Россия
В устройствах релейной защиты с цифровой обработкой информации входными контролируемыми величинами являются получаемые от традиционных измерительных трансформаторов токи и напряжения защищаемого объекта, которые с помощью соответствующих преобразователей преобразуются в сигналы напряжения. Для ограничения частотного спектра эти сигналы подвергаются предварительной аналоговой фильтрации, после чего дискретизируются по времени с заданным шагом Δt и квантуются по уровню. Доказано, что разность смежных дискретных значений контролируемой величины зависит от ее амплитуды, а минимальная величина этой разности наблюдается в режиме минимального сигнала, т. е. при выборе минимального шага Δt определяющим является режим с минимальной амплитудой контролируемой величины. Подтверждено, что разность смежных дискретных значений контролируемой величины зависит от частоты и уменьшается со снижением последней, т. е. при выборе минимального шага дискретизации Δt необходимо принимать во внимание минимально возможное значение частоты. Приводится пример зависимости минимального шага дискретизации синусоидального сигнала частотой 50 Гц от разрядности АЦП. Согласно анализу представленных зависимостей минимальное значение шага дискретизации Δt в значительной степени определяется кратностью контролируемой величины и разрядностью АЦП. Сделаны выводы о возможности использования предложенной методики для ориентировочной оценки минимального значения шага дискретизации входных величин в устройствах релейной защиты с цифровой обработкой информации.
дискретизация, релейная защита, сигнал, информация, квантование
Введение
Определение шага дискретизации Δt контролируемых величин – одна из основных задач при разработке устройств релейной защиты (РЗ) с цифровой обработкой информации. От выбора Δt в итоге зависят быстродействие защиты и точность восстановления контролируемых сигналов.
Теоретическое обоснование выбора шага дискретизации аналоговых сигналов с ограниченным спектром частот содержит теорема Котельникова [1], согласно которой
где fгр – граничная частота спектра.
Следует отметить, что с уменьшением Δt повышается точность восстановления контролируемого сигнала, а также быстродействие защиты. Вместе с тем при очень малом шаге дискретизации из-за влияния на результат преобразования различных ошибок можно не получить желаемого эффекта. Поэтому целесообразно ограничить величину Δt таким минимальным уровнем, чтобы смежные дискретные значения контролируемого сигнала были четко различимыми и не перекрывались вследствие действия ошибок. Для выполнения данного условия необходимо выбором шага дискретизации Δt обеспечить разность смежных дискретных значений сигнала, равную или больше шага квантования по уровню, с учетом влияния максимальных ошибок.
Материалы исследования
Пусть контролируемая величина подвергается предварительной аналоговой обработке, включающей преобразование ее в сигнал напряжения и частотную фильтрацию, и преобразуется в цифровой эквивалент. При этом абсолютная ошибка предварительной обработки контролируемой величины определяется как
где – приближенное значение аналоговой величины после предварительной обработки; u – фактическое значение величины.
Поскольку εu может иметь разные знаки, то
В процессе преобразования аналоговой величины в цифровой эквивалент возникает ошибка аналого-цифрового преобразования ±εАЦП, которая добавляется к преобразованному значению величины u, в результате чего
(1)
где – приближенное значение контролируемой величины после предварительной аналоговой обработки и аналого-цифрового преобразования.
Ошибка εАЦП включает две составляющие: аналоговую εa и квантования сигнала по уровню εк [2]. Аналоговая ошибка обусловлена главным образом погрешностями аналоговых элементов схемы аналого-цифрового преобразователя (АЦП). Отметим, что наибольшее распространение получили АЦП с алгоритмом равномерного квантования сигнала по уровню. В этом случае максимальная ошибка квантования не превышает половины шага квантования по уровню
(2)
где п – количество разрядов АЦП без учета знакового направления; UАЦП – модуль максимального входного напряжения АЦП. После подстановки (2) в (1) имеем
Сумма εua = εu ± εa представляет собой результирующую абсолютную ошибку аналоговой обработки контролируемой величины. Выразив ее через относительную результирующую ошибку δua,
получим
Запишем выражение для минимальной разности смежных дискретных значений сигнала с учетом действия ошибок, которая, как уже указывалось, должна быть не меньше шага квантования сигнала по уровню а (рис. 1):
(3)
Рис. 1. Выражение для минимальной разности смежных дискретных значений сигнала с учетом действия ошибок
Fig. 1. Expression for the minimum difference of adjacent discrete signal values including the errors
Шаг квантования сигнала по уровню определяется разрядностью АЦП и модулем его максимального входного напряжения
(4)
Подставив (4) в (3), получим
(5)
Если контролируемая величина изменяется по синусоидальному закону, то выражения для un и un–1 в общем случае имеют следующий вид:
(6)
где um – амплитуда контролируемой величины; ω – угловая частота; φn – дискретное значение фазы.
Результаты исследования
Очевидно, что минимальная разность смежных дискретных значений синусоидальной величины имеет место в области экстремума функции (рис. 2), поэтому после подстановки (6) в (5) при φn = π / 2 получим
(7)
Рис. 2. Разность смежных дискретных значений синусоидальной величины
Fig. 2. Difference of adjacent discrete values of a sinusoidal value
Разрешив неравенство (7) относительно Δt, получим
(8)
где
Можно отметить, что разность смежных дискретных значений контролируемой величины зависит от ее амплитуды, а минимальная величина этой разности наблюдается в режиме минимального сигнала. Поэтому при выборе минимального шага Δt определяющим является режим с минимальной амплитудой контролируемой величины.
В устройствах РЗ с цифровой обработкой информации параметры входных функциональных элементов выбираются из условия непревышения в максимальном режиме амплитудой контролируемой величины модуля максимального входного напряжения АЦП. Для предельного режима ее амплитуда равна UАЦП, из чего следует, что коэффициент K представляет собой кратность контролируемой величины.
Не вызывает сомнений, что разность смежных дискретных значений контролируемой величины зависит от частоты и уменьшается со снижением последней, поэтому при выборе минимального шага дискретизации Δt необходимо принимать во внимание минимально возможное значение частоты.
На рис. 3 в качестве примера приведены зависимости минимального шага дискретизации синусоидального сигнала частотой 50 Гц от разрядности АЦП, построенные с использованием выражения (8).
Рис. 3. Зависимости шага дискретизации
от разрядности АЦП: 1 – δua = 2,5 %, K = 50;
2 – δua = 2,5 %, K = 150; 3 – δua = 5 %, K = 50;
4 – δua = 5 %, K = 150
Fig. 3. Dependances of discreditation steps
on ADC bit depth: 1 - δua = 2.5 %, K = 50;
2 - δua = 2.5 %, K = 150; 3 - δua = 5 %, K = 50;
4 - δua = 5 %, K = 150
Анализ представленных зависимостей подтверждает, что минимальное значение шага дискретизации Δt в значительной степени определяется кратностью контролируемой величины и разрядностью АЦП. Однако с увеличением разрядности АЦП основное влияние на величину Δt оказывают кратность K и ошибка аналоговой обработки контролируемой величины δua.
Заключение
Предлагаемая методика выбора минимального значения шага дискретизации входных величин в устройствах РЗ с цифровой обработкой информации не является исчерпывающей и может быть использована в качестве дополнения к предложенным методикам аналогичного назначения [1–5]. Предложенная методика может быть использована для ориентировочной оценки минимального значения шага дискретизации входных величин в устройствах РЗ с цифровой обработкой информации.
1. Баскаков С. И. Радиотехнические цепи и сигналы. М.: Высш. шк., 2000. 462 с.
2. Гарет П. Аналоговые устройства для микропроцессоров и мини-ЭВМ. М.: Мир, 1981. 268 с.
3. Бордюг А. С. Применение систем релейной защиты в судовых электроэнергетических комплексах // Вестн. гос. ун-та мор. и реч. флота им. адм. С. О. Макарова. 2021. Т. 13. № 6. С. 908–915.
4. Михайлов В. В., Кириевский Е. В., Ульяницкий Е. М. и др. Микропроцессорные гибкие системы релейной защиты. М.: Энергоатомиздат, 1988. 240 с.
5. Беки Д. А., Карплюс У. Д. Теория и применения гибридных вычислительных систем. М.: Мир, 1970. 484 с.
