Санкт-Петербург, Россия
Краткое сообщение посвящено комбинаторному разнообразию фуллеренов С62–С150, полученному и охарактеризованному точечными группами симметрии с помощью оригинальных компьютерных алгоритмов. Установлено, что 28 допустимых для фуллеренов точечных групп симметрии реализуются уже в диапазоне С20–С140. Предложены критерии внутренней проверки результатов.
фуллерен, комбинаторное разнообразие, порядок группы автоморфизмов, точечная группа симметрии
Введение
После открытия фуллеренов как стабильных полиэдрических молекул [11] быстро выяснилось, что стабильность им обеспечивают главным образом критерии Г. Крото: отсутствие в структуре контактирующих пентагонов и высокая симметрия [9, 10]. Именно этим формам посвящена основная масса статей по проблеме. Исключение — атлас [7], в котором даны все фуллерены С20–С50 и формы с изолированными пентагонами С60–С100. Кроме того, структуры того же типа давно наблюдались в биологии (белковые капсиды икосаэдрических вирусов, скелеты радиолярий и мн. др.). И в этих областях интересны все комбинаторные типы фуллеренов. Это побудило авторов заняться их систематическим перечислением. В каталогах [2, 3] даны все фуллерены С20 — С60 (5770), С62 — С70 (1236) без троек контактирующих пентагонов и С72 — С100 (1265) с изолированными пентагонами. Все фуллерены изображены в проекциях Шлегеля на одну из граней. Особенность авторского подхода — в характеризации всех форм не только порядками групп автоморфизмов (п. г. а.) реберного графа, но и точечными группами симметрии (т. г. с.) соответствующего выпуклого полиэдра, гарантированного теоремой Мани [12].
Известно, что для фуллеренов возможны лишь 28 т. г. с. [6, 14]. В диапазоне С20 — С60 авторами данной статьи ранее зафиксированы 23 т. г. с. в порядке генерирования [2, 3]: [1] — С20; — С24; — С26; 222, — С28; mm2, — С30; 2, 32, — С32; m, 3m — С34; 1, , 6/mmm — С36; 3, mmm, — С40; , 23 — С44; 2/m — С48; — С56; 52 — С60. Встает вопрос о реализациях оставшихся 5 т. г. с., который был решен в данной статье.
Методика и результаты
Методика перечисления комбинаторных типов фуллеренов в целом сводится к построению, сравнению и элиминированию повторяющихся полиэдрических графов, у которых разрешены только 5- и 6-угольные грани, сходящиеся по 3 в каждой вершине [2]. В деталях алгоритмы являются know how авторов. Результаты даны в табл. 1 и дают ответ на поставленный выше вопрос: — С62; — С68; 622 — С72; — C92; 235 — C140. Таким образом, все 28 т. г. с. реализуются уже в диапазоне С20 — С140. Из них 6 некристаллографических: 52, , , , 235, . Из 32 кристаллографических т. г. с. в фуллеренах не реализуются 10: тетрагональные — 4, 422, 4/m, 4mm, 4/mmm, гексагональные — 6, 6/m, 6mm и кубические 432, .
Обсуждение
Уязвимое место компьютерного генерирования — невозможность внутренней проверки результатов. Поэтому важны любые тесты, опирающиеся на доказанные теоремы. Авторам известны два таких теста.
В работах [5, 8] независимо (и до открытия фуллеренов) получена формула для числа вершин выпуклого полиэдра с икосаэдрической т. г. с.: как решение специальной математической задачи [8] и в связи с систематикой капсидов икосаэдрических вирусов [5]. Число вершин равно 20 Т, где Т = h2 + ht + t2, h ≥ t = 0, 1, 2…[2] Таблица чисел Т приведена ранее [1, табл. 1]. При t = 0 и t = h получим Т = h2 и Т = 3h2, h = 1, 2, 3… — две серии фуллеренов с т. г. с. (верхняя строка и диагональ [1, табл. 1]). При этом вторая получается из первой переходом к дуальным формам и обрезанием всех вершин. Первые представители серий С20, С80 и С60 получены при генерировании ранее. Следующие за ними С180 и С240 выходят за изученный диапазон. Серия фуллеренов с т. г. с. 235 получается при h > k > 1. Первые представители: С140, С260. Фуллерен С140 получен при генерировании в этом исследовании, С260 выходит за изученный диапазон.
Дуальный переход с обрезанием вершин, утраивающий их число и сохраняющий т. г. с., можно применить к любому фуллерену. Отсюда следует идея: начав с диапазона С20–С50 [2], перейти к С60–С150. В классах Cn второго диапазона (n должно делиться на 2 и 3, т. е. на 6) т. г. с. первого должны повториться с неменьшим числом фуллеренов (новые т. г. с. и формы возможны). И этот критерий в табл. 1 выполнен.
Ясно, почему 10 из 32 кристаллографических т. г. с. несовместимы со структурами фуллеренов. Заметим, что оси симметрии могут пронзать любой полиэдр (в нашем случае — фуллерен) лишь в центрах граней (у нас 5- или 6-угольных), серединах ребер или вершинах (у нас 3-валентных). Это исключает для фуллеренов простые оси 4–го порядка (именно простые, тогда как инверсионные 4-го порядка разрешены) и, следовательно, тетрагональные 4, 422, 4/m, 4mm, 4/mmm и кубические 432, . т. г. с.
Невозможность гексагональных т. г. с. 6, 6/m, 6mm выясняется иначе. Приведем схему доказательства. Ясно, что в фуллеренах простые оси 6-го порядка могут проходить лишь через центры двух 6-угольных граней. Начнем строить плоскую проекцию Шлегеля, последовательно обкладывая одну из них «поясами» из шести (генерируемых осью 6-го порядка) 5- или 6-угольников. Вопрос в том, когда будут присоединены два пояса 5-угольников (на любом фуллерене их 12, т. е. два пояса). Первый можно присоединить после четного (тип 1) и нечетного (тип 2) числа n поясов 6-угольников. Те же возможности для второго пояса дают четыре подтипа: 11, 12, 21 и 22. Построением проверяется, что в подтипах 11 (n = 0 на первом шаге, 0, 2, 4… на втором) и 21 (n = 1 на первом шаге, 0, 2, 4… на втором) получаются фуллерены с т. г. с. и (n = 2 на первом шаге, 0, 2, 4… на втором) 622, в подтипе 12 — с т. г. с.6/mmm (n = 0 на первом шаге, n = 1, 3, 5… на втором). Другие т. г. с. невозможны. Тип 22 не приводит к замыканию проекции Шлегеля.
Заключение
Полный перечень фуллеренов диапазона С20–С150, охарактеризованных т. г. с. и доступных в проекциях Шлегеля на одну из граней, имеет прикладное значение в молекулярном и инженерном дизайне (не случайно они носят имя архитектора Р. Б. Фуллера), при классификации капсидов икосаэдрических вирусов, скелетов радиолярий и других минеральных и органических микроструктур. Он важен при анализе активно изучаемых трансформаций фуллеренов (G – C — Голдберга – Коксетера, S – W — Стоуна – Уоллеса [13], S – V — авторов этой статьи [4], с внедрением и изъятием С2 и др.) в попытке связать их в единое многообразие.
1. Войтеховский Ю. Л. Из опыта преподавания. III. Кристаллография икосаэдрических вирусов // Вестник геонаук. 2020. № 4. C. 40–44. DOI: 10.19110/geov.2020.4.6.
2. Войтеховский Ю. Л., Степенщиков Д. Г. Фуллерены С20– С60: каталог комбинаторных типов и точечных групп симметрии. Апатиты: К & M, 2002. 55 с.
3. Войтеховский Ю. Л., Степенщиков Д. Г. Фуллерены С62–С100: каталог комбинаторных типов и точечных групп симметрии. Апатиты: К & M, 2003. 50 с.
4. Степенщиков Д. Г. О трансформации фуллеренов // Вестник КНЦ РАН. 2016. № 24. С. 32–37.
5. Caspar D. L. D., Klug A. Physical principles in the construction of regular viruses // Cold Spring Harbor Symp. Quant. Biol. 1962. V. 27. P. 1–24.
6. Deza M., Dutour-Sikirić M., Fowler P. W. The symmetries of cubic polyhedral graphs with face size no larger than 6 // Comm. Math. Comput. Chem. 2009. V. 61. P. 589–602.
7. Fowler P. W., Manolopoulos D. E. An atlas of fullerenes. Oxford: Clarendon Press, 1995. 392 p.
8. Goldberg M. A class of multi–symmetric polyhedra // Tohoku Math. J. 1937. V. 43. P. 104–108.
9. Klein D. J., Seitz W. A., Schmalz T. G. Icosahedral symmetry carbon cage molecules // Nature. 1986. V. 323. P. 703–706.
10. Kroto H. W. The stability of the fullerenes Cn with n = 24, 28, 32, 36, 50, 60 and 70 // Nature. 1987. V. 329. P. 529–531.
11. Kroto H. W., Heath J. R., O’Brien S. C., Curl R. F., Smalley R. E. C60: buckminsterfullerene // Nature. 1985. V. 318. P. 162–163.
12. Mani P. Automorphismen von polyedrischen Graphen // Math. Ann. 1971. V. 192. S. 279–303.
13. Stone A. J., Wales D. J. Theoretical studies of icosahedral C60 and some related species // Chem. Phys. Letters. 1986. V. 128. P. 501–503.
14. Yoshida M., Fowler P. W. Dihedral fullerenes of threefold symmetry with and without face spirals // J. Chem. Soc. 1997. V. 93. P. 3289–3294.
