Россия
Статья посвящена обсуждению научно-методических вопросов начертательной геометрии на примере решения задач, имеющих наряду с действительными и мнимые решения. Приведены примеры таких задач, графические решения которых дают неправильные ответы. Как следствие, они привели к появлению в некоторых учебных пособиях по начертательной геометрии ложных утверждений типа «кривая вырождается в точку», «тор является поверхностью второго порядка», «частными случаями торсовой поверхности являются конические и цилиндрические поверхности в случае вырождения ребра возврата торсовой поверхности в точку» и т.д. В статье с помощью примеров определения порядка и класса плоской алгебраической кривой, изолированной точки касания, линии пересечения поверхностей второго порядка с общей плоскостью симметрии дается математически корректное толкование мнимых решений задач. Делается вывод о необходимости сочетания графических и аналитических способов решения для получения математически обоснованных ответов. Такой подход отвечает требованиям ФГОС по обеспечению как внутрипредметных, рассмотренных в данной публикации, так и междисциплинарных компетенций. Последние позволяют осуществить выход начертательной геометрии комплексного пространства в теорию алгебраических кривых и поверхностей, кремоновых преобразований, теорию поля и т.д.
мнимая точка, изолированная точка, изотропные прямые, мнимая касательная, порядок кривой, класс кривой.
В учебных курсах начертательной геометрии рассматриваются лишь графические способы решения геометрических задач. Поэтому в случае мнимых решений (координаты искомых точек являются комплексными числами, коэффициенты в уравнениях искомых линий или поверхностей также являются комплексными числами) указывают на отсутствие решения. В настоящее время только в классах с математическим уклоном говорят о наличии двух мнимых решений у квадратного уравнения с одной неизвестной, если его дискриминант меньше нуля. Для остальных учеников средней школы такое уравнение решения не имеет.
Несмотря на существование решения с позиций алгебры, в начертательной геометрии говорят об отсутствии пересечения кривой линии и поверхности, двух поверхностей, если нет действительных точек или линий пересечения. Такие утверждения, как правило, не влияют на результаты построений в инженерной графике. Но они зачастую искажают результаты решения ряда задач самой начертательной геометрии. Например, графический способ определения порядка алгебраических кривых или поверхностей выше второго обычно дает неправильный ответ. Приведем пример: автор учебного пособия [15], судя по его названию, всерьез считает тор поверхностью второго порядка. Но этот «грех» не идет ни в какое сравнение с уравнением, содержащимся в этом пособии, «заимствованным» из статьи Е.А. Глазунова [2]. Кстати, эта статья содержит великолепный исходный материал для обсуждения темы настоящей публикации.
1. Гирш А.Г. Наглядная мнимая геометрия. – М.: ООО «ИПЦ «Маска», 2008.
2. Глазунов Е.А. О проекции линии пересечения двух поверхностей второго порядка, имеющих общую плоскость симметрии. // Труды московского семинара по начертательной геометрии и инженерной графике. М.: издво «Советская наука», 1958. С. 35-69.
3. Графский О.А. Теоретико-конструктивные проблемы моделирования мнимых элементов в начертательной геометрии и ее приложениях: автореф. дис. доктора техн. наук. М., 2004.
4. Иванов Г.С. Теоретические и конструктивно-прикладные вопросы квадратичных кремоновых инволюций: автореф. дис. канд. техн. наук, М., 1968.
5. Иванов Г.С. Перспективы начертательной геометрии как учебной дисциплины // Геометрия и графика. Т. 1. № 1. С. 26-27. DOI: 10.12737/467.
6. Иванов Г.С. Компетентностный подход к содержанию курса начертательной геометрии // Геометрия и графика. 2013. Т. 1. № 2. С. 3-5. DOI: 10.12737/775.
7. Пеклич В.А. Мнимая начертательная геометрия. М.: изд-во Ассоциации строительных вузов, 2007.
8. Савелов А.А. Плоские кривые. М.: Физматгиз, 1960.
9. Савельев Ю.А. Графика мнимых чисел // Геометрия и графика. 2013. Т. 1. № 1. С. 22-23. DOI: 10.12737/2079.
10. Серегин В.И., Иванов Г.С., Дмитриева И.М., Муравьев К.А. Междисциплинарные связи начертательной геометрии и смежных разделов высшей математики // Геометрия и графика. 2013. Т. 1. № 3-4. С. 8-12. DOI: 10.12737/2124.
11. Смогаржевский А.С., Столова Е.С. Справочник по теории плоских кривых третьего порядка. М.: Физматгиз, 1961.
12. Умбетов Н.С. Конструирование эквипотенциальной поверхности // Геометрия и графика. 2013. Т. 1. № 1. С. 11–14. DOI: 10.12737/2075.
13. Фролов С.А. Начертательная геометрия. М.: Машиностроение, 1978.
14. Четверухин Н.Ф. Проективная геометрия. М.: Просвещение, 1969.
15. Чинарева Л.Д. Определение геометрических параметров проекций линии пересечения поверхностей второго порядка на общие плоскости симметрии. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011.
