Геометрическим аспектом трещины является плоскость разрыва сплошности горных пород [1]. Трещиноватостью называют совокупность всех трещин, развитых в массиве горных пород. Трещины, имеющие параллельную или близкую ориентировку, объединяют в системы трещин, которые характеризуются интенсивностью трещиноватости — средним количеством трещин на погонный метр (либо на единицу длины) разреза в любом направлении. Интенсивность трещиноватости зависит от направления и поэтому является анизотропной величиной.

Пусть в массиве горных пород развито n систем трещин, в каждой из которых сделано по N_i (i=1,2,...,n) замеров. Под точкой замера будем понимать некоторый объём в массиве горных пород, достаточно большой для возможности определения угла падения, азимута простирания и частоты системы трещин и достаточно малый по сравнению с оцениваемым массивом горных пород.

Под плоскостью системы трещин будем понимать плоскость, ориентировка которой в пространстве определяется средним положением плоскостей, составляющих систему [2]. В частности, интенсивность трещиноватости в направлении, перпендикулярном плоскости системы трещин, называют частотой трещин системы. Математическим эквивалентом системы трещин служит вектор системы трещин [2], перпендикулярный плоскости системы, и модуль которого равен частоте трещин системы.

Ориентировка в пространстве плоскости системы однозначно определяется элементами её залегания: азимутом линии простирания (A) и углом линии падения (δ), которые изменяются в промежутках 0≤A≤2π , 0≤δ≤π2 .

Можно показать [2], что вектор ω (i=1,2,...,n) i-ой системы трещин определяется выражением

ωi=ωiNi⋅ni=ωiNi⋅ai;bi;ciai2+bi2+ci2,i=1,2,...,n                                             (1)

в котором использовано введённое в теорию погрешностей обозначение Гаусса:

ωi=j=1Niωij ,ai=-j=1NisinAijsinδij ,

bi=j=1NicosAijsinδij ,ci=j=1Nicosδij ;                                         (2)

где Aij,δij,ωij – j-ый замер соответственно азимута простирания, угла падения и частоты i-ой системы трещин; N_i – число замеров в i-ой системе трещин.

Заметим, что в формуле (1) отношение ωiNi определяет среднюю частоту i-ой системы трещин, а ni=ai;bi;ciai2+bi2+ci2  – единичный ni=1 нормальный вектор плоскости i-ой системы.

При открытом способе разработки месторождение отрабатывают горизонтальными слоями, поэтому сеть буровзрывных скважин ориентируют в плане, в выбранной на месторождении системе координат Oxy. В этом случае рациональные параметры сети буровзрывных скважин будут зависеть от анизотропии трещиноватости дезинтегрируемого массива горных пород, индуцированной проекциями векторов систем трещин (1) на плоскость Oxy

ωi*=ПРOxyωi=ωiNi⋅ai;bi;ciai2+bi2+ci2,i=1,2,...,n                                           (3)

Направление в декартовой системе координат Oxy выражается единичным вектором направляющих косинусов

eα=cosα;cosπ2-α=cosα;sinα                                         (4)

который однозначно определяется углом α=e,Ox  между ним и осью Ox.

На основе исследований [2] устанавливаем, что интенсивность трещиноватости в плоскости Oxy, обусловленная n системами трещин, представляет собой сумму модулей проекций векторов ωi* (3) на направление eα (4)

Lα=i=1nПРeωi*=i=1nωi*⋅eα=i=1nωi⋅aicosα+bisinαNi⋅ai2+bi2+ci2                               (5)

Найдём экстремумы интенсивности трещиноватости (5), которые необходимы для определения рациональных параметров геометрии сети буровзрывных скважин.

Обозначим через

ai=ωi⋅aiNi⋅ai2+bi2+ci2 , bi=ωi⋅biNi⋅ai2+bi2+ci2 , (6)

x=cosα,y=sinα  i=1,2,...,n.

Тогда из равенств (3) и (5) соответственно получим выражения проекций векторов систем трещин на плоскость Oxy

ωi*=ai;bi,i=1,2,...n ,               (7)

и интенсивности трещиноватости в плоскости Oxy

Lα=Lx,y=i=1naix+biy          (8)

Причём из обозначения (6) и равенства (4) следует, что переменные величины x и y удовлетворяют уравнению единичной окружности в начале координат

x2+y2=1                           (9)

и определяют направление в плоскости Oxy

eα=x;y .                       (10)

Таким образом, задача свелась к нахождению экстремумов определённой на единичной окружности (9) неотрицательной функции Lx,y≥0 (8), представляющей собой сумму модулей от линейных функций.

Назовём решение данной задачи методом секторов направлений единичного круга, который заключается в следующем (см. рис. 1).

Для снятия модулей в функции (8) приравняем к нулю выражения, стоящие под знаками этих модулей и, с учётом ограничения (9), получим n систем уравнений

x2+y2=1aix+biy=0,i=1,2,...,n          (11)

Вторые уравнения представляют собой общие уравнения прямых в плоскости Oxy, проходящих через начало координат т. O и пересекающих единичную окружность (9) в двух диаметрально противоположных точках, симметричных относительно начала координат. Эти точки разбивают окружность на две полуокружности. В точках одной aix+biy>0 , а в точках другой aix+biy<0 . Знак определяется вектором-градиентом gradaix+biy=ai;bi , который указывает направление роста линейной функции aix+biy .

Найдём решения системы (11), представляющие собой координаты точек пересечения прямых с единичной окружностью (11). Выразим общие уравнения прямых в системе (11) в параметрической форме

x2+y2=1x=-bity=ait, i=1,2,...,n             (12)

и получим решения эквивалентных систем (11), (12)

xi1;yi1=bi;-aiai2+bi2,xi2;yi2=-bi;aiai2+bi2,i=1,2,...,n .                                                 (13)

Решения системы (13) определяют 2n попарно симметричных относительно начала координат т. O дуг единичной окружности, в точках каждой из которых выражения под знаками модулей функции интенсивности трещиноватости L(x,y) (8) сохраняют свои знаки. Опирающиеся на эти дуги попарно симметричные i-ый и n+i-ый секторы единичного круга x2+y2=1  задают направления eα=x;y знакопостоянства линейных функций aix+biy .

Заметим, что интенсивности трещиноватости L(x,y) (8) одинаковы по симметрично-противоположным направлениям  i-ых и n+i-ых секторов, i=1,2,...n. Поэтому достаточно исследовать i-ые секторы направлений.

Введём в i-ом секторе направлений функцию

signiaix+biy=1,еслиaix+biy>0-1,еслиaix+biy<00,еслиaix+biy=0 ,

которая определяет знак выражения aix+biy .

Тогда в данном i-ом секторе направлений функцию интенсивности трещиноватости L(x,y) (8) можно, опустив знаки модулей

Lix,y=i=1naix+biysigniaix+biy , (14)

представить в виде линейной функции

Lix,y=βix+γiy ,                 (15)

где βi  и γi  выражаются как

βi=i=1nai⋅signaix+biy , γi=i=1nbi⋅signaix+biy .                      (16)

Геометрически (см. рис. 1), согласно методу горизонтальных сечений, интенсивность трещиноватости L(x,y) (15) для рассмотренного i-го сектора можно изобразить в виде системы параллельных прямых в плоскости Oxy, на каждой из которых функция принимает постоянное значение С

Lix,y=βix+γiyLix,y=C⇒βix+γiy=C                                        (17)

При С=0 получаем общее уравнение прямой и нормали N  к ней

βix+γiy=0,Ni=βi;γi ,        (18)

которая проходит через начало координат т. O. С ростом С прямая уровня (17) перемещается в направлении максимального роста интенсивности трещиноватости L(x,y) (15), то есть в направлении её градиента

gradLx,y=∂Li∂x;∂Li∂y=βi;γi .   (19)

Сравнивая выражения (18) и (19), устанавливаем совпадение градиента интенсивности трещиноватости (19) с нормалью прямой (18)

Ni=gradLix,y .                    (20)

В соответствии с теорией математического программирования [3], точка отрыва прямой уровня (17) от дуги i-го сектора будет точкой максимума, которая является точкой пересечения прямой, проходящей через начало координат в направлении градиента интенсивности трещиноватости (19), (20), с единичной окружностью (9)

x2+y2=1xβi=yγi .                         (21)

Перейдём от канонического уравнения прямой в системе (21) к параметрическим уравнениям

x2+y2=1x=βity=γit                       (22)

и получим два решения системы (22)

xi1*;yi1*=βi;γiβi2+γi2        (23)

xi2*;yi2*=-βi;-γiβi2+γi2 ,    (24)

первое (23) из которых может принадлежать рассматриваемого i-му сектору, а второе (24) ему противоположному n+i-му сектору. В этом случае, подставляя первое решение xi1*;yi1*  в функцию (15), получим максимальное значение интенсивности трещиноватости (15), (8) в i-ом секторе направлений

maxLixi1*;yi1*=βi2+γi2=gradLixi1*;yi1*                                    (25)

Сопоставляя формулы (19) и (23), убеждаемся в том, что направления вектора xi1*;yi1*  и вектор-градиент gradLix;y совпадают. Следовательно, максимум функцииLα=Lx;y (5),(8) в i-ом секторе достигается в направлении gradLix;y (19), (23) и равен модулю этого градиента (25) при условии, что вектор-градиент принадлежит данному сектору.

Если направление (19), (23) не принадлежит i-му сектору направлений, то в рассматриваемом секторе интенсивность трещиноватости не принимает своего максимального значения.

Минимальные значения интенсивность трещиноватости (5), (8) принимает на границах секторов

minLixi1;yi1,minLixi1;yi1  (26)

соответственно в направлениях

exi1;yi1,exi1;yi1 , (27)

где xi1;yi1,xi1;yi1  определены равенствами (13).

Рис. 1. Геометрия метода секторов направлений единичного круга:

1) i-ый сектор направлений; 2) n+i-ый сектор направлений;

3) знак выражения a₁x+b₁yв i-ом секторе направлений; 4) противоположный знак выражения a₁x+b₁yв n+i-ом секторе направлений

Таким образом, определяя направления (13), (19), (23) и максимальные и минимальные значения (25), (26) интенсивности трещиноватости (8), (15) по всем секторам направлений, выделим из них наибольшее L_нб и наименьшее L_нм значения интенсивности трещиноватости L(x,y) (8) и направления eнб,eнм , по которым достигаются эти значения.

В качестве примера определим интенсивность трещиноватости Лебединского месторождения в плане в принятой на месторождении системы координат Oxy и найдём экстремумы её анизотропии.

В пределах Лебединского месторождения наибольшее распространение имеют три основные системы трещин, которые обуславливают форму, ориентировку в пространстве, размеры средней естественной отдельности, блочность в массиве горных пород [4]. Трещины первой системы параллельны напластованию сланцев, продольные относительно осей складок и характеризуются средними значениями азимута простирания СЗ 312°, угла падения 70° и расстояния между трещинами 0,18 м. Трещины второй системы представляют нормально секущую слоистость и имеют средние значения азимута простирания СВ 70°, угла падения 75° и расстояния между трещинами 0,32 м. Трещины третьей системы перпендикулярны к складчатости и слоистости, их элементы залегания характеризуются средними значениями азимута простирания СВ 40°, угла падения 48° и расстояния между трещинами 0,4 м.

Согласно формулам (6), (7) и на основе представленных элементов залегания систем трещин приведём ниже в таблице 1 координаты векторов ωi*,i=1,2,3  (7) в плоскости Oxy, которые являются проекциями векторов систем трещин на плоскость Oxy.

Таблица 1

Координаты векторов-проекций векторов систем трещин на плоскость Oxy

По данным таблицы и выражения (8) получим в системе координат Oxy функцию интенсивности трещиноватости Лебединского месторождения

Lα=Lx,y=3,88x+3,50y+-2,83x+1,03y+-1,19x+1,42y ,                     (28)

определённую в точках единичной окружности (9).

Для снятия модулей в функции (28) приравняем к нулю выражения под знаками модулей и с учётом ограничения (9) получим три системы уравнений вида (12), отвечающие трём системам трещин

i=1,x2+y2=1x=-3,50ty=3,88t;i=2,x2+y2=1x=1,03ty=2,83t;i=3,x2+y2=1x=1,42ty=1,19t;                                      (29)

где i – номер системы трещин.

По формуле (13) находим решения этих систем (29)

i=1,x11;y11=0,67;-0,74,x12;y12=-0,67;0,74i=2,x21;y21=0,43;0,94,x22;y22=-0,34;-0,94i=3,x31;y31=0,77;0,64,x32;y32=-0,77;-0,64                                       (30)

Решения (30) разбивают единичную окружность (см. рис.2) на 3 пары симметричных дуг, на которые опираются секторы единичного круга, задающие направления в плоскости. Так как интенсивности трещиноватости по взаимно противоположным направлениям совпадают, то достаточно исследовать направления трёх смежных несимметричных секторов, характеризующихся граничными единичными векторами:

I сектор    (0,67;-0,74) – (0,77;0,64);

II сектор   (0,77;0,64) – (0,34; 0,94);

III сектор (0,34;0,94) – (-0,67;0,74).

В I секторе (см. рис. 2) выражение под знаком первого модуля функции (28) положительно, под знаком второго и третьего модуля выражения отрицательны. Поэтому согласно формулам (14)-(15) интенсивность трещиноватости L(x,y) в направлении I-госектора примет вид

L1x,y=3,88x+3,50y+2,88x-1,03y+1,19x-1,42y

или

L1x,y=7,9x+1,05y .

Тогда по формуле (23) получаем единичный вектор направления максимального значения в I-ом секторе

emaxI=0,99;0,13 ,                 (31)

а по формуле (25) максимальное значение по этому направлению

maxL1x11*;y11*=7.96               (32)

Подобным образом в III-ем секторе по направлению

emaxIII=x31*;y31*=0;1             (33)