Исследована устойчивость положения равновесия цепной линии
цепная линия, положение равновесия, устойчивость
Рассмотрим тяжелую однородную нерастяжимую нить, длиной 
, закрепленную в точках 
и 
(рисунок 1).
Рисунок 1 – Цепная линия
Уравнения движения нити в декартовых координатах имеют вид [1]
(1)
где 
– время, 
– дуговая координата нити, 
– натяжение, 
– вес единицы длины нити.
В каждой точке нити выполняется условие нерастяжимости
|
|
(2) |
В положении равновесия производные по времени равны нулю
(3)
Система (3) вместе с условием (2) допускает частное решение, соответствующее положению равновесия, в котором нить располагается по цепной линии
|
|
|
|
|
(4) |
|
|
|
где 
, 
– положительная постоянная.
Рассмотрим отклонения от положения равновесия
|
|
|
|
|
(5) |
|
|
|
Подставим формулы (5) в систему (1). В результате получим систему уравнений возмущенного движения
(6)
Умножим первое уравнение системы (6) на 
, второе – на 
, проинтегрируем каждое уравнение по 
от 
до и сложим их. После преобразований, с учетом условия (2), получим первый интеграл
|
|
(7) |
Этот интеграл определенно положителен и непрерывен по мере
|
|
(8) |
На основании теоремы об устойчивости по одной мере [2] приходим к выводу, что положение равновесия (4) устойчиво по мере
.
1. Меркин Д.Р. Введение в механику гибкой нити. / Д.Р. Меркин. – М.: Наука. – 1980.
2. Сиразетдинов Т. К. Устойчивость систем с распределенными параметра-ми. / Т. К. Сиразетдинов. – Новосибирск: Наука. – 1987.
