Белгородская область, Россия
Белгородская область, Россия
ВАК 05.17.00 Химическая технология
ВАК 05.23.00 Строительство и архитектура
УДК 69 Строительство. Строительные материалы. Строительно-монтажные работы
На основе модифицированного варианта нелинейной деформационной модели силового сопротивления железобетона разработана методика для определения прочности и трещиностойкости изгибаемых элементов трапециевидного сечения с нижней широкой гранью. Приведены аналитические зависимости, используемые для описания нелинейных диаграмм состояния бетона и арматуры. Для удобства практического применения предлагаемой методики расчета приведены алгебраические выражения, обеспечивающие определение интегральных геометрических характеристик эпюр напряжений в сжатой и растянутой зонах бетона рассматриваемого трапециевидного сечения. Учитывая, что частным случаем трапециевидного сечения является прямоугольник, то методика расчета может использоваться для теоретического определения прочности и трещиностойкости сечений изгибаемых железобетонных элементов как прямоугольной, так и трапециевидной формы. Для сопоставления расчётных величин изгибающих моментов, соответствующих стадиям трещинообразования и исчерпания прочности железобетонных элементов по нормальному сечению, составлен алгоритм, реализованный в программе расчёта для персонального компьютера. С её помощью были выполнены численные исследования, некоторые результаты которых представлены в статье.
прочность, трещиностойкость, деформационная расчетная модель, диаграммы состояния бетона, диаграммы растяжения арматуры, изгибаемый элемент, трапециевидное сечение
Ранее проведенные авторами исследования [3, 5] показали, что форма поперечного сечения изгибаемого железобетонного элемента существенно влияет на его прочность и трещиностойкость. В частности, на основе деформационной расчетной модели были разработаны соответствующие методики и алгоритмы расчета указанных параметров применительно к балочным конструкциям трапециевидного сечения с верхней широкой гранью. Проведенные численные эксперименты [5] позволили выявить отличительные особенности деформирования исследуемых трапециевидных сечений по отношению к традиционным элементам прямоугольной формы. При этом ни авторами, ни другими исследователями не анализировались пока балочные конструкции трапециевидного сечения с нижней широкой гранью.
Чтобы восполнить этот пробел, в данной работе приведены особенности построения методик расчета прочности и трещиностойкости изгибаемых железобетонных элементов указанного вида.
Общими элементами для обеих методик являются нелинейные диаграммы деформирования бетона и арматуры [1, 2, 4].
Диаграммы состояния бетона при сжатии и растяжении принимаются без ниспадающих участков [1, 4] и характеризуются следующими параметрами: начальным модулем упругости Eb2, предельными сопротивлениями сжатию Rb и растяжению Rbt, а также соответствующими предельными относительными деформациями εbu и εbtu (рис. 1, а).
Для аналитического описания диаграмм сжатия и растяжения бетона используем дробно-рациональную функцию следующего вида:
, (1)
где Eb2 – начальный модуль упругости бетона, общий для неоднородного сжатия (см. кривую 1 на рис. 1, а) и растяжения (см. кривую 2 на рис. 1, а); Dj, Cj – параметры нелинейности деформирования бетона при неоднородном сжатии и растяжении, получаемые путем трансформирования исходных (эталонных) диаграмм на основе использования соответствующих энергетических критериев разрушения бетона (j=b2 – для диаграмм неоднородного сжатия, j=bt2 – то же, растяжения); si, ei – текущие значения напряжений и деформаций сжатия (i=b) и растяжения (i=bt).
Подробная методика определения неизвестных величин (Eb2, Db2, Cb2, Dbt2, Cbt2, εbu, εbtu) представлена в работе [4].
Диаграмма растяжения арматуры принята с физической площадкой текучести (рис. 1, б). Для её описания применяется кусочная функция, состоящая из одного линейного и двух нелинейных уравнений:
при
, (2)
при
, (3)
при
, (4)
где Esn – начальный модуль упругости арматуры; sel, eel – предел упругости и соответствующая относительная деформация арматуры (см. т. 1 на рис. 1, б); sy, eyf – предел текучести и относительная деформация в конце площадки текучести арматуры (см. т. 2 на рис. 1, б); su, eu – временное сопротивление и предельная относительная деформация при разрыве арматуры (см. т. 3 на рис. 1, б); Cs1, Ds1, Cs2, Ds2 – параметры нелинейности кусочной функции, описывающей второй и третий участки диаграммы; Es2 – модуль упругости арматуры в начальной точке третьего участка.
а б
Рис. 1. Диаграммы деформирования бетона (а) и арматуры (б)
Зависимости для определения неизвестных параметров кусочной функции (Cs1, Ds1, Cs2, Ds2, Es2) представлены в работе [2].
При разработке методик расчета прочности и трещиностойкости сечений изгибаемых железобетонных элементов трапециевидной формы с нижней широкой гранью используем: уравнения равновесия, условия линейного распределения относительных деформаций по сечению, а также нелинейные диаграммы деформирования бетона и арматуры.
Расчетная схема изгибаемого железобетонного элемента рассматриваемого вида на стадии трещинообразования представлена на рис. 2.
Рис. 2. Схема распределения относительных деформаций, напряжений и усилий в нормальном сечении
изгибаемого железобетонного элемента трапециевидной формы
на стадии трещинообразования
Уравнения равновесия в традиционной форме их записи имеют вид:
, (5)
, (6)
где Mcrc – искомый изгибающий момент, соответствующий началу этапа трещинообразования сечения железобетонного элемента; sbc – величина фибрового напряжения бетона в сжатой зоне сечения; wc, wt, gc, gt – интегральные геометрические характеристики эпюр напряжений в сжатой и растянутой зонах бетона; xc, xt – высоты сжатой и растянутой зон бетона; ssc, sst – напряжения в сжатой и растянутой арматуре; b1, b2 – ширина, соответственно, нижней и верхней грани трапециевидного сечения элемента; h – высота сечения элемента; Asc, Ast – площади сжатой и растянутой арматуры; ac, at – расстояния от верхней и нижней граней сечения до центров тяжести сжатой и растянутой арматуры; bx – ширина сечения на уровне нейтральной оси.
Для определения ширины (bx) трапециевидного сечения элемента на уровне его нейтральной оси используется выражение:
. (7)
Коэффициенты полноты эпюр напряжений в сжатой и растянутой зонах бетона (wc, wt) и относительные расстояния от нейтральной оси до центров тяжести соответствующих эпюр (gc, gt) находятся с помощью следующих зависимостей, полученных авторами применительно к трапециевидному поперечному сечению изгибаемого железобетонного элемента с нижней широкой гранью:
, (8)
, (9)
, (10)
, (11)
где ebc, ebtu – относительные фибровые деформации, соответственно, в сжатой и растянутой зонах сечения изгибаемого железобетонного элемента.
С учетом принятой гипотезы плоских сечений для рассматриваемого железобетонного элемента записываются следующие условия деформаций:
(12)
, (13)
, (14)
(15)
где esc, est – относительные деформации сжатой и растянутой арматуры.
Величину фибрового напряжения бетона sbc получаем с использованием зависимости (1), описывающей диаграмму деформирования бетона при неоднородном сжатии, а неизвестные напряжения в сжатой и растянутой арматуре ssc, sst находятся с помощью универсальной кусочной функции (2)…(4), принятой для описания диаграмм деформирования арматурных сталей с физической площадкой текучести.
Таким образом, получена замкнутая система разрешающих уравнений для определения НДС изгибаемого железобетонного элемента трапециевидного сечения с нижней широкой гранью на стадии его трещинообразования.
Теперь рассмотрим представленную на рис. 3 расчетную схему исследуемого элемента на стадии исчерпания его прочности.
Рис. 3. Схема распределения относительных деформаций, напряжений и усилий в нормальном сечении
изгибаемого железобетонного элемента трапециевидной формы
на стадии исчерпания его прочности
Ввиду малости своих значений из уравнений равновесия исключаются компоненты, учитывающие растянутую зону бетона, а вместо величины фибрового напряжения сжатого бетона sbc принимается его призменная прочность :
, (16)
, (17)
где Mu – искомый изгибающий момент, соответствующий исчерпанию прочности элемента по нормальному сечению; описание остальных параметров совпадает с приведенным ранее для уравнений (5), (6).
Расчетные зависимости для определения интегральных геометрических характеристик эпюры напряжений в сжатой зоне бетона (wc, γc) находятся с помощью формул (8) и (9), в которые вместо фибрового напряжения (sbc) и относительной деформации (ebc) подставлены предельные значения этих величин: Rb и ebu. Выражение (7) для вычисления ширины сечения элемента на уровне его нейтральной оси (bx) используется без изменений. В качестве условий линейного распределения относительных деформаций по сечению принимаются зависимости (14) и (15) с учётом подстановки параметра ebu вместо ebc. Осталось только найти неизвестные напряжения в сжатой и растянутой арматуре ssc и sst, для вычисления которых используется универсальная кусочная функция, включающая уравнения (2)…(4).
В результате численного решения полученной системы уравнений с использованием одного из итерационных методов определяется искомый изгибающий момент Mu, соответствующий исчерпанию прочности по нормальному сечению изгибаемого железобетонного элемента трапециевидной формы с нижней широкой гранью.
Для проведения качественной и количественной оценки результатов, получаемых в рамках предлагаемых методик расчета прочности и трещиностойкости рассматриваемых элементов, были составлены соответствующие алгоритмы и разработаны программы «Izgib_1T» и «Izgib_2T» для персонального компьютера, с помощью которых проведены численные исследования. Первая из программ предназначена для расчета изгибаемых железобетонных элементов трапециевидной формы с верхней широкой гранью, а вторая – для трапециевидных сечений с нижней широкой гранью.
Принимаем во внимание, что частным случаем трапециевидного сечения является прямоугольник. Поэтому методики, алгоритмы и программы расчета «Izgib_1T» и «Izgib_2T» могут использоваться для теоретического определения прочности и трещиностойкости сечений изгибаемых железобетонных элементов как прямоугольной, так и трапециевидной формы при любой прочности бетона и различном содержании сжатой и растянутой арматуры.
В качестве исследуемого эталонного образца был принят изгибаемый железобетонный элемент с размерами поперечного сечения прямоугольной формы b´h = 300´450 мм. Сравниваемые железобетонные элементы трапециевидного сечения имеют такую же высоту (h = 450 мм), но различные размеры нижней (b1) и верхней (b2) граней. Для образцов с верхней более широкой гранью (тип 1) её размер принят совпадающим с шириной сечения прямоугольной формы b2 = 300 мм, а нижняя грань – вполовину меньше b1 = 150 мм. Альтернативные образцы трапециевидного сечения (см. рис. 2) имеют более широкую нижнюю грань (b1 = 300 мм) и, соответственно, уменьшенную верхнюю грань b2 = 150 мм (тип 2). В обоих случаях экономия бетона по сравнению с эталонным прямоугольным элементом достигает 25 %.
В ходе численного эксперимента варьировали следующими исходными данными: классами бетона (В15, В30, В50, В70); процентным содержанием растянутой арматуры класса А400 (0,5 %, 1,0 %, 3,0 %, 5,0 %). В сжатой зоне для всех образцов принята арматура класса А240 с постоянной площадью (0,5 %). В расчетах использовались нормативные характеристики бетона и арматуры с учетом кратковременного нагружения железобетонных элементов статической нагрузкой. В итоге общий объем рассчитываемых образцов составил 48. Основные результаты численных исследований представлены в таблице 1.
Таблица 1
Расчетные значения прочности и трещиностойкости сечений изгибаемых
железобетонных элементов прямоугольной и трапециевидной формы, кН∙м
|
Класс бетона |
Процент армиро-вания, % |
Прямоуголь-ное сечение (Mcrc,1 / Mu,1) |
Трапециевидное сечение |
|
|
|
|
b1 = 150 мм; b2 = 300 мм (Mcrc,2 / Mu,2) |
b1 = 300 мм; b2 = 150 мм (Mcrc,3 / Mu,3) |
|||||
|
В15 |
0,5 |
29,25 / 127,25 |
19,00 / 126,58 |
21,21 / 110,74 |
65,0 / 99,5 |
72,5 / 87,0 |
|
1,0 |
35,09 / 196,33 |
25,35 / 195,28 |
25,76 / 171,86 |
72,2 / 99,5 |
73,4 / 87,5 |
|
|
3,0 |
57,15 / 306,80 |
48,97 / 278,86 |
41,96 / 197,60 |
85,7 / 90,9 |
73,4 / 64,4 |
|
|
5,0 |
77,35 / 319,30 |
70,20 / 286,70 |
55,68 / 198,82 |
90,8 / 89,8 |
72,0 / 62,3 |
|
|
В30 |
0,5 |
43,34 / 140,26 |
26,79 / 139,99 |
30,01 / 130,04 |
61,8 / 99,8 |
69,2 / 92,7 |
|
1,0 |
49,86 / 235,28 |
33,91 / 232,76 |
34,95 / 194,80 |
68,0 / 98,9 |
70,1 / 82,8 |
|
|
3,0 |
74,96 / 499,28 |
60,91 / 470,03 |
53,09 / 320,41 |
81,2 / 94,1 |
70,8 / 64,2 |
|
|
5,0 |
98,64 / 547,97 |
85,99 / 493,29 |
69,14 / 327,91 |
87,2 / 90,0 |
70,1 / 59,8 |
|
|
В50 |
0,5 |
58,14 / 148,74 |
34,96 / 148,53 |
38,77 / 140,04 |
60,1 / 99,8 |
66,7 / 94,2 |
|
1,0 |
65,44 / 268,97 |
42,94 / 267,44 |
44,14 / 227,37 |
65,6 / 99,4 |
67,4 / 84,5 |
|
|
3,0 |
93,75 / 565,12 |
73,52 / 559,33 |
64,10 / 446,66 |
78,4 / 99,0 |
68,4 / 79,0 |
|
|
5,0 |
120,80 / 801,32 |
102,31 / 736,35 |
82,09 / 479,77 |
84,7 / 91,9 |
68,0 / 59,9 |
|
|
В70 |
0,5 |
69,44 / 154,18 |
41,11 / 153,99 |
44,90 / 145,31 |
59,2 / 99,9 |
64,7 / 94,2 |
|
1,0 |
77,32 / 286,54 |
49,74 / 285,84 |
50,54 / 250,54 |
64,3 / 99,8 |
65,4 / 87,4 |
|
|
3,0 |
108,00 / 605,66 |
82,98 / 592,36 |
71,60 / 504,05 |
76,8 / 97,8 |
66,3 / 83,2 |
|
|
5,0 |
137,49 / 891,87 |
114,45 / 875,11 |
90,71 / 619,56 |
83,2 / 98,1 |
66,0 / 69,5 |
|
Анализ полученных результатов, позволил выявить следующие закономерности:
- для небольших процентов армирования (0,5 %; 1,0 %) изгибная прочность трапециевидных сечений изгибаемых железобетонных элементов с верхней широкой гранью практически совпадает с соответствующими величинами Mu для прямоугольных сечений (отклонения от 0,3 % до 1,5 %). При повышенном проценте армирования таких сечений (3,0 %) предельные изгибающие моменты также достаточно близки по величине. При этом для образцов из бетонов В15…В30 отклонения существенно больше (12,3…9,0 %), чем для бетонов повышенной прочности (1,4…2,7 %). Для переармированных сечений (5,0 %) сохраняется такая же тенденция – с ростом прочности бетона значения отклонений уменьшаются. Наибольшие отклонения (13,7…11,4 %) выявлены для образцов из бетонов В15…В50, а для бетона класса В70 отклонение составило всего 2,7 %;
- для трапециевидных образцов с широкой нижней гранью наблюдается снижение изгибной прочности в диапазоне от 5,8 до 40,2 % по отношению к эталонным образцам прямоугольного сечения. При этом более близкие к минимальному значению диапазона показали малоармированные образцы (0,5 %) для всех классов бетонов, а наибольшие отклонения выявлены для переармированных образцов (5,0 %). Для наиболее распространённого процента армирования (1,0 %) снижение изгибной прочности сечения укладывается в относительно небольшой диапазон отклонений от 12,5 до 17,2 %. Образцы с повышенным процентом армирования (3,0 %) показали разные по величине диапазоны снижения их изгибной прочности в зависимости от классов бетона. Так, предельные изгибающие моменты Mu для рассматриваемых трапециевидных элементов из бетонов В15…В30 уменьшилась практически на одинаковую величину 35,6…35,8 %, а для бетонов повышенной прочности В50…В70 снижение оказалось существенно меньше – на 16,8...21,0 %;
- для всех 3-х типов образцов прослеживается устойчивая тенденция повышения изгибной прочности элементов с увеличением процента армирования при одном и том же классе бетона. Максимальный рост значений изгибающих моментов (в 5,78 раза) выявлен у эталонных образцов из высокопрочного бетона В70. У элементов трапециевидного сечения первого типа рост искомых величин Mu от рассматриваемого фактора происходит в меньшей степени – в 5,68 раза, а для элементов второго типа рост предельных изгибающих моментов Mu не превышает 4,26 раза;
- с повышением прочности бетона при одном и том же проценте армирования у всех образцов наблюдается рост предельных изгибающих моментов, который для высокопрочного бетона В70 и наибольшего процента армирования (5,0 %) достигает значений 2,79...3,12 раза. Для наиболее распространённого процента армирования (1,0 %) получен одинаковый рост (в 1,46 раза) искомых величин Mu для всех 3-х исследуемых типов сечений элементов;
- для всех рассмотренных классов бетона и при любом армировании растянутой зоны трещиностойкость элементов трапециевидного сечения обоих типов оказалась на 9,2…40,8 % ниже, чем у эталонных образцов. При этом диапазон отклонений величин Mcrc у трапециевидных сечений второго типа оказался несколько меньше и составил от 26,6 до 35,3 %;
- увеличение в заданных пределах процента армирования трапециевидных сечений при неизменной прочности бетона приводит к существенному повышению их трещиностойкости. При этом наибольший рост значений наблюдается у низкопрочного бетона (В15) – в 3,69 раза для образцов первого типа и в 2,63 раза для образцов второго типа. Для высокопрочного бетона (В70) этот рост несколько меньше – в 2,78 раза для элементов первого типа и в 2,02 раза для элементов второго типа. Для прямоугольных сечений указанные соотношения искомых величин несколько ниже и составляют для низкопрочного и высокопрочного бетонов, соответственно, 2,64 и 1,98 раза;
- увеличение прочности бетона для всех рассмотренных элементов приводит к повышению трещиностойкости их сечений в 1,63… 2,37 раза. При этом для малоармированных (0,5 %) образцов параметры роста относительных величин моментов трещинообразования ближе к максимальному значению их общего диапазона – 2,12…2,37 раза, а для переармированных (5,0 %) сечений аналогичные величины ближе к минимальному значению их общего диапазона – 1,63…1,78 раза.
В заключение следует отметить, что в настоящее время авторы выполняют экспериментальные исследования для оценки влияния формы поперечного сечения на прочность, трещиностойкость и деформативность изгибаемых железобетонных элементов, результаты которых планируется представить в последующих публикациях.
1. Немировский Ю.В., Болтаев А.И. Диаграммы деформирования бетонов и железобетонов // Вестник БГТУ им. В.Г. Шухова. 2015. № 6. С. 125-129.
2. Никулин А.И. Универсальная зависимость для аналитического описания диаграмм растяжения арматурной стали // Вестник Иркутского государственного технического университета. 2015. № 3. С. 157-162.
3. Никулин А.И., Обернихин Д.В., Рубанов В.Г., Свентиков А.А. Трещиностойкость изгибаемых железобетонных элементов трапециевидного сечения на основе применения нелинейной деформационной модели // Вестник БГТУ им. В.Г. Шухова. 2016. № 2. С. 58-63.
4. Никулин А.И., Фролов Н.В., Никулина Ю.А. Трещиностойкость изгибаемых железобетонных элементов с учетом использования в растянутой зоне различных сочетаний стальной и стеклопластиковой арматуры // Бетон и железобетон. 2015. № 3. С. 18-22.
5. Обернихин Д.В., Никулина Ю.А. Численные исследования прочности изгибаемых железобетонных элементов трапециевидного и прямоугольного сечений // Безопасность строительного фонда России. Проблемы и решения: материалы международных академических чтений.– Курск: Изд-во Курск. гос. ун-та, 2015.– С. 175-183.
