Параметрический способ задания кривых широко применяется в компьютерной графике в силу простоты вычислительных процедур. Однако их графики не позволяют визуально оценить как их дифференциальные свойства, так и свойства в целом. Для этого необходимо их перезадание в явном или неявном виде. В статье предлагается конструктивный способ перехода от параметрического задания кривой к явному и обратно. Он основан на изображении кривой на двух совместно рассматриваемых обобщенных чертежах Монжа. Например, параметрически заданная пространственная кривая m изображается своими проекциями m′, m′′ и m′′′ соответственно на плоскостях проекций Opx, Opy, Opz. Эта же кривая, заданная в неявной форме, изображается своими проекциями m′, m1, m2 на плоскостях проекций Opx, Oxy, Oxz. Общая плоскость проекций Opx этих двух обобщенных чертежей Монжа является графическим «ключом» перехода от одной системы координат к другой, т.е. от параметрического задания к неявному. Способ пригоден для исследования свойств кривых многомерных пространств.
кривая линия, параметрическое задание кривой, явное задание кривой, обобщенный чертеж Монжа.
В современных графических пакетах и системах автоматизированного проектирования, как известно [7], широко применяется параметрический способ задания кривых линий и поверхностей. Они представляются как составные линии (кривые Эрмита, Безье, сплайны различных видов) и поверхности (бикубические сплайны, поверхности Кунса) определенного порядка гладкости.
Составляющие одномерного обвода представляются в виде
(1)
где в качестве функций f1, f2, f3 принимаются кубические полиномы:
(2)
Общеизвестно, что параметрическое задание функции, следовательно, ее график, отличается лучшими вычислительными свойствами по сравнению с заданием в явном или неявном виде. Кубические полиномы обеспечивают конструирование обвода до второго порядка гладкости, имея при этом минимально возможный порядок. Однако параметрическое задание функций (1) имеет и свои недостатки. На их графиках нельзя непосредственно построить касательные, круги кривизны и т.д., т.е. нельзя визуально оценить характер кривой, наличие осцилляций (точек перегиба), особых точек.
1. Божко А.Н., Жук Д.М., Маничев В.Б. Компьютерная графика. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2007.
2. Иванов Г.С. Конструирование технических поверхностей (математическое моделирование на основе нелинейных преобразований). М.: Машиностроение, 1987.
3. Иванов Г.С. Начертательная геометрия. 3-е изд. М.: ФГБОУ ВПО МГУЛ, 2012.
4. Коцюбинский А.О., Грошев С.В. Компьютерная графика. Практическое пособие. М.: Технолоджи – 3000, 2001.
5. Порев В.Н. Компьютерная графика. СПб.: БХВ – Петербург, 2002.
6. Смогаржевский А.С., Столова Е.С. Справочник по теории плоских кривых третьего порядка. М.: Физматгиз, 1961.
7. Фокс А., Пратт М. Вычислительная геометрия. Применение в проектировании и на производстве. М.: Мир, 1982.
