Целью работы является исследование эффективности численных моделей полей упругих напряжений в деформированных твердых телах. При построении этих моделей используется метод точечных источников поля (МТИ), называемый в зарубежной литературе также методом фундаментальных решений. Описывается построение системы МТИ при моделировании полей различной физической природы. Вводится понятие точечного источника поля упругих смещений в деформированном твердом теле. Результатом работы является система МТИ, которую возможно использовать для решения различных задач теории упругости, например, для решения классической первой и второй граничных задач теории упругости (на границе заданы либо напряжения, либо смещения), а также смешанной граничной задачи (на одной части границы заданы смещения, а на другой — напряжения). Исследованы свойства МТИ при решении стандартной задачи, задачи Дирихле для круговой области. Найдены зависимости погрешности численного решения от параметров задачи — в частности, от числа зарядов, моделирующих искомое поле, от удаленности зарядов от границ области решения. На основании полученных результатов делается вы-вод о том, что при численном решении задач теории упругости погрешность МТИ убывает с ростом числа зарядов по экспоненциальному закону. Это свойство численного решения позволяет в определенных случаях получить предельно точное для компьютерных вычислений решение с относительной погрешностью порядка 10–15, что свидетельствует о перспективности использования МТИ при численном решении задач теории упругости
метод точечных источников, метод фундаментальных решений, задача теории упругости, задача Дирихле
Введение. Расчет полей упругих напряжений в деформированных телах является одной из важнейших задач прикладной механики и математики [1–3]. При численном решении этих задач в зависимости от их конкретных особенностей применяют различные численные методы. Довольно часто используются методы конечных разностей (МКР) [4] и граничных элементов (МГЭ) [3]. Однако особое место занимает метод конечных элементов (МКЭ) [2], который по праву можно считать эталоном для численного решения краевых задач математической физики. Тем не менее в ряде случаев, в том числе при моделировании полей упругих напряжений в деформированных твердых телах, использование МКЭ может оказаться неэффективным. Например, МКЭ не всегда обеспечивает требуемую высокую точность результата, особенно в тех случаях, когда необходимо найти производную от искомой функции, вычисление которой производится путем численного дифференцирования, что приводит к резкому увеличению погрешности вычислений. Кроме того, МКЭ может оказаться недостаточно быстродействующим, если необходимо получать решение в режиме реального времени. Таким образом, возникает необходимость поиска численных методов, позволяющих получать более точное решение за более короткий промежуток времени. В этом смысле представляет интерес метод точечных источников поля (МТИ) [5–12]. Он может использоваться для решения широкого круга задач математической физики. Наиболее эффективно использование этого метода при решении краевых задач для уравнений эллиптического типа: уравнений Лапласа, Гельмгольца, бигармонических уравнений [8, 13]. Имеются сведения о возможности и эффективности использования этого метода при решении краевых задач для уравнений параболического типа и для волновых уравнений [8, 14]. В данной статье иллюстрируется возможность применения МТИ при моделировании полей упругих напряжений в деформированных твердых телах. Прежде всего дадим краткое описание МТИ.
1. Победря, Б. Е. Численные методы в теории упругости и пластичности / Б. Е. Победря. — 2-е изд. — Москва : Издательство МГУ, 1995. — 366 с.
2. Алямовский, А. А. Инженерный анализ методом конечных элементов / А. А. Алямовский. — Москва : ДМК Пресс, 2004. — 426 с.
3. Громадка II, Т. Комплексный метод граничных элементов / Т. Громадка II, Ч. Лей. — Москва : Мир, 1990. — 308 с.
4. Самарский, А. А. Теория разностных схем / А. А. Самарский. — Москва : Наука, 1989. — 616 с.
5. Алексидзе, М. А. Фундаментальные функции в приближенных решениях граничных задач / М. А. Алексидзе. — Москва : Наука, 1991. — 352 с.
6. Бахвалов, Ю. А. Математическое моделирование физических полей методом точечных источников / Ю. А. Бахвалов, С. Ю. Князев, А. А. Щербаков // Известия РАН. Серия физическая. — 2008. — Т. 72, № 9. — С. 1259–1261.
7. Князев, С. Ю. Устойчивость и сходимость метода точечных источников поля при численном решении краевых задач для уравнения Лапласа / С. Ю. Князев // Известия вузов. Электромеханика. — 2010. — № 1. — С. 3–12.
8. Fairweather, G. The method of fundamental solutions for elliptic boundary value problems / G. Fairweather, A. Karageorghis // Advances in Computational Mathematics. — 1998. — Vol. 9. — P. 69–95.
9. Golberg, M. A. The method of fundamental solutions for potential problem numerical and mathematical aspects / M. A. Golberg, C. S. Chen // Boundary Integral Methods. Numerical and Mathematical Aspects. — WIT Press : Southampton, 1998. — P. 103–176. — (Computational Mechanics Publications).
10. Chen, J. T. Eigensolutions of multiply connected membranes using the method of fundamental solutions / J.-T. Chen, I.-L. Chen, Y.-T. Lee // Engineering Analysis with Boundary Elements. — 2005. — Vol. 29 (2). — P. 166–174.
11. Golberg, M A. The method of fundamental solutions for Poisson’s equation / M. A. Golberg // Engineering Analysis with Boundary Elements. — 1995. — Vol. 16 (3). — P. 205–213.
12. Katsurada, M. The collocation points of the method of fundamental solutions for the potential problem / M. Katsurada, H. Okamoto // Computers & Mathematics with Applications. — 1996. — Vol. 31. — P. 123–137.
13. Князев, С. Ю. Решение граничных задач математической физики методом точечных источников поля / С. Ю. Князев, Е. Е. Щербакова // Известия вузов. Электромеханика. — 2007. — № 3. — С. 11–15.
14. Князев, С. Ю. Решение задач тепло- и массопереноса с помощью метода точечных источников поля / С. Ю. Князев, Е. Е. Щербакова // Известия вузов. Электромеханика. — 2006. — № 4. — С. 43–47.
15. Ландау, Л. Д. Теория упругости / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. — 5-е изд. — Москва : Физматлит, 2003. — 264 с.
16. Poullikkas, A. The method of fundamental solutions for Signorini problems / A. Poullikkas, A. Karageorghis, G. Georgiou // IMA Journal of Numerical Analysis. — 1998. — Vol. 18. — P. 273–285.
17. Raamachandran, J. Analysis of composite plates using charge simulation method / J. Raamachandran, C. Rajamohan // Engineering Analysis with Boundary Elements. — 1996. — Vol. 18. — P. 131–135.
18. Yan Gu. Improved singular boundary method for elasticity problems / Yan Gu, Wen Chen, Xiaoqiao He // Computers & Structures. — 2014. — Vol. 135. — P. 7–82.
19. Marin, L. The MFS-MPS for two-dimensional steady-state thermoelasticity problems / L. Marin, Andreas Karageorghis // Engineering Analysis with Boundary Elements. — 2013. — Vol. 37, iss. 7–8. — P. 1004–1020.
20. Marin, L., Lesnic D. The method of fundamental solutions for the Cauchy problem in two-dimensional linear elasticity / L. Marin, D. Lesnic // International Journal of Solids and Structures. — 2004. — Vol. 41. — P. 3425–3438.
21. Drombosky, T.-W. Applicability of the method of fundamental solutions / T.-W. Drombosky, A.-L. Meyer, L. Ling // Engineering Analysis with Boundary Elements. — 2009. — Vol. 33. — P. 637–643.
22. Smyrlis, Y.-S. Some aspects of the method of fundamental solutions for certain harmonic problems / Y.-S. Smyrlis, A. Karageorghis // Journal of Scientific Computing. — 2001. — Vol. 16 (3). — P. 341–371.
