Кассель, Германия
Комплексная геометрия является синтезом евклидовой Е-геометрии (геометрия окружности) и псевдоевклидовой М-геометрии (геометрии гиперболы). Каждая из них в отдельности определяет незамкнутую систему, в которой корректно поставленная задача может не дать решения. Аналитическая геометрия представляет собой замкнутую систему. В ней корректно поставленная задача всегда дает решения в виде комплексных чисел, для каждого из которых, одна из частей может оказаться равной нулю. Нахождение мнимых решений и мнимых фигур, образованных множеством таких решений, есть новая задача начертательной геометрии. Вырожденные коники и квадрики или кривые и поверхности более высоких порядков, составляют новый класс фигур и новый класс задач начертательной геометрии. Например, нуль-окружность, нуль-сфера, нуль-цилиндр, нуль-тор. В данной статье ставятся задача исследования формы фигур второго порядка (коники, квадрики) и формы фигур третьего (коноид) и четвёртого (тор) порядков. Последние предполагают встречу с новыми геометрическими свойствами фигур. Геометрические операции по-прежнему погружены в комплексное пространство Е+М или действительное - мнимое. Рассматриваемые примеры продолжают ряд вырожденных фигур, в которых нуль-окружность распадается на изотропные прямые. Изотропные прямые принимаются за образующие поверхностей. Из них формируются конус вращения и гиперболический параболоид (косая плоскость).
аналитическая фигура; нуль-окружность; мнимое дополнение; левая изотропа; правая изотропа; круговой нуль-цилиндр; распадение нуль-цилиндра; изотропные плоскости; изотропный конус
1. Александров П.С. Лекции по аналитической геометрии [Текст] / П.С. Александров — М.: Наука, 1968. — 382 с.
2. Балк М.Б. Реальные применения мнимых чисел. [Текст] / М.Б. Балк, Г.Д. Балк, А.А. Полухин — Киев: Радянська школа, 1988. — 255 с. — ISBN 5-330-00379-2.
3. Волошинов Д.В. Алгоритмический комплекс для решения задач с квадриками с применением мнимых геометрических образов [Текст] / Д.В. Волошинов // Геометрия и графика. – 2020. – Т. 8. - № 2. С. 3-32. DOI:10.12737/2308-4898-2020-3-32.
4. Гирш А.Г. Мнимости в геометрии [Текст] / А.Г. Гирш // Геометрия и графика. — 2014. — Т. 2. — № 2. — C. 3–8. — DOI: 10.12737/5583.
5. Гирш А.Г. Наглядная мнимая геометрия [Текст] /А.Г. Гирш. — М.: Маска, 2008. — 216 с.
6. Гирш А.Г. Новые задачи начертательной геометрии [Текст] / А.Г. Гирш. // Геометрия и графика. 2019. — Т. 7. — №. 4. — C. 3–8. — DOI: 10.12737/5583.
7. Гирш А.Г. О пользе мнимостей в геометрии [Текст] / А.Г. Гирш // Геометрия и графика. – 2020. – Т. 8. – № 2. – С. 33-40. – DOI:10.12737/2308-4898-2020-33-40.
8. Гирш А.Г. Мнимые точки в декартовой системе координат [Текст] / А.Г. Гирш, В.А. Короткий // Геометрия и графика. – 2019. – Т. 7. – №. 3. – C. 28–35. – DOI:10.12737/article_5dce651d80b827.49830821.
9. Графский О.А. Введение мнимых элементов в начертательную геометрию: монография [Текст] / О.А. Графский // Рос. Федерация, М-во путей сообщ., ГОУ ВПО "Дальневост. гос. ун-т путей сообщ. МПС России". Хабаровск. — 2004. — 168 с.
10. Графский О.А. Моделирование мнимых элементов на плоскости [Текст]: монография / О.А. Графский — Хабаровск: Изд-во ДВГУПС, 2004. — 161 с.
11. Графский О.А. О взаимном пересечении квадрик с мнимым продолжением [Текст] / О.А. Графский, В.Г. Ли // Известия ТРТУ. 2004. — № 8 (43). — С. 249–253.
12. Иванов Г.С. О задачах начертательной геометрии с мнимыми решениями [Текст] / Г.С. Иванов, И.М. Дмитриева // Геометрия и графика. — 2015. — Т. 3. — № 2. — C. 3–8. DOI: 10.12737/12163.
13. Кириллов А.А. Что такое число? [Текст] / А.А. Кириллов — М.: Изд-во Физматлит, 1993. — 80 с. — ISBN 5-02-014942-3.
14. Клейн Ф. Высшая геометрия [Текст] / Ф. Клейн. — М.: УРСС, 2004. — 400 с.
15. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей [Текст]. В 2 т. Т. 2: Геометрия / Ф. Клейн. — М.: Наука, 1987. — 416 с.
16. Короткий В.А. Графические алгоритмы построения квадрики, заданной девятью точками [Текст] / В.А. Короткий // Геометрия и графика. — 2019. — Т. 7. — № 2. — C. 3–12. DOI: 10.12737/article_5d2c1502670779.58031440.
17. Короткий В.А. Компьютерная визуализация кривой второго порядка, проходящей через мнимые точки и касающейся мнимых прямых [Текст] / В.А. Короткий // Научная визуализация. — 2018. — Т. 10. — № 1. — С. 56-68. DOI: 10.26583/sv.10.1.04.
18. Короткий В.А. Конические сечения в компьютерной графике [Текст] / В.А. Короткий // Наука ЮУрГУ материалы 70-й научной конференции. Южно-Уральский государственный университет. — 2018. — С. 105–109.
19. Короткий В.А. Мнимые линейные элементы в алгебре, геометрии и компьютерной графике [Текст] / В.А. Короткий //Прикладная математика и фундаментальная информатика. — 2019. — Т. 6. — № 2. — С. 34–48. DOI: 10.25206/2311-4908-2019-6-2-34-48.
20. Короткий В.А. Мнимые прямые в декартовой системе координат [Текст] / В.А. Короткий // Геометрия и графика. — 2019. — Т. 7. — № 4. — C. 5–17. DOI: 10.12737/2308-4898-2020-5-17.
21. Короткий В.А. Соприкосновение конических сечений [Текст] / В.А. Короткий // Геометрия и графика. — 2016. — Т. 4. — № 3. — C. 36–45. DOI: 10.12737/21532.
22. Пеклич В.А. Мнимая начертательная геометрия: учеб. пособие [Текст] / В.А. Пеклич. — М.: Издательство ассоциации строительных вузов, 2007. — 104 с.
23. Сахарова Н.А. Сравнительный конструктивный и аналитический анализ трансформации квадрик [Текст] / Н.А. Сахарова, Ю.В. Пономарчук, О.А. Графский // Современная наука: новые подходы и актуальные исследования Материалы Международной (заочной) научно-практической конференции: под ред. А.И. Вострецова. — 2018. — С. 41–45.
24. Суворов Ф.М. Об изображении воображаемых точек и воображаемых прямых на плоскости и о построении кривых линий второй степени, определяемых с помощью воображаемых точек и касательных [Текст] / Ф.М. Суворов — Казань: Типография императорского Университета, 1884. — 130 с.
25. Флоренский П.А. Мнимости в геометрии: расширенные области двухмерных образов геометрии (опыт нового истолкования мнимостей). Изд. 2-е. [Текст] / П.А. Флоренский. — М.: Едиториал УРСС, 2004. – 72 с. — ISBN 5-354-00714-3/.
26. Яглом И.М. Комплексные числа и их применение в геометрии. [Текст] / И.М. Яглом – М.: Едиториал УРСС, 2004. – 192 с.
27. Duden Rechnen und Mathematik: – Mannheim, Wien, Zürich: Dudenverlag, 2000. 720 p.
28. Girsch А. Ехtеnsion оf thе 'Villarceau-Sektion' tо Surfaces of Revolution with а Generating Соniс // Jurnal for Сеоmetrу and Graphics, 6(2000/2), р. 121–132.
29. Hirsch A. Extension of the 'Villarceau-Sektion' to Surfaces of Revolution with a Generating Conic // Jurnal for Geometriy and Graphics, V. 6 (2000), I. 2, pp. 121-132.
30. Stachel H.: Remarks on A. Hirsch's Paper conserning Villatceau-Sections. Jurnal for Geometriy and Graphics V. 6, (2002), pp.133-139
31. Reye Th. Geometrie der Lage. 1. Abteilung. – Leipzig, 1882, 215 S.
