сотрудник
Воронеж, Воронежская область, Россия
УДК 519.63 Численные методы решения дифференциальных уравнений с частными производными
Производится структурный анализ динамической системы, описываемой дифференциальным уравнением в частных производных. Ставится задача перевода системы из начального в конечное состояние. Отличием данной задачи от классической является наличие двух искомых вектор функций: состояния и управления. Решается задача управления: выявляются свойства матричных коэффициентов и функций, влекущих полную управляемость (или неуправляемость системы); приводится пошаговый алгоритм построения функций управления и соответствующего состояния для полностью управляемой системы. Исследование ведется алгоритмическим методом каскадной декомпозиции, заключающемся в поэтапном (пошаговом) переходе от исходной системы к системам все уменьшающихся размеров, и позволяющем оптимизировать процесс численной реализации управляемого процесса. Практическая реализация метода не требует приведения точных формул для построения матричных коэффициентов, что позволяет избежать громоздких матричных преобразований и обойтись процедурой замены переменных. Реализация метода базируется на свойствах матричного коэффициента при производной от одной из искомых функций и алгоритмически реализуется прямым и обратным ходом. В процессе реализации прямого хода, подробно рассматривается каждый случай (нулевого, обратимого или необратимого) коэффициента и, в случае необратимого коэффициента, система расщепляется на иерархически структурированную совокупность подсистем первого и второго уровня. Далее, с целью выявления свойства матричных коэффициентов, реализуется процедура структурного анализа подсистемы второго уровня, вполне аналогичной исходной системе, но в пространстве меньшей размерности. Конечномерность исходных пространств влечет полную реализацию прямого хода декомпозиции за конечное, не превышает размерности исходного пространства число шагов. На последнем шаге декомпозиции выявляется неуправляемость либо полная управляемость системы. В случае выявления свойства полной управляемости системы расщепления последнего шага, реализуется обратный ход алгоритма: получение формул для построения функции управления и соответствующей функции состояния. Представленный метод позволяет варьировать при построении искомых, удовлетворяющих заданным краевым условиям, вектор функций: в экспоненциальном, дробно-рациональном, полиномиальном виде или в какой-либо другой форме, наиболее отвечающей потребностям исследования.
Алгоритм, динамическая система, управление, состояние, структурный анализ, метод каскадной декомпозиции
1. Калман, Р.Е. Об общей теории систем управления / Р.Е. Калман // Труды IFAC. – 1960. – С. 521–546.
2. Математическая теория оптимальных процессов / Л.С. Понтрягин, В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко. – М. : Физматгиз, 1961. – 384 с.
3. Красовский, Н.Н. Теория управления движением / Н.Н. Красовский. – М. : Наука, 1968. – 476 с.
4. Kien, B.T. Optimal control problems governed by fractional differential equations with control constraints / B.T. Kien, T.D. Phuong, V.E. Fedorov // SIAM Journal on Control and Optimization. – 2022. – Vol. 60, № 3. – Pp. 1732-1762. – DOI: 10.1137/21M1430728.
5. Данилин, А.Р. Асимптотика решения задачи оптимального граничного управления в двухсвязной области с различной интенсивностью на участках границы / А.Р. Данилин // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2022. – Т. 62, № 2. – С. 217-231. - DOI: 10.31857/S0044466922020077.
6. Antipov, A.S. Synthesis of invariant nonlinear single-channel sigmoid feedback tracking systems ensuring given tracking accurasy / A.S. Antipov, S.A. Krasnova, V.A. Utkin // Automation and Remote Control. – 2022. – Vol. 83 (1). – Pp. 32-53. - DOI: 10.1134/S0005117922010039.
7. Данилин, А.Р. Асимптотика решения задачи оптимального граничного управления в двухсвязной области с различной интенсивностью на участках границы / А.Р. Данилин, О.О. Коврижных // Труды института математики и механики УрО РАН. – 2022. – Т. 28, № 1. – C. 58-73. – DOI: 10.31857/S0044466922020077.
8. Жирабок, А.Н. Метод идентификации дефектов в нелинейных системах на основе скользящих наблюдателей / А.Н. Жирабок, А.В. Зуев, А.Е. Шумский // Известия Российской академии наук. Теория и системы управления. – 2021. – № 1. – С. 11-23. - DOI: 10.31857/S0002338821010145.
9. Tremba, A.A. Mixed robustness: analysis of systems with uncertain deterministic and random parameters by the example of linear systems / A.A. Tremba // Automation and Remote Control. – 2021. – Vol. 82 (3). – Pp. 410-432. - DOI: 10.1134/S0005117921030036.
10. Kokunco, Y.G. Cascade synthesis of differentiators with piecewise linear correction signals / Y.G. Kokunco, S.A. Krasnova, V.A. Utkin // Automation and Remote Control. – 2021. – Vol. 82 (7). – Pp. 1144-1168. – DOI: 10.1134/S000511792107002X.
11. Belov, A.A. Robust control design for supressing random exogenous disturbances in parametrically uncertain linear systems / A.A. Belov, O.G. Andrianova // Automation and Remote Control. – 2020. – Vol. 81 (4). – Pp. 649-661. - DOI: 10.1134/S0005117920040074.
12. Krasnova, S.A. Estimating the derivatives of external perturbations based on virtual Dynamic Models / S.A. Krasnova // Automation and Remote Control. – 2020. – Vol. 81 (5). – Pp. 897-910. – DOI: 10.1134/S0005117920050094.
13. Danilin, A.R. asymptotics of the solution of a singular optimal disturbed control problem with essential constraits in a convex domain / A.R. Danilin // Differential Equations. – 2020. – Vol. 56, № 2. – С. 251-263. – DOI: 10.1134/S001226612002010X.
14. Tchaikovsky, M.M. Anisotronic suboptimak control for systems with linear-fractional uncertainity / M.M. Tchaikovsky, A.P. Kurdukov // Automation and Remote Control. – 2018. – Vol. 79 (6). – Pp. 1100-1116. - DOI: 10.1134/S0005117918060097.
15. Krasnova, S.A. Hierarchical design of sigmoidal generalized moment of manipulator uncertainty / S.A. Krasnova, A.S. Antipov // Automation and Remote Control. – 2018. – 79 (3). – Pp. 554-570. - DOI: 10.1134/S000511791803013X.
16. Tchaikovsky, M.M. On upper estimate of anisotronic norm of uncertain system with application to stochastic robust control / M.M. Tchaikovsky, A.P. Kurdukov // International Journal of Control. – 2018. – Vol. 91 (11). – Pp. 2411-2421. - DOI: 10.1080/00207179.2017.1311025.
17. Раецкая, Е.В. Условная управляемость и наблюдамость линейных систем : специальность 01.01.02 «Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление» : автореф. дисс. … канд..физ.-мат. наук / Раецкая Елена Владимировна. – Воронеж. 2004. – 16 с.
18. Зубова, С.П. О полиномиальных решениях линейной стационарной системы управления / С.П. Зубова, Е.В. Раецкая, Ле Хай Чунг // Автоматика и телемеханика.- 2008. – № 11. – С. 41-47.
19. Zubova, S.P. Construction of controls providing the desired output of the linear dynamic system derivatives / S.P Zubova, E.V Raetskaya // Automation and Remote Control. – 2018. – Vol. 79 (5). – P. 775-792. - DOI: 10.1134/S0005117918050016.
20. Zubova, S.P. Algorithm to solve linear multipoint problems of control by the method of cascade decomposition / S.P Zubova, E.V Raetskaya // Automation and Remote Control. – 2017. – Vol. 78 (7). – P. 1189-1202. - DOI: 10.1134/S0005117917070025.
21. Zubova, S.P. Solution of the multi-point control problem for a dynamic system in partial derivatives / S.P Zubova, E.V Raetskaya // Mathematical Methods in the Applied Science. – 2021. - Vol. 44, № 15, 2021. – Pp. 11998-12009. - DOI: 10.1002/mma.7130.
22. Zubova, S.P. Invariance of a nonstationary observability system under certain perturbations / S.P Zubova, E.V Raetskaya // Journal of Mathematical Sciences. – 2013. - Vol. 188, № 3. - Pp. 218-226. - DOI: 10.1007/s10958-012-1120-9.
23. Zubova, S.P. A study of the rigidity descriptor dynamical systems in a banach spase / S.P Zubova, E.V Raetskaya // Journal of Mathematical Sciences. – 2015. - Vol. 208, № 1. 2015. – Pp. 131-138. - DOI: 10.1007/s10958-015-2430-5.
24. Зубова, С.П. Построение управления для получения заданного выхода в системе наблюдения / С.П. Зубова, Е.В. Раецкая // Вестник Тамбовского университета. Сер. Естественные и технические науки. - 2015. – Т. 20, № 5. – С. 1400-1404.
25. Зубова, С.П. Исследование сингулярно возмущенной системы управления / С.П. Зубова, Е.В. Раецкая //Вестник Тамбовского университета. Сер. Естественные и технические науки. – 2018. – Т. 23, № 122. – С. 303-308. - DOI: 10.20310/1810-0198-2018-23-122-303-308.
26. Зубова, С.П. Об инвариантности нестационарной системы наблюдения относительно некоторых возмущений / С.П. Зубова, Е.В. Раецкая, Т.К. Фам // Вестник Тамбовского университета. Сер. Естественные и технические науки. – 2010. – Т. 15, № 6. – С. 1678-1679.
27. Zubova, S.P. Solution of the Cauchy problem for two descriptive equations with fredholm operator / S.P Zubova, E.V Raetskaya // Doсlady Mathematics. – 2015. - Vol. 90, №3. – Pp. 732-736. – DOI: 10.1134/S106456241407031X.
28. Zubova, S.P. Degeneraty property of a matrix differential operator and applications / S.P. Zubova, E.V. Raetskaya, V.I. Uskov // Journal of Mathematical Sciences. -2021. - Vol. 255, № 5. – Pp. 640-652. - DOI: 10.1007/s10958-021-05401-7.
29. Раецкая, Е.В. Построение управления в форме обратной связи для линейной динамической системы / Е.В. Раецкая // Современные методы теории функций и смежные проблемы : сборник материалов Международной конференции «Воронежская зимняя математическая школа». – Воронеж, 2019. – С. 217-218.
30. Зубова, С.П. Решение полуграничной задачи для вырожденного уравнения в частных производных / С.П. Зубова, Е.В. Раецкая // Дифференциальные уравнения. – 2022. – Т. 58, № 9. – С. 1193-1204. - DOI: 10.31857/S0374064122090035.
