Москва, г. Москва и Московская область, Россия
Москва, г. Москва и Московская область, Россия
аспирант
В статье исследованы геометрическиe места точек, равноудаленных от сферы и плоскости, изучены свойства полученных поверхностей. Рассмотрены четыре варианта возможного взаимного расположения плоскости и сферы: плоскость проходит через центр сферы; плоскость пересекает сферу; плоскость касательная к сфере; плоскость проходит вне сферы. Во всех вариантах взаимного положения сферы и плоскости геометрическими местами точек являются две поверхности - два соосных софокусных параболоида вращения. Изучены общие свойства полученных параболоидов вращения: найдены положения фокусов, вершин, оси вращения, расстояние от центра сферы до вершин параболоидов, расстояние между вершинами параболоидов, положение директориальных плоскостей. Выведены уравнения поверхностей ГМТ, равноотстоящих от сферы и плоскости: различных параболоидов вращения. Геометрическиe места точек, в каждом из четырех вариантов возможного взаимного расположения плоскости и сферы следующие. 1. Исходная плоскость проходит через центр сферы - два соосных софокусных разнонаправленных симметричных относительно исходной плоскости параболоида вращения. 2. Исходная плоскость пересекает сферу.-два соосных софокусных разнонаправленных, но не симметричных параболоида вращения, т. к. окружность пересечения плоскости и сферы не совпадает с диаметром большого круга сферы. 3. Плоскость касательная к сфере - параболоид вращения и прямая (точнее нуль-квадрика второго порядка – цилиндрическая поверхность с нулевым радиусом), проходящая через точку касания плоскости и сферы и центр сферы. 4. Плоскость проходит вне сферы, геометрическим местом равноудаленных точек будут два соосных софокусных однонаправленных параболоида вращения.
геометрия; начертательная геометрия; геометрические места точек, ГМТ, аналитическая геометрия, прямая, сфера, параболоид вращения
1. Адамян В.Г. Геометрическое место точек с постоянным отношением направленного расстояния до фиксированной прямой к расстоянию до фокуса [Текст] / В.Г. Адамян, Г.Д. Анамов // Прикладная геометрия и инженерная графика. — 1977. — Вып. 23. — С. 108-111.
2. Анамов Г.Д. Применение пространственных геометрических мест в начертательной геометрии [Текст] / диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук / Г.Д. Анамов. — Киев, 1945. — 150 с.
3. Волков В.Я. Курс начертательной геометрии на основе геометрического моделирования. Учебник [Текст] / В.Я. Волков — Омск: СибАДИ, 2010. — 252с.
4. Волков В.Я. Сборник задач и упражнений по начертательной геометрии (к учебнику «Курс начертательной геометрии на основе геометрического моделирования») [Текст] / В.Я. Волков, В.Ю. Юрков, К.Л. Панчук, Н.В. Кайгородцева. — Омск: СИБАДИ, 2010. — 74 с.
5. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике [Текст] / М.Я. Выгодский. — М.: АСТ: Астрель, 2008. — 509 с.
6. Вышнепольский В.И. Всероссийский студенческий конкурс «Инновационные разработки» [Текст] / В.И. Вышнепольский, Н.С. Кадыкова, Н.И. Прокопов // Геометрия и графика. — 2016. — Т. 4. — № 4. — С. 69-86. — DOI: 10.12737/22842.
7. Вышнепольский В.И. Геометрические места точек, равноотстоящих от двух заданных геометрических фигур. Часть 1 [Текст] / В.И. Вышнепольский, Н.А. Сальков, Е.В. Заварихина // Геометрия и графика. — 2017. — Т. 5. — № 3. — С. 21-35. — DOI: 10.12737/22842.
8. Вышнепольский В.И. Геометрические места точек, равноотстоящих от двух заданных геометрических фигур. Часть 2 [Текст] / В.И. Вышнепольский, О.Л. Даллакян, Е.В. Заварихина // Геометрия и графика. — 2017. — Т. 5. — № 4. — С. 15-23. — DOI: 10.12737/22842
9. Вышнепольский В.И. Геометрические места точек, равноотстоящих от двух заданных геометрических фигур. Часть 3 [Текст] / В.И. Вышнепольский, К.А. Киршанов, К.Т. Егиазарян // Геометрия и графика. — 2018. — Т. 6. — № 4. — С. 3-19. — DOI: 10.12737/article_5c21f207bfd6e4.78537377
10. Вышнепольский В.И. Геометрические места точек, равноотстоящих от двух заданных геометрических фигур. часть 4: геометрические места точек, равноудаленных от двух сфер [Текст] / В.И. Вышнепольский, Е.В. Заварихина, Д.С. Пех // Геометрия и графика. — 2021. — Т. 9. — № 3. — С. 12-29. —DOI: 10.12737/2308-4898-2021-9-3-12-29.
11. Вышнепольский В.И. Методические основы подготовки и проведения олимпиад по графическим дисциплинам в высшей школе [Текст] / диссертация на соискание ученой степени кандидата педагогических наук / В.И. Вышнепольский. — М., 2000. — 250 с.
12. Гирш А.Г. Как решать задачу. Методические указания по решению задач повышенной сложности [Текст] / А.Г. Гирш. — Омск: СИБАДИ, 1986. – 36 с.
13. Глоговский В.В. Эквидистанты. Вопросы теории, приложений и методики преподавания начертательной геометрии [Текст] / В.В. Глоговский // Труды Рижской научно-методической конференции. — Рига: РИИГВФ, 1960. — 422 с.
14. Глоговский В.В. [Текст] / В.В. Глоговский // Научные записки Львовского политехнического института, т. ХХХ, серия физ.-мат., вып. 1, 1955. — стр. 72-90.
15. Глоговский В.В. [Текст] / В.В. Глоговский // Научные записки Львовского политехнического института, т. ХХХVIII, серия физ.-мат., вып. 2, 1956. — стр. 72-90.
16. Гумен Н.С. Параболоиды четвертого порядка как геометрические места точек, равноудаленных от тора и прямой параллельной его оси [Текст] / Н.С. Гумен, О.В. Смеричко // Прикладная геометрия и инженерная графика. — 1991. — Вып. 51. — С. 46-52.
17. Гумен Н.С. Параболоиды четвертого порядка как геометрические места точек, равноудаленных от точки и кругового цилиндра [Текст] / Н.С. Гумен, М.Ф. Скорин, В.П. Кравчук // Прикладная геометрия и инженерная графика. — 1986. — Вып. 42. — С. 32-33.
18. Гумен Н.С. Конусы и цилиндры 2-го порядка как геометрические места точек, равноудаленных от точки и окружности [Текст] / Н.С. Гумен, Г.А. Козуб // Прикладная геометрия и инженерная графика. — 1987. — Вып. 43. — С. 65-67.
19. Гумен Н.С. Геометрическое место точек, равноудаленных от сферы и прямой [Текст] / Н.С. Гумен, А.М. Мархелюк // Прикладная геометрия и инженерная графика. — 1983. — Вып. 35. — С. 130-133.
20. Гумен Н.С. К использованию метода геометрических мест при конструировании кривых линий и поверхностей [Текст] / Н.С. Гумен, Е.В. Сарнацкая // Геометрография. — 1977. — вып. 1. — С. 58-66.
21. Гумен Н.С. О геометрических местах точек, пропорционально удаленных от двух прямых [Текст] / Н.С. Гумен, Е.В. Сарнацкая // Геометрография. — 1977. — вып. 2. — С. 43-51.
22. Гумен Н.С. О геометрических местах точек, расстояния которых от пары окружностей плоскости связанны определенной функциональной зависимостью [Текст] / Н.С. Гумен, Е.В. Сарнацкая // Геометрография. — 1977. — вып. 2. — С. 52-65.
23. Димантов Е.А. Исследование некоторых геометрических мест [Текст] / Е.А. Димантов, А.А. Бурштейн // Труды ЛИСИ. — 1974. — Вып. 100. — С. 81-105.
24. Е Вин Тун. Построение рецепторных геометрических моделей объектов сложных технических форм [Текст] / Е Вин Тун, Л.В. Маркин // Геометрия и графика. — 2019. — Т. 7. — № 4. — С. 44-56. — DOI: 10.12737/article_5d2c170ab37810.30821713.
25. Егиазарян К.Т. Исследование геометрических мест точек, равноотстоящих от двух заданных геометрических фигур [Текст] / К.Т. Егиазарян, В.И. Вышнепольский // Сборник материалов 31-й Всероссийской научно-практической конференции по графическим информационным технологиям и системам. — Нижний Новгород. — 2021. — C. 118-123. — DOI: 10.46960/43791586_2021_118.
26. Елисеев Н.А. Этюды по начертательной геометрии профессора Д.И. Каргина. Совершенствование подготовки учащихся и студентов в области графики, конструирования и стандартизации [Текст] / Н.А. Елисеев // Межвузовский научно-методический сборник. — Саратов: СГТУ, 2004. — с. 56-58.
27. Иванов Г.С. Начертательная геометрия: - 3-е изд. [Текст] / Г.С. Иванов. — М: ФГБОУ ВПО МГУЛ, 2012. — 340 с.
28. Иванов Г.С. Принцип двойственности – теоретическая база взаимосвязи синтетических и аналитических способов решения геометрических задач [Текст] / Г.С. Иванов, И.М. Дмитриева // Геометрия и графика. — 2016. — Т. 4. — № 3. — С. 3-10. — DOI: 10.12737/21528.
29. Иванов Г.С. Теоретические основы начертательной геометрии [Текст] / Г.С. Иванов. — М.: Машиностроение, 1998. — 458 с.
30. Кайгородцева Н.В. Поверхности в начертательной геометрии и логико-геометрическое мышление [Текст] / Н.В. Кайгородцева — Омск: Изд-во ОмГТУ, 2013. — 184 с.
31. Каргин Д.И. Этюды по начертательной геометрии. Геометрические места [Текст] / Д.И. Каргин. — ПФА РАН, р.802, оп. 1, ед. хр. 148, 1939-1940 гг. 405 л.
32. Короткий В.А. Графические алгоритмы построения квадрики, заданных девятью точками [Текст] / В.А. Короткий // Геометрия и графика. — 2019. — Т. 7. — № 2. — С. 3-12. — DOI: 10.12737/article_5d2c1502670779.58031440.
33. Кривошапко С.Н. Энциклопедия аналитических поверхностей [Текст] / С.Н. Кривошапко, В.Н. Иванов. — М.: ЛИБРОКОМ, 2019. — 560 с.
34. Кривошапко С.Н. Аналитические поверхности в архитектуре зданий, конструкций и изделий: Монография [Текст] / С.Н. Кривошапко, И.А. Мамиева. — М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2012. — 328 с.
35. Наумович Н.В. Геометрические места в пространстве и задачи на построение [Текст] / Наумович Н.В. – М.: Гос. учебно-педагогическое изд-во, 1962. — 152 с.
36. Обухова В.С. Поэтапное моделирование технических поверхностей [Текст] / В.С. Обухова. // Реферативная информация о законченных научно-исследовательских работах в вузах Украинской ССР: Прикладная геометрия и инженерная графика. — Вып. 1. — Киев: Вища школа, 1977. — С. 5–6.
37. Павлов В.Е. Дмитрий Иванович Каргин, 1880 – 1949 [Текст] / В.Е. Павлов, Б.Ф. Тарасов, СПб.: Наука, 1998. — 272 с.
38. Панчук К.Л. Циклографическая интерпретация и компьютерное решение одной системы алгебраических уравнений [Текст] / К.Л. Панчук, Е.В. Любчинов // Геометрия и графика. — 2019. — Т. 7. — №. 3. — С. 3-14. — DOI: 10.12377/article_5dce5e528e4301.77886978.
39. Посвянский А.Д. Пятьдесят задач повышенной трудности [Текст] / А.Д. Посвянский. — Калинин: КПИ, 1970. — 41 с.
40. Сальков Н.А. Циклида Дюпена и кривые второго порядка. Часть 1 / Н.А. Сальков // Геометрия и графика. — 2016. — Т. 4. — №. 2. — С. 19-28. — DOI: 10.12737/19829.
41. Сальков Н.А. Начертательная геометрия — база для компьютерной графики [Текст] / Н.А. Сальков // Геометрия и графика. — 2016. — Т. 4. — №. 2. — С. 37-47. — DOI: 10.12737/19832.
42. Сальков Н.А. Начертательная геометрия — теория изображений [Текст] / Н.А. Сальков // Геометрия и графика. — 2016. — Т. 4. — №. 4. — С. 41-47. — DOI: 10.12737/22842.
43. Сальков Н.А. Общие принципы задания линейчатых поверхностей. Часть 2 [Текст] / Н.А. Сальков // Геометрия и графика. — 2019. — Т. 7. — № 1. — С. 14-27. — DOI: 10.12737/article_5с9201eb1c5f06.47425839.
44. Сальков Н.А. Общие принципы задания линейчатых поверхностей. Часть 3 [Текст] / Н.А. Сальков // Геометрия и графика. — 2019. — Т. 7. — № 2. — С. 13-27. — DOI: 10.12737/article_5d2c170ab37810.30821713.
45. Серегин В.И. Междисциплинарные связи начертательной геометрии и смежных разделов высшей математики [Текст] / В.И. Серегин, Г.С. Иванов, И.М. Дмитриева, К.А. Муравьев // Геометрия и графика. — 2013. — Т.1. — № 3-4. — С. 8-12. — DOI: 10.12737/2124.
46. Серегин В.И. Научно-методические вопросы подготовки студентов к олимпиадам по начертательной геометрии [Текст] / В.И. Серегин, Г.С. Иванов, И.Ф. Боровиков // Геометрия и графика. — 2017. — Т. 5. — № 1. — С. 73-81. — DOI: 10.12737/25126.
47. Сибирцев С.Ф. О геометрических местах точек [Текст] / С.Ф. Сибирцев // Известия Томского Ордена Трудового Красного Знамени Политехнического института имени С.М. Кирова. — 1966. — Т. 143. — С. 57-69.
