Кассель, Германия
Челябинск, Челябинская область, Россия
Рассмотрены геометрические модели, позволяющие символически изображать мнимые точки на вещественной декартовой координатной плоскости XY. Модели базируются на том обстоятельстве, что через всякую пару мнимых сопряженных точек A~B с комплексными координатами x = a ± jb, y = c ± jd проходит единственная действительная прямая m, которая может рассматриваться как один из элементов геометрической модели, указывающей положение пары заданных мнимых сопряженных точек A~B на плоскости XY. Для изображения мнимых точек предлагается использовать графический символ m{OL}, состоящий из прямой m, проходящей через изображаемые мнимые точки, центра O эллиптической инволюции σ с мнимыми двойными точками A~B на прямой m, и точки Лагерра L, из которой соответственные точки инволюции σ проецируются ортогональным пучком прямых. Согласно А.Г. Гиршу, символ m{OL} называют маркером мнимых сопряженных точек A~B. Доказана теорема, устанавливающая взаимно однозначное соответствие между действительными декартовыми координатами точек O, L маркера и комплексными декартовыми координатами изображаемых этим маркером пары мнимых сопряженных точек. Доказанная теорема позволяет решить, как прямую задачу (построение маркера, изображающего данные мнимые точки), так и обратную задачу (определение декартовых координат мнимых точек, изображаемых маркером). Предложен графический алгоритм построения окружности, проходящей через действительную точку и через пару мнимых сопряженных точек. Рассмотрен пример графоаналитического определения декартовых координат мнимых точек пересечения двух коник, не имеющих общих действительных точек.
комплексные декартовы координаты, эллиптическая инволюция, поляритет, ортогональные окружности, пучок окружностей, окружность нулевого радиуса
1. Бюшгенс С.С. Аналитическая геометрия. Первый концентр, вып. 1 [Текст] / С.С. Бюшгенс. – М.-Л.: Объединенное научно-техническое изд-во НКТП СССР. Государственное технико-теоретическое изд-во, 1934. – 237 с.
2. Вольберг О. А. Основные идеи проективной геометрии [Текст] / О. А. Вольберг. – М.-Л.: Учпедгиз, 1949. – 188 с.
3. Гирш А.Г. Наглядная мнимая геометрия. [Текст] / А. Г. Гирш – М.: ООО «ИПЦ "Маска"», 2008. – 216 с.
4. Гирш А.Г. Комплексная геометрия – евклидова и псевдоевклидова. [Текст] / А. Г. Гирш – М.: ООО «ИПЦ "Маска"», 2013. – 216 с.
5. Гирш А.Г. Начала комплексной геометрии. Сборник задач по комплексной геометрии с решениями. Часть I ─ 2D. [Текст] / А. Г. Гирш – Кассель, 2012. ─ 191 с.
6. Гирш А.Г. Начала комплексной геометрии. Избранные задачи комплексной геометрии с решениями. Часть II ─ 3D. [Текст] / А. Г. Гирш – Кассель, 2014. ─ 112 с.
7. Гирш А.Г. Графические алгоритмы реконструкции кривой второго порядка, заданной мнимыми элементами. [Текст] / А. Г. Гирш, Короткий В. А. // Геометрия и графика. – 2016. – Т. 4. – №. 4. – C. 19-30. – DOI: 10.12737/22840
8. Гирш А. Г. Мнимости в геометрии [Текст] / А. Г. Гирш // Геометрия и графика. – 2014. – Т. 2. – №. 2. – C. 3-8. – DOI: 10.12737/5583
9. Гирш А. Г. Фокусы алгебраических кривых [Текст] / А. Г. Гирш // Геометрия и графика. – 2015. – Т. 3. – № 3. – C. 4-17. – DOI: 10.12737/14415
10. Глаголев Н.А. Проективная геометрия [Текст] / Н.А. Глаголев. – М.: Высшая школа, 1963. – 343 с.
11. Иванов Г. С. О задачах начертательной геометрии с мнимыми решениями [Текст] / Г. С. Иванов, И. М. Дмитриева // Геометрия и графика. – 2015. – Т. 3. – № 2. – C. 3-8. –DOI: 10.12737/12163
12. Клейн Ф. Высшая геометрия [Текст] / Ф. Клейн. – М.: УРСС, 2004. – 400 с.
13. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей [Текст]. В 2 т. Т. 2: Геометрия / Ф. Клейн. – М.: Наука, 1987. – 416 с.
14. Короткий В. А. Преобразование пучка коник в пучок окружностей [Текст] / В.А. Короткий // Совершенствование подготовки учащихся и студентов в области графики, конструирования и стандартизации: межвуз. научн. - метод. сб. – Саратов: СГТУ, 2014. – С. 53-57.
15. Короткий В.А. Компьютерная визуализация кривой второго порядка, проходящей через мнимые точки и касающейся мнимых прямых [Текст] / В.А. Короткий // Научная визуализация. – 2018. – V. 10, I. 1. – С. 56-68.
16. Пеклич В.А. Мнимая начертательная геометрия [Текст] / В.А. Пеклич. – М.: Изд-во АСВ, 2007. – 104 с.
17. Сальков Н. А. Начертательная геометрия – база для геометрии аналитической [Текст] / Н. А. Сальков // Геометрия и графика. – 2016. – Т. 4. – № 1. – C. 44-54. – DOI: 10.12737/18057.
