Кассель, Германия
Задача построения прямых, касательных к коникам, стоит в ряду двойственных задач на построение общих элементов двух коник. Например, задаче построения хордальной прямой (общей хорды двух коник) двойственно соответствует задача построения точки пересечения общих касательных двух коник. В статье дано новое свойство поляр, указана конструктивная связь поляр и хордальных прямых, а также дан новый способ построения общих хорд двух коник с учётом возможностей компьютерной графики. Рассматривается построение мнимых касательных к конике, проведенных из внутренней точки коники, а также построение мнимых общих касательных к двум коникам, из которых одна частью или полностью лежит внутри другой. Как известно, взаимные задачи с двумя кониками могут быть решены посредством преобразования их в две окружности с последующим обратным переходом от окружностей к исходным коникам. Этот метод решения вносил определенную ясность в понимании результата решения. Процедура перехода от двух коник к двум окружностям затем сама стала предметом исследования. По мере совершенствования методов решения геометрических задач усложняются и сами задачи. Допустив участие мнимых образов в комплексной геометрии, приходится все больше абстрагироваться. При этом восприятие геометрической картины полученного результата встречает затруднения. В этой связи актуальным становится корректность методов решения и визуализация мнимых образов. Основные результаты статьи проиллюстрированы на примере одной и той же пары коник: парабола и окружность. В статье также рассмотрены и другие пары аффинно различных коник (эллипс и гипербола), с целью показать общие свойства коник, проявляющиеся в исследуемых операциях. Использована модель комплексных фигур, включающая две наложенные плоскости: евклидова плоскость для действительных фигур, псевдоевклидова плоскость для мнимых алгебраических фигур и их мнимых дополнений.
коника, вложенная коника, мнимое дополнение, внутренняя область, полюс, поляра, мнимая касательная, радикальная ось, центр подобия
1. Волошинов Д.В. Визуально-графическое проектирование единой конструктивной модели для решения аналогов задачи Аполлония с учетом мнимых геометрических образов [Текст] / Д.В. Волошинов // Геометрия и графика. – 2018. – Т. 6. – № 2. – С. 23-46. – DOI: 10.12737/article_5b559c70becf44.21848537.
2. Волошинов Д.В. Единый конструктивный алгоритм построения фокусов кривых второго порядка [Текст] / Д.В. Волошинов // Геометрия и графика. – 2018. – Т. 6. – № 2. – С. 47-54. – DOI: 10.12737/article_5b559dc3551f95.26045830.
3. Гирш А.Г. Комплексная геометрия – евклидова и псевдоевклидова. – М.: ООО «ИПЦ "Маска"», 2013. – 216 с.
4. Гирш А.Г. Мнимости в геометрии. [Текст] / А.Г. Гирш // Геометрия и графика. – 2014. – Т. 2. – № 2. –C. 3-8. – DOI: 10.12737/5583.
5. Гирш А.Г. Наглядная мнимая геометрия. – М.: ООО «ИПЦ "Маска"», 2008. – 216 с.
6. Гирш А.Г. Начала комплексной геометрии. Сборник задач по комплексной геометрии с решениями. Часть I – 2D. Кассель, 2012. – 191 с.
7. Гирш А.Г. Начала комплексной геометрии. Избранные задачи комплексной геометрии с решениями. Часть II – 3D. Кассель, 2014. – 112 с
8. Гирш А.Г. Поверхность от вращения окружности [Текст] / А.Г. Гирш // Геометрия и графика. – 2017. Т. 5. – № 1. – С. 32-35. – DOI: 10.12737/25121.
9. Гирш А.Г., Короткий В.А. Графические алгоритмы реконструкции кривой второго порядка, заданной мнимыми элементами. // Геометрия и графика. – 2016. –Т. 4. – №. 4. – C. 19-30. – DOI: 10.12737/22840.
10. Гирш А.Г., Короткий В.А. Мнимые точки в декартовой системе координат [Текст] / А.Г. Гирш, В.А. Короткий // Геометрия и графика. – 2019. – Т. 7. – № 3. – С. 28-35. DOI: 10.12737/article_5dce651d80b827.49830821.
11. Иванов Г.С., Дмитриева И.М. О задачах начертательной геометрии с мнимыми решениями [Текст] / Г.С. Иванов, И.М. Дмитриева // Геометрия и графика. – 2015. – Т. 3. – № 2. – С. 3-8. – DOI: 10.12737/12163.
12. Клейн Ф. Высшая геометрия [Текст] / Ф. Клейн; пер. с нем. Н.К. Брушлинского. – М.: УРСС, 2004. – 400 с.
13. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей [Текст]. В 2 т. Т. 2: Геометрия / Ф. Клейн; под ред. В.Г. Болтянского; пер. с нем. Д.А. Крижановского. – М.: Наука, 1987. – 416 с.
14. Короткий, В.А. Преобразование пучка коник в пучок окружностей / В.А. Короткий // Совершенствование подготовки учащихся и студентов в области графики, конструирования и стандартизации: Межвуз. науч.-метод. сб. – Саратов: СГТУ, 2014. – С. 53-57.
15. Кузнецов Н.С. Начертательная геометрия. – М.: Высшая школа. 1981, 262 с.
16. Ляшков А.А. Особенность отображения гиперповерхности четырехмерного пространства [Текст] / А.А. Ляшков, К.Л. Панчук, Л.Г. Варепо // Геометрия и графика. – 2017. Т. 5. – № 3. – С. 3-10. – DOI: 10.12737/article_59bfa3078af4c1.45321238.
17. Пеклич В.А. Высшая начертательная геометрия [Текст] / В.А. Пеклич. – М.: Изд-во АСВ, 2007. – 344 с.
18. Пеклич В.А. Мнимая начертательная геометрия [Текст] / В.А. Пеклич. – М.: Изд-во АСВ, 2007. – 104 с.
19. Савельев Ю.А. Графика мнимых чисел. [Текст] / Ю.А. Савельев // Геометрия и графика. – 2013. – Т. 1. – № 1. – С. 22-23. – DOI: 10.12737/466.
20. Скопец, З.А. Преобразование двух кривых второго порядка в две окружности посредством гомологии / З.А. Скопец // Известия ВУЗов. Математика. – 1964. – № 2(39). – С. 139-143.
21. Флоренский П.А. Мнимости в геометрии: [арх. 12 января 2017] / Предисловие, послесловие, комментарии и общая редакция Л. Г. Антипенко. – М.: Лазурь, 1991. – 96 с. – ISBN 5-85-806-006-4.
22. Reye Th. Geometrie der Lage. 1. Abteilung. – Leipzig, 1882, 215 p.
