Проведено сравнение точных решений двух контактных задач с неизвестной областью контакта о внедрении эллиптических штампов в трансверсально изотропное упругое полупространство. В первой задаче, названной «традиционной», граница полупространства параллельна плоскостям изотропии. Здесь возможна осевая симметрия для кругового штампа. Во второй задаче, названной «нетрадиционной», граница полупространства перпендикулярна плоскостям изотропии. Здесь осевая симметрия в принципе невозможна: даже для кругового штампа область контакта эллиптическая. Для обеих задач сравнены силы, требуемые для внедрения штампа на заданную величину, и площади возникающих областей контакта. Модель трансверсально изотропного тела применяется для описания многих востребованных в технике и промышленности материалов, параметры упругости которых измерены в последние десятилетия: композиты, керамика, углеволокно, эпоксидный графит, эпоксидное стекло, древесина, состаренные бетоны, некоторые металлы (титан, кобальт, цинк), ряд полупроводников и горных пород.
теория упругости, контактные задачи, трансверсально изотропное полупространство, точное решение.
Введение. Пионером в области исследования трансверсально изотропных тел считается Эллиот [1, 2]. В контактных задачах теории упругости для трансверсально изотропного полупространства традиционно рассматривался случай, когда область контакта параллельна плоскостям изотропии [3, 4]. Случай, когда область контакта или трещины перпендикулярна плоскостям изотропии, назван «нетрадиционным» [5, 6]. В случае «нетрадиционной» ориентации плоскостей изотропии рассматривались задачи для полосовой, клиновидной, эллиптической и заранее неизвестной областей контакта [7–10].
1. Elliot, H. A. Three-dimensional stress distributions in hexagonal crystals / H. A. Elliot // Proceedings of Cambridge Philosophical Society. ― 1948. ― Vol. 44. ― P. 522–533.
2. Elliot, H. A. Axial symmetric stress distributions in aeolotropic hexagonal crystals. The problem of plane and related problems / H. A. Elliot // Proceedings of Cambridge Philosophical Society. ― 1949. ― Vol. 45. ― P. 621–630.
3. Грилицкий, Д. В. Осесимметричная контактная задача термоупругости для трансверсально изотропного полупространства / Д. В. Грилицкий, Б. Г. Шелестовский // Прикладная механика. ― 1970. ― Т. 6, № 8. ― С. 3–8.
4. Ding, H. Elasticity of transversely isotropic materials / Haojiang Ding, Weiqiu Chen, L. Zhang. ― Dordrecht : Springer, 2006. ― 435 p.
5. Fabrikant, V. I. Non-traditional contact problem for transversely isotropic half-space / V. I. Fabrikant // Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics. ― 2011. ― V. 64, № 2. ― P. 151–170.
6. Fabrikant, V. I. Non-traditional crack problem for transversely-isotropic body / V. I. Fabrikant // European Journal of Mechanics A / Solids. ― 2011. ― Vol. 30. ― P. 902–912.
7. Давтян, Д. Б. Действие полосового штампа на трансверсально изотропное полупространство / Д. Б. Давтян, Д. А. Пожарский // Прикладная математика и механика. ― 2012. ― Т. 76, вып. 5. ― С. 783–794.
8. Пожарский, Д. А. Клиновидный штамп на трансверсально изотропном полупространстве / Д. А. Пожарский, Д. Б. Давтян, Е. А. Артамонова // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. ― 2013. ― № 1. ― С. 31–33.
9. Пожарский, Д. А. Трехмерная контактная задача для трансверсально изотропного тела / Д. А. Пожарский, Д. Б. Давтян // Вестник Дон. гос. техн. ун-та. ― 2013. ― № 7/8. ― С. 22–26.
10. Давтян, Д. Б. Действие эллиптического штампа на трансверсально изотропное полупространство / Д. Б. Давтян, Д. А. Пожарский // Известия РАН. Механика твердого тела. ― 2014. ― № 5. ― С. 117–126.
