 и поворотов вокруг осей X1,Y1,Z1

M1'_1=cosθcosα+sinψsinθsinα-cosθsinα+sinψsinθcosαcosψsinαcosψcosαsinθcosψx1-sinψy1-sinθcosα+sinψcosθsinαsinθsinα+sinψcosθcosα00cosθcosψz101 (1)

После преобразования получим

O1'=x1+M31hy1+M32hz1+M33h1=x1+sinθcosψhy1-sinψhz1+cosθcosψh1 (2)

Далее введем ограничения на геометрические параметры механизма

lmin≤li≤lmax (3)

где lmin,lmax  определяются конструктивными параметрами механизма, li  – текущая длина i-той штанги, которую определяем по формуле

li=(xEi-xDi)2+yEi-yDi2+(zEi-zDi)2  (4)

где xEi,yEi,zEi  – координаты центров шарниров, т. Ei , xDi,yDi,zDi  – координаты центров шарниров, т. Di  в неподвижной системе координат.

Определим координаты шарниров Ei  в подвижной системе координат X1'Y1'Z1' :E1'=r001T , E2'=-r23r201T , E3'=-r2-3r201T .

Обозначим в (1) M11=cosθcosα+sinψsinθsinα , M12=-cosθsinα+sinψsinθcosα , M13=sinθcosψ , M21=cosψsinα , M22=cosψcosα , M23=-sinψ , M31=-sinθcosα+sinψcosθsinφ , M32=sinθsinα+sinψcosθcosα , M33=cosθcosψ . Выразим координаты шарниров Ei  в неподвижной системе координат X1Y1Z1

E1=M1'_1E1'=x1+M11ry1+M21rz1+M31r1=x1+M11r0z1+M31r1 ,

E2=M1'_1E2'=x1-0,5rM11-3M12y1-0,5rM21-3M22z1-0,5rM31-3M321 , (5)

E3=M1'_1E3'=x1-0,5rM11+3M12y1-0,5rM21+3M22z1-0,5rM31+3M321

где y1=-M21r=-rcosψsinα .

Определим координаты шарниров Di  в неподвижной системе координат X1Y1Z1

D1=R001T ,

D2=-R23R201T  , (6)

D3=-R2-3R201T  .                                                                     

Подставив (5) и (6) в (4), запишем изменения длин штанг

l1=x1+M11r-R2+z1+M31r2 ,  (7)

l2=x1-0,5rM11-3M12+0,5R2+y1-0,5rM21-3M22-32R2+z1-0,5rM31-3M32212 , (8)

l3=x1-0,5rM11+3M12+0,5R2+y1-0,5rM21+3M22-32R2+z1-0,5rM31+3M32212 ,(9)

Наличие дополнительных смещений осложняет вычислительную задачу в связи с неоднозначностью решения обратной задачи кинематики. Для аппроксимации рабочей области использован разработанный алгоритм и его модификации различной размерности и подхода к переносу ограничений из пространства входных в пространство выходных координат. Рассмотрим наиболее оптимальные по точности и времени вычисления алгоритмы.

Построим рабочую область трипода на высоте zo'  среза. Алгоритм работает с тремя списками двумерных параллелепипедов P,PI и PA , при этом список P  включает набор параллелепипедов, содержащих множество положений т. O'  в пространстве входных координат (углы поворота ψ и θ), список PI  включает набор параллепипедов, содержащих множество положений т. O' , удовлетворяющих условию (3) в пространстве входных координат, список PA  содержащих множество положений т. O' , удовлетворяющих условию (3) в пространстве выходных координат (координаты т. O'  по оси X1 и Y1 ). 

 Алгоритм работает следующим образом:

1. Списки PI  и PA  пусты, а список P  состоит только из одного параллелепипеда Q , включающего диапазон углов ψ и θ поворота платформы -π2,π2 .

2. Извлечём из списка P  параллелепипед Qj,j∈1,n  и разделим равномерной сеткой по каждой из осей углов поворота θ и ψ  и перемещения по оси Z1  с шагом πn  и lmin,lmaxn  соответственно.

3.  Определим для всех точек Ak  длины штанг l1, l2, l3 (7-9).

4.  Выполним для всех точек Ak  проверку вхождения рассчитываемых значений длин в допустимый диапазон.

5.  Если для каждой из точек Ak  все длины штанг имеют значения из допустимого диапазона, то данный параллелепипед удовлетворяет условиям и добавляется к списку PI .

6.  Если ни для одной из точек Ak   не выполняется условие (3), то данный параллелепипед не удовлетворяет условиям и исключается из дальнейшего   рассмотрения.

7.  В остальных случаях параллелепипед делится на два равных параллелепипеда вдоль ребра с наибольшей длиной. Данные параллелепипеды   вносятся в конец списка P .

8.  Если очередной для рассмотрения параллелепипед Ql  в списке P  меньше заданной точности аппроксимации по всем осям, то есть интервалы ψ и θ меньше заданной точности аппроксимации, то переходим к шагу 10.

9. В остальных случаях происходит повторение шагов 2-9.

10.            Извлекаем из списка PI   параллелепипед Qj .

11.            Параллелепипед делится на два равных параллелепипеда вдоль ребра с наибольшей длиной. Данные параллелепипеды   вносятся в конец списка PI .

12.            Если очередной для рассмотрения параллелепипед в списке P  меньше заданной точности аппроксимации по всем осям, то есть интервалы ψ и θ меньше заданной точности аппроксимации, то данный параллелепипед добавляется к списку P .

13.            Если шаги 10-13 выполнены для всех параллелепипедов из списка PI , то переходим к шагу 15.

14. В остальных случаях происходит повторение шагов 10-13.

15. Извлечём из списка P  параллелепипед Qj,j∈l,n  и разделим равномерной сеткой по каждой из осей углов поворота θ и ψ  и перемещения по оси Z1  с шагом πn  и lmin,lmaxn  соответственно.

16.            Определим для всех точек Ak  координаты т. O'  (xo',yo' ) по формуле (2).