Челябинск, Челябинская область, Россия
Рассматривается геометрическая модель мнимых сопряженных прямых a~b, позволяющая символически изображать эти прямые на вещественной координатной плоскости xy. Чтобы связать алгебраическое и геометрическое представления мнимых прямых, предлагается использовать «марку», образованную ортогональными d1 ⊥ d2 и главными g1~g2 направлениями эллиптической инволюции σ в пучке V. Указание двух пар разделяющих друг друга вещественных прямых d1~d2, g1~g2, проходящих через V, однозначно задает эллиптическую инволюцию σ в пучке V, следовательно, марка V(d1 ⊥ d2, g1~g2) вполне определяет пару мнимых двойных прямых a~b эллиптической инволюции σ(V), что позволяет считать марку «изображением» этих мнимых прямых. При использовании марки требуется установить взаимно однозначное соответствие между комплексными коэффициентами уравнений мнимых двойных прямых и графически заданной маркой. В статье решаются прямая и обратная задачи. Прямая задача – построение марки, изображающей мнимые прямые, заданные своими уравнениями. Обратная задача – определение коэффициентов уравнений мнимых прямых, заданных маркой. Сущность прямой и обратной задач заключается в установлении взаимно однозначного соответствия между уравнениями мнимых двойных прямых эллиптической инволюции σ в пучке V, и графически заданной маркой, содержащей ортогональные и главные направления этой инволюции. Для решения как прямой, так и обратной задач используется теорема Гирша (A.G. Hirsch), устанавливающая взаимно однозначное соответствие между комплексными декартовыми координатами пары мнимых сопряженных точек и вещественными координатами специального «маркера», символически изображающего эти точки. Рассмотрены примеры решения геометрических задач с участием мнимых прямых. В частности, решена задача построения окружности, проходящей через данную точку и касающейся мнимых прямых, заданных своей маркой V(d1 ⊥ d2, g1~g2). Предложен графоаналитический алгоритм определения коэффициентов уравнений мнимых касательных, проведенных к коническому сечению из его внутренней точки.
комплексные декартовы координаты; эллиптическая инволюция, ортогональные и главные оси инволюции, циклические точки, изотропные прямые
1. Бюшгенс С.С. Аналитическая геометрия. Первый концентр, вып. 1 [Текст] / С.С. Бюшгенс. – М.-Л.: Объединенное научно-техническое изд-во НКТП СССР. Государственное технико-теоретическое изд-во, 1934. – 237 с.
2. Вольберг О. А. Основные идеи проективной геометрии [Текст] / О. А. Вольберг. – М.-Л.: Учпедгиз, 1949. – 188 с.
3. Волошинов Д.В. Единый конструктивный алгоритм построения фокусов кривых второго порядка [Текст] / Д.В. Волошинов // Геометрия и графика. – 2018. – Т. 6. – № 2. – C. 47-54. – DOI: 10.12737/2308-4898.
4. Гильберт Д. Наглядная геометрия [Текст] / Д. Гильберт, С. Кон-Фоссен. – М.: Наука, 1981. – 344 с.
5. Гирш А.Г. Комплексная геометрия – евклидова и псевдоевклидова [Текст] – М.: ООО «ИПЦ "Маска"», 2013. – 216 с.
6. Гирш А.Г. Наглядная мнимая геометрия [Текст] – М.: ООО «ИПЦ "Маска"», 2008. – 216 с.
7. Гирш А.Г. Начала комплексной геометрии. Избранные задачи комплексной геометрии с решениями. Часть II ─ 3D [Текст] – Кассель, 2014. ─ 112 с.
8. Гирш А.Г. Начала комплексной геометрии. Сборник задач по комплексной геометрии с решениями. Часть I ─ 2D [Текст] – Кассель, 2012. ─ 191 с.
9. Гирш А.Г. Графические алгоритмы реконструкции кривой второго порядка, заданной мнимыми элементами [Текст] / А.Г. Гирш, В.А. Короткий // Геометрия и графика. – 2016. – Т. 4. – № 4. – C. 19-30. – DOI: 10.12737/22840
10. Гирш А. Г. Мнимые точки в декартовой системе координат [Текст] / А. Г. Гирш, В.А. Короткий // Геометрия и графика. – 2019. – Т. 7. – № 3. – C. 28-35. – DOI: 10.12737/article_5dce651d80b827.49830821.
11. Глаголев Н.А. Проективная геометрия [Текст] / Н.А. Глаголев. – М.: Высшая школа, 1963. – 343 с.
12. Графский О.А. Геометрия электростатических полей [Текст] / О.А. Графский, Ю.В. Пономарчук, А.А. Холодилов // Геометрия и графика. – 2018. – Т. 6. – № 1. – C. 10-19. – DOI: 10.12737/article_5ad085a6d75bb5.99078854.
13. Клейн Ф. Высшая геометрия [Текст] / Ф. Клейн. – М.: УРСС, 2004. – 400 с.
14. Клейн, Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей [Текст]. В 2 т. Т. 2: Геометрия / Ф. Клейн. – М.: Наука, 1987. – 416 с.
15. Короткий В.А. Гомология двух конических сечений [Текст] / В.А. Короткий // Совершенствование подготовки учащихся и студентов в области графики, конструирования и стандартизации: межвузовский научно-методический сб. – Саратов: СГТУ, 2012. – С. 27-33.
16. Короткий В.А. Графические алгоритмы построения квадрики, заданной девятью точками [Текст] / В.А. Короткий // Геометрия и графика. – 2019. – Т. 7. – № 2. – C. 3-12. – DOI: 10.12737/article_5d2c1502670779.58031440.
17. Короткий В.А. Квадратичное кремоново соответствие плоских полей, заданное мнимыми F-точками [Текст] / В.А. Короткий // Геометрия и графика. – 2017. – Т. 5. – № 1. – C. 21-31. – DOI: 10.12737/25120.
18. Короткий В.А. Компьютерная визуализация кривой второго порядка, проходящей через мнимые точки и касающейся мнимых прямых [Текст] / В.А. Короткий // Научная визуализация. – 2018. – Т. 10, № 1. – С. 56-68.
19. Короткий В.А. Кривые второго порядка на экране компьютера [Текст] / В.А. Короткий, Е. А. Усманова // Геометрия и графика. – 2018. – Т. 6. – № 2. – C. 101-113. – DOI: 10.12737/2308-4898.
20. Короткий В. А. Преобразование пучка коник в пучок окружностей [Текст] / В.А. Короткий // Совершенствование подготовки учащихся и студентов в области графики, конструирования и стандартизации: межвузовский научно-методический сб. – Саратов: СГТУ, 2014. – С. 53-57.
21. Кутищев Г.П. Геометрия алгебраических уравнений, разрешимых в радикалах, с приложениями в численных методах и вычислительной геометрии [Текст] / Г.П. Кутищев. – М.: Книжный дом “Либроком”, 2012. – 168 с.
22. Немченко К.Э. Аналитическая геометрия [Текст] / К.Э. Немченко. – М.: Эксмо, 2007. – 352 с.
23. Пеклич В.А. Высшая начертательная геометрия [Текст] / В.А. Пеклич. – М.: Изд-во АСВ, 2000. – 344 с.
24. Пеклич В.А. Мнимая начертательная геометрия [Текст] / В.А. Пеклич. – М.: Изд-во АСВ, 2007. – 104 с.
25. Программа для ЭВМ «Построение кривой второго порядка, проходящей через данные точки и касающейся данных прямых» / В.А. Короткий // Свидетельство о государственной регистрации № 2011611961 от 04.03.2011 г.
26. Сальков Н.А. Приложение свойств циклиды Дюпена к изобретениям [Текст] / Н. А. Сальков // Геометрия и графика. – 2017. – Т. 5. – №. 4. – C. 37-43. – DOI: 10.12737/article_5a17fd233418b2.84489740
27. Сальков Н.А. Формирование циклических поверхностей в кинетической геометрии [Текст] / Н. А. Сальков // Геометрия и графика. – 2017. – Т. 5. – №. 4. – C. 24-36. – DOI: 10.12737/article_5a17fbe3680f52.30844454.
28. Суворов Ф.М. Об изображении воображаемых точек и воображаемых прямых на плоскости и о построении кривых линий второй степени, определяемых с помощью воображаемых точек и касательных [Текст] / Ф.М. Суворов. – Казань: Типография императорского Университета, 1884. – 130 с.
29. Юрков В.Ю. Аппроксимация множеств прямых на плоскости [Текст] / В.Ю. Юрков // Геометрия и графика. – 2019. – Т. 7. – №. 3. – C. 60-69. – DOI: 10.12737/article_5dce6cf7ae1d70.85408915.
30. V. Korotkiy. Construction of a Nine-Point Quadric Surface // Journal for Geometry and Graphics, Austria, Volume 22 (2018), No. 2, 183-193.
