Изучена пространственная контактная задача с неизвестной областью контакта для трансверсально-изотропного упругого полупространства, граница которого перпендикулярна плоскостям изотропии. Жёсткость границы упругого тела зависит от направления, поэтому для кругового в плане штампа область контакта, как правило, не является круговой. Задача сведена к интегральному уравнению (ИУ) относительнс контактного давления, ядро которого не содержит квадратур. Для решения ИУ применяется численный метод Галанова, позволяющий одновременно определить область контакта и давление в этой области. Простои вид ядра ИУ облегчает его регуляризацию, параметр которой зависит от шагов сетки и параметров анизотропии. Для отладки программы использовано известное точное решение задачи для штампа в форме эллиптического параболоида. Сделаны расчёты для разных трансверсально-изотропных материалов при внедрении конического и пирамидального штампов.
теория упругости, контактная задача, трансверсально-изотропное полупространство, метод Галанова.
Введение. Механические свойства трансверсально-изотропных материалов вызывают интерес у исследователей, поскольку касаются ряда важных материалов, имеющих гексагональную кристаллическую решётку [1]. Развиваемый метод позволяет эффективно оценивать твёрдость и контактную прочность материалов, приповерхностные свойства которых могут существенно зависеть от направления. Ядро интегрального уравнения контактной задачи ранее было получено в виде двойного интегрального преобразования Фурье [2]. Затем при помощи теории обобщённых функций удалось представить это ядро в виде свободном от квадратур [3]. Такой вид ядра, ввиду простоты его регуляризации в особых точках, сделал возможным применить для решения контактной задачи с неизвестной областью контакта метод нелинейных граничных ИУ типа Гаммер-штейна, развитый Галановым [4, 5]. Твёрдость по Бринеллю для эллиптического штампа может быть оценена на основе точного решения для эллиптического параболоида [2]. В представленной работе сделаны расчёты для разных материалов при внедрении конического штампа и штампа в форме четырёхугольной пирамиды (твёрдость по Виккерсу). Определены области контакта, давления и значения вдавливающей силы при заданной осадке штампа.
1. Ding, H. Elasticity of transversely isotropic materials / Haojiang Ding, Weiqiu Chen, L. Zhang. — Dordrecht: Springer, 2006. — 435 p.
2. Fabrikant, V. I. Non-traditional contact problem for transversely isotropic half-space / V. I. Fabrikant // Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics. — 2011. — Vol. 64, no. 2. — Pp. 151-170.
3. Давтян, Д. Б. Действие полосового штампа на транверсально-изотропное полупространство / Д. Б. Давтян, Д. А. Пожарский // Прикладная математика и механика. — 2012. — Т. 76, вып. 5. - С. 783-794.
4. Галанов, Б. А. Метод граничных уравнений типа Гаммерштейна для контактных задач теории упругости в случае неизвестных областей контакта / Б. А. Галанов // Прикладная математика и механика. — 1985. — Т. 49, вып. 5. — С. 827-835.
5. Александров, В. М. Неклассические пространственные задачи механики контактных взаимодействий упругих тел / В. М. Александров, Д. А. Пожарский. — Москва : Факториал, 1998. - 288 с.
