сотрудник
Брянск, Брянская область, Россия
сотрудник
Брянск, Брянская область, Россия
ГРНТИ 55.00 МАШИНОСТРОЕНИЕ
ББК 34 Технология металлов. Машиностроение. Приборостроение
Цель исследования: разработка приспособлений для высокоточной обработки деталей машин. Задача, решению которой посвящена статья: анализ точности приспособлений с опорными призмами. Методы исследования: моделирование контакта заготовки с опорной призмой при помощи теории размерных связей, анализ влияния отдельных параметров модели при помощи анализа чувствительности, регрессионный анализ результатов моделирования базирования заготовок в опорных призмах. Новизна работы: установлено влияние допусков формы и взаимного местоположения базовых поверхностей при расчете точности базирования заготовок в опорных призмах; выявлены особенности формирования погрешности базирования в худшем случае (методом «максимум-минимум») и с учетом вероятности распределения размеров в пределах допусков (вероятностным методом). Результаты исследования: разработана модель самоустановки заготовки в призму с учетом несоосности и отклонений от круглости, получены зависимости для оценки погрешности базирования заготовки в опорных призмах с учетом этих макроотклонений. Выводы: на формирование погрешности базирования εб заготовки в призме оказывают влияние допуски формы и месторасположения базовых поверхностей; учет погрешностей формы и местоположения базовых поверхностей заготовки показывает возможность формирование погрешности базирования в горизонтальной плоскости
точность, погрешность базирования, макроотклонения, допуски формы и месторасположения, размерный анализ, опорные призмы
Введение
Опорные призмы широко используются для базирования заготовок в процессе их обработки или контроля точности готовых деталей. Базовой поверхностью призмы является точный v-паз, на который заготовка устанавливается цилиндрической поверхностью. Погрешность базирования εб, определяемая как отклонение фактического положения заготовки от требуемого положения, формируется вариацией случайных размерных параметров базовой поверхности заготовки, находящейся в контакте с установочными элементами приспособления. Точность базирования центра заготовки при базировании в призме традиционно определяется по формуле [1]
(1)
где Td – допуск базовой поверхности заготовки; γ – угол между направлением выдерживаемого размера и плоскостью симметрии призмы; α – угол v-паза призмы.
Приведенная зависимость учитывает влияние допуска диаметра базовой поверхности без учета погрешности ее формы. Из формулы также следует, что, если размер задан от плоскости симметрии v-паза (γ = 0°), то погрешность базирования не формируется (εб = 0). Призма является самоцентрирующим установочным элементом приспособления, погрешность установки которой в горизонтальном направлении (перпендикулярном плоскости симметрии паза) может формироваться вследствие погрешностей изготовления и сборки на корпусе приспособления [2]. Учет погрешностей формы и месторасположения поверхностей даже в рамках общего допуска на диаметр базовой поверхности заготовки также может приводить к дополнительным смещениям заготовки в призме. Величину дополнительного смещения заготовки необходимо учитывать при расчете погрешности базирования εб.
-
- модели, эксперименты и методы
Для моделирования погрешностей формы заготовки могут использоваться различные модели [4-6]. В данной работе использована модель в виде тригонометрического полинома [4].
(2)
где r(φ) – переменный радиус заготовки; φ – угловая координата; d – диаметр базовой поверхности заготовки; Мk – отклонения формы k-й гармоники, n – порядковый номер высшей гармоники; φk – начальный фазовый угол k-й гармоники.
Используемая модель позволяет моделировать макроотклонения заготовки, устанавливаемой на опорную призму. Задавая случайные значения для параметров d, Мk и φk можно моделировать контакт случайной заготовки. Вариация параметра d характеризует случайное значение диаметра заготовки (в пределах установленного допуска). Вариация М1 и φM1 – случайные значения расстояния между геометрическим центром и центром вращения заготовки (допуск соосности), вариации более высоких порядков характеризуют отклонения от круглости (М2 и φM2 – овальность сечения, М3 и φM3 – огранку с тремя вершинами и т.д.).
Пример поверхности, формируемой уравнением (2) с произвольными параметрами d = 50 мм, M1 = M2 = M3 = 1, φM1 = π/4, φM2 = π/2 и φM3 = 0, показан на рис. 1. Пунктирной линией показана поверхность с номинальным диаметром d = 50 мм.
|
|
|
|
Рис. 1. Поверхность с отклонениями от соосности и круглости Fig. 1. Surface with tolerances of alignment and roundness
|
Рис. 2. Размерная схема установки заготовки Fig. 2. Dimension loops of self-alignment of a blank
|
-
- погрешности базирования при помощи размерных связей. Определение погрешности базирования выполняется при помощи анализа размерных цепей, формирующихся в процессе контакта заготовки с установочными элементами приспособления. В данной работе рассматривается плоская размерная схема установки заготовки в призме (рис. 2).
Здесь r1, r2 – радиус-векторы к точкам контакта заготовки с базовыми поверхностями призмы; b1, b2 – векторы, определяющие точки контакта относительно призмы; δ – вектор, определяющий фактическое смещение центра заготовки относительно требуемого положения.
При самоустановке заготовки в призме формируется система размерных уравнений:
(3)
Здесь φ1, φ2 – углы, определяющие положение точек контакта в полярной системе координат заготовки; α1, α2 – углы, определяющие направления векторов b1 и b2.
Первые два уравнения описывают условие самоустановки, а два последних – значение замыкающего звена размерной цепи, описывающего смещение центра заготовки δ в двух проекциях. Случайные значения параметров заготовки (d, M1, M2, M3, φM1, φM2, и φM3) формируют совокупность случайных значений смещения центра δ, образующих погрешность базирования заготовки εб.
Для случая стандартной опорной призмы с углом v-паза α = 90° без учета погрешностей ее изготовления решение системы (3) относительно вектора погрешности смещения центра заготовки δ имеет вид:
-
- контакта с призмой. Контакт поверхности заготовки с призмой происходит в двух точках. Система уравнений касания имеет вид:
(4)
Здесь f(x) – уравнение поверхности заготовки; g(x) – уравнение базовой поверхности призмы; x1, x2 – координаты точек касания заготовки с призмой.
Тангенс угла наклона касательной к поверхности заготовки f'(x), заданной уравнением (2), в точке (φ, r(φ)) можно определить как
где
Здесь k – количество вершин огранки. В дальнейших расчетах k принято равным 3.
Окончательно, условия контакта заготовки с призмой с учетом погрешности формы и месторасположения можно сформулировать следующей системой размерных уравнений:
Используя систему уравнений (5) можно определить координаты точек контактов (φ1, r1) и (φ2, r2) заготовки с призмой и смещение центра заготовки вдоль горизонтальной оси δx (т. е. погрешность центрирования призмы) и вдоль вертикальной оси δy.
Для оценки влияния каждого из факторов на величину смещения центра заготовки δ выполняется анализ чувствительности [7, 8].
Выбраны следующие исходные значения параметров:
- номинальный диаметр заготовки d = 50 мм;
- допуск диаметра Td = 0,25 мм (12 квалитет), при этом значение диаметра d варьируется в диапазоне 50±0,125 мм;
- допуск соосности TM1 не более 0,1 мм в радиусном выражении (11 степень точности);
- допуск круглости задается отдельно допуском овальности TM2 не более 0,08 мм, и отдельно допуском огранки TM3 не более 0,08 мм (11 степень точности);
- начальные фазовые углы φM1, φM2 и φM3 модели изменяются от 0 до 2π.
Выбранные параметры точности заготовок могут быть получены однократной механической обработкой на металлорежущих станках. Варьирование параметров выполняется во всем диапазоне значений, поэтому также оценивается влияние этих параметров в случае более жестких допусков. Анализ более грубых заготовок представляется бесполезным для практического использования.
Одномерный показатель чувствительности Si определяется по формуле:
(6)
где EX~i(Y|Xi) – математическое ожидание отклика Y при зафиксированном значении фактора Xi; VXi(EX~i(Y|Xi) – условная дисперсия, определяемая как дисперсия математических ожиданий EX~i(Y|Xi) для всех возможных значений Xi; V(Y) – полная дисперсия отклика Y.
Полный показатель чувствительности STi определяется как
(7)
где V(E(Y|X~i) – условная дисперсия, при фиксации всех возможных факторов X не являющихся Xi.
Расчет показателей чувствительности выполняется методом Монте-Карло по предложенному алгоритму [9, 10].
1. Генерация матрицы (N, 2m) случайных чисел, из которой выделяются матрицы А(N, m) и B(N, m). Здесь базовая выборка N = 1000-10000, количество входных факторов m = 7.
2. Формирование матриц Сi(N, m), получаемых из матрицы B путем замены i-го столбца на i-й столбец из матрицы А.
3. Расчет значений смещения центра заготовки δx и δy по системе уравнений (5) для выборок матриц А, B и Ci и получение векторов выходных значений yA, yB и yCi (т. е. δAx, δBx, δCix, δAy, δBy и δCiy).
4. Расчет одномерных показателей чувствительности Si. Формула (6) при этом может быть представлена в виде:
5. Расчет полных показателей чувствительности STi. Формула (7) сводится к виду:
Также для качественного анализа модели выполнен анализ точечных диаграмм, полученных в результате машинного эксперимента.
После оценки степени и характера влияния указанных параметров на величину смещения центра заготовки выполнен регрессионный анализ данных машинного полного факторного эксперимента для оценки погрешности базирования заготовки в опорных призмах с учетом допусков соосности и круглости.
Результаты
Полученные показателей чувствительности показан на рис. 3.
Оценка вероятности ошибки не превышает 50 % от величины стандартной ошибки и может быть определена как
Рис. 3. Одномерные Si и полные STi показатели чувствительности
Fig. 3. First-order Si and total-effect STi sensitivity indices
Вероятности ошибки P.E в направлении оси x находятся в диапазоне 0,0033…0,0036 для Si и 0,0086…0,0106 для STi; в направлении оси y – в диапазоне 0,0044…0,0055 для Si и 0,0109…0,0130 для STi.
Анализ значений показателей чувствительности позволяет сделать следующие выводы:
1. Значения макроотклонений в модели (5) при случайном положении заготовки в призме сами по себе дают пренебрежимо малый вклад в смещение центра δ (одномерные показатели чувствительности Si ≈ 0).
2. Вклад макроотклонений базовой поверхности заготовки появляется только при совместном учете значений макроотклонений (M1, M2 и M3) и начальных фазовых углов (φM1, φM2, и φM3).
3. Вариация диаметра заготовки d не оказывает влияния на смещение центра заготовки вдоль оси x (δx). Вариация значений овальности М2 даже с учетом фазового угла φM2 оказывает пренебрежимо малое влияние на смещение центра заготовки вдоль оси y (δy).
Анализ влияния фазовых углов макроотклонений. Смещение центра заготовки вследствие наличия на базовой поверхности макроотклонений, очевидно, существенно зависит от фактического положения этих погрешностей относительно базовых поверхностей призмы. Определить особенности этой взаимосвязи позволяет анализ точечных диаграмм смещения центра заготовки δ на случайной выборке входных факторов заготовки: диаметра d, макроотклонений M1, M2 и M3 и фазовых углов φM1, φM2, и φM3 (рис. 4 и 5).
На полученных точечных диаграммах хорошо видны изменения положения центра заготовки в вертикальном направлении δy из-за изменений размера d, а также изменения центра δ при повороте заготовки и соответствующих изменениях фазовых углов φM1, φM2, и φM3. Влияние фактических значений макроотклонений (M1, M2 и M3) на положение центра заготовки в призме заметно в меньшей степени: при увеличении значений макроотклонений смещение центра варьируется в большем диапазоне значений. Также хорошо видно, что при случайном угловом положении заготовки средние значения δ (EX~i(Y | Xi)) от действия факторов M1, M2 и M3 группируются вдоль горизонтали.
Анализ точечных диаграмм позволяет изучить влияние начальных фазовых углов макроотклонений в рамках полученной модели установки заготовки на опорную призму. Можно визуально определить и проверить по модели (5) значения углов, дающих экстремальные значения смещения центра заготовки δ. Так, вдоль горизонтальной оси максимальные смещения δx получаются при углах φM1 = 0 и φM1 = π, φM2 = π/2 и φM2 = 3π/2, φM3 = 0 и φM3 = 2π/3; вдоль вертикальной оси δy – при углах φM1 = π/2 и φM1 = 3π/2, φM3 = π/2 и φM3 = 3π/2.
Рис. 4. Смещение заготовки вследствие изменения факторов d, M1, M2 и M3
Fig. 4. Adjustments of blank due to d, M1, M2 и M3 variations
Рис. 5. Смещение заготовки вследствие изменения углов φM1, φM2 и φM3
Fig. 5. Adjustments of blank due to φM1, φM2 и φM3 variations
Определение погрешности базирования методом «максимум-минимум». Одним из методов решения размерных цепей является метод «максимум-минимум». При расчете предполагается, что детали имеют предельные значения своих размеров и это вызывает экстремальные значения замыкающего звена (в данном случае смещения центра заготовок δ). Фиксируя значения начальных фазовых углов φM1, φM2, и φM3 на значениях, позволяющих получить максимальный эффект от соответствующих макроотклонений, можно преобразовать модель (5) из нелинейной в линейную. Пример точечных диаграмм, полученных на случайной выборке после фиксации фазовых углов, приведен на рис. 6.
Рис. 6. Смещение центра заготовки δ в худших случаях
Fig. 6. Adjustments of blank δ in worst case
Регрессионный анализ полученных данных позволил получить уравнение регрессии вида для определения погрешности базирования заготовки при установке ее на призму в горизонтальном направлении εбx и в вертикальном направлении εбy:
(8)
Параметры регрессионной модели:
r2 = 1, r2a = 1. F = 5,6·e+12, pValue = 0.
(9)
Параметры регрессионной модели:
r2 = 1, r2a = 1. F = 3,5·e+9, pValue = 0.
Определение погрешности базирования заготовки вероятностным методом. Анализ размерных цепей методом «максимума-минимума» дает максимальные значения замыкающего звена. Это обеспечивает большой запас точности и гарантию отсутствия брака при изготовлении и сборке деталей и узлов. Часто при решении практических задач конструкторско-технологической подготовки производства не требуется такой надежности, а использование более широких допусков параметров позволяет получить меньшую себестоимость изделий.
При установке заготовки в призму и определении погрешности базирования εб значительное влияние на фактическое смещение заготовки оказывают случайные значения начальных фазовых углов макроотклонений. На точечных диаграммах, представленных на рис. 3, видно, что предельные значения смещений заготовки наблюдаются только при определенных соотношениях между фазами гармоник и при определенном положении заготовки в призме. Вероятность одновременного наступления всех этих событий невелика, что позволяет обоснованно уменьшить расчетное значение погрешности базирования εб. Переход от расчета фактического положения заготовки в призме к определению погрешности базирования εб путем анализа некоторого объема выборки, позволяет получить зависимости с учетом случайного характера распределения макронеровностей.
Для моделирования допусков и получения регрессионной модели использовался объем выборки в 200 тыс., что позволяет получить относительную ошибку порядка 0,22 %. Сходимость погрешности базирования εб заготовки представлена на рис. 7.
Рис. 7. Сходимость погрешности базирования εб при увеличении размера выборки
Fig. 7. Convergence of the error of basing εб with increasing sample size
Регрессионный анализ данных, полученных после выполнения полного факторного машинного эксперимента, позволил получить уравнения регрессии вида для определения погрешности базирования заготовки при установке ее в призму с учетом макроотклонений в горизонтальном направлении εбx и в вертикальном направлении εбy:
(10)
Параметры регрессионной модели:
r2 = 0,996, r2a = 0,993. F = 405, pValue = 0.
(11)
Параметры регрессионной модели:
r2 = 0,999, r2a = 0,999. F = 2134, pValue = 0.
Заключение
В данной работе при помощи теории размерных связей разработана модель самоустановки заготовки в опорной призме с учетом несоосности и отклонений от круглости.
Анализ полученных зависимостей (8) – (11) показывает, что погрешность базирования εб, в рамках полученной модели, полностью описывается допуском диаметра заготовки Td, допуском соосности ТM1 и допусками круглости ТM2 иТM3. Зависимости (10) и (11) для расчета погрешности базирования вероятностным методом ожидаемо имеют меньшие значения коэффициентов регрессии в сравнении с аналогичными (8) и (9), полученными методом «максимума-минимума». Все зависимости можно использовать в инженерной практике для расчета погрешности базирования деталей и заготовок при установке на опорные призмы с углом v-паза α = 90°.
1. Дальский А.М. и др. Справочник технолога-машиностроителя: В 2 т. / Под ред. А.М. Дальского и др.; Т. 1. 5 изд., испр. М.: Машиностроение; Изд-во Машиностроение-1, 2003 (ППП Тип. Наука). 910 с.
2. Филькин Д.М., Польский Е.А. Анализ точности установки заготовок на опорные призмы с учетом влияния размерных связей // Наукоемкие технологии в машиностроении. 2020. №6(108). С. 21-27.
3. Польский Е.А., Сорокин С.В. Технологическое обеспечение надежности деталей узлов трения наукоемких сборочных единиц // Вестник Брянского государственного технического университета. 2019. № 4(77). C. 19-26. doi 10.30987/article_5cb58f4f589ff6.30206728.
4. Качество машин: Справ. в 2 т. / Т. 1.; Под общ. ред. А. Г. Суслова. М.: Машиностроение, 1995. 253 с.
5. Weihua N., Zhenqiang Y. Cylindricity modeling and tolerance analysis for cylindrical components// The International Journal of Advanced Manufacturing Technology. 2012. №64(5-8). С. 867–874. doi 10.1007/s00170-012-4078-3.
6. Yoon M.C., Chin D.H. Fractal roundness modelling of a measured profile of a cylindrical object // The International Journal of Advanced Manufacturing Technology. 2006. №35(11). С.1156–1165. doi 10.1007/s00170-006-0797-7.
7. Соболь И.М. Глобальные показатели чувствительности для изучения нелинейных математических моделей // Математическое моделирование. 2005. №17:9. С. 43-52.
8. Sobol′, I.M. Global sensitivity indices for nonlinear mathematical models and their Monte Carlo estimate // Mathematics and Computers in Simulation, 2001. №55(1-3). С. 271–280.
9. Sobol’ I.M. (1990). Sensitivity estimates for nonlinear mathematical models. Mathematics and Computers in Simulation. 2001. Vol. 55, Iss. 1–3. P. 271-280. doi 10.1016/S0378-4754(00)00270-6.
10. Saltelli A. Making best use of model valuations to compute sensitivity indices // Computer Physics Communications. 2002. Vol. 145, Iss. 2. P. 280-297. doi 10.1016/S0010-4655(02)00280-1.
