В статье представлен краткий обзор некоторых результатов, полученных по теме выпучивания при ползучести элементов конструкций, уделено внимание применению системы компьютерной математики Maple для вывода основных соотношений, проверки результатов и построения графиков сравнения теоретических и экспериментальных (отечественных и зарубежных) работ.
ползучесть, особые точки, стержень, выпучивание, критерий
Механическое движение и деформирование твердых, упругих и неупругих сред и конструкций описывается дифференциальными уравнениями. Для решения задач о движении материальной точки, системы точек или тела необходимо ставить какие-то начальные условия или условия на характеристики этого движения, позволяющие найти константы интегрирования. Принят наиболее естественный вариант: в некоторый момент времени, например при , известны координаты точки и ее скорость. Отсюда можно получить зависимость координат точки во все последующее время. Число начальных условий равно порядку дифференциального уравнения. Не запрещено поставить условия и на ускорение или высшие производные. Такую начальную задачу в теории стабильности [5, 6] называют обобщенной задачей Коши. В этом случае с помощью уравнения движения можно найти значения начального положения и скорости, выразив их через заданные высшие производные. В этом суть того, что составляет теорию стабильности. Процедура выражения функции и скорости через высшие производные в некоторых случаях может не состояться! Эти случаи являются особыми точками начальной задачи и называются потерей стабильности процесса, или нестабильностью. Имеем, например, дифференциальное уравнение , где точка над символом означает производную по времени, , a – некоторое число. Если поставить условие на скорость , то найти можно лишь при . Таким образом, в предлагаемом определении значение является точкой нестабильности (особой точкой) процесса. В рамках одной теории различаются две постановки: анализ стабильности процесса и анализ стабильности возмущенного движения (или процесса).
В издательстве «Инфра–М» готовится к выпуску монография профессора НИУ МЭИ и МГУ им. М.В. Ломоносова, доктора физико-математических наук М.Н. Кирсанова «Стабильность элементов конструкций в условии ползучести. Часть 1. Стержни». В книге определяется и исследуется явление стабильности деформаций стержневых элементов конструкций по отношению к возмущениям производных прогиба при неограниченной ползучести материала. Постулируется критерий, связывающий нестабильность процесса с достижением системой особых точек обобщенной задачи Коши и выпучиванием объекта. Результаты для различных моделей среды сравниваются с известными критериями и экспериментами. Приводятся алгоритмы и программы в системе компьютерной математики Maple, описание команд и операторов этой системы. Предметно-именной указатель содержит более 600 записей. Книга предназначена для научных работников, студентов и аспирантов университетов и технических вузов.
Фактически это первое систематическое и подробное изложение теории стабильности. Ранее идеи особых точек начальной задачи, лежащих в основе явления, развивались автором [5–9, 10–15, 23], его учениками [16, 20], последователями [1–3] и публиковалась в отдельных журнальных статьях.
В первой главе монографии описаны основные линейные реологические модели, материалов, описываемые структурными схемами, выводятся уравнения равновесия гибких стержней и упрощенной модели Шенли. Более сложные нелинейные определяющие соотношения приводятся в следующих главах. Во второй главе впервые дается подробный аналитический обзор известных подходов к объяснению и предсказанию явления выпучивания конструкций из вязких материалов, в том числе и стали, которая при высоких температурах ведет себя как вязкий материал. В единых обозначениях описаны критерии известных советских ученых – Ю.Н. Работнова [19], С.А. Шестерикова [21], В.Д. Клюшникова [17], Л.М. Куршина [18] и Г.В. Иванова [4], а также критерии F. Shenly [24], J. Jerard [22]. В третьей и четвертой главах излагается теория нестабильности на примерах конкретных сред и моделей стержней. Решена задача о выпучивании армированного стержня.
Принципиальное отличие этого решения от аналогичного для однородных стержней состоит в том, что для армированного стержня на оси внешней нагрузки T помимо эйлеровой появляется еще одна характерная точка , равная эйлеровой нагрузке арматуры без наполнителя. Область критических нагрузок будет следующей: . Для определяющего соотношения , связывающего деформацию ползучести , скорость деформации ползучести и напряжение , найдено критическое время выпучивания стержня с площадью сечения , моментом инерции , длиной при жестком нагружении (постоянная скорость деформирования). На рисунке 1 показана зависимость безразмерного времени , где – скорость роста деформации ползучести в процессе нагружения , – жесткость стержня.
Рисунок 1 – К определению критического времени
Большое внимание в книге (глава 5) уделено применению системы компьютерной математики Maple [13] для вывода основных соотношений, проверки результатов и построения графиков сравнения теоретических и экспериментальных (отечественных и зарубежных) работ. В Приложении содержатся справочные сведения по пакету линейной алгебры этой системы. Описаны более 120 команд и операторов, включая новые операторы системы Maple [18]. На сайте vuz.exponenta.ru размещены исходные mws-тексты всех Maple-программ, описанных в книге.
Готовятся к публикации следующие части монографии по приложениям теории стабильности: часть 2 (пластины и оболочки) и часть 3 (задачи механики сплошных сред и динамики твердого тела).
1. Еренков О. Ю. Стабильность технологической системы при точении полимерных материалов [Текст] / О.Ю. Еренков, А.Г. Ивахненко, Е.О. Ивахненко // Фундаментальные и прикладные проблемы техники и технологии. – 2008. – № 3–7. – С. 14–23.
2. Еренков О.Ю. Математическая модель нелинейных колебаний и определение условий нестабильности технологической системы при точении [Текст] / О.Ю. Еренков, А.Г. Ивахненко // Ученые записки Комсомольского-на-Амуре государственного технического университета. – 2010. – Т. 1. – № 1. – С. 67–71.
3. Ивахненко А.Г. Методология структурно-параметрического синтеза металлорежущих систем [Текст] / А.Г. Ивахненко [и др.]. – Комсомольск-на-Амуре, 2015. – 282 с.
4. Иванов Г.В. Об устойчивости равновесия сжато-изогнутых тонких стержней при неупругих деформациях [Текст] / Г.В. Иванов // МТФ. – 1961. – № 3. – С. 74–84.
5. Кирсанов М.Н. Определение и анализ стабильности движения с использованием системы Maple [Текст] / М.Н. Кирсанов // Exponenta Pro. Математика в приложениях. – 2004. – № 3–4. – С. 134–137.
6. Кирсанов М.Н. Математические основы некоторых задач механики [Текст] / М.Н. Кирсанов // Известия вузов. Строительство. – 1996. – № 6. – С. 39–44.
7. Кирсанов М.Н. Неустойчивость цилиндрической оболочки при ползучести [Текст] / М.Н. Кирсанов // Изв.АН СССР. МТТ. – 1986. – № 6. – С. 126–129.
8. Кирсанов М.Н. Определение неустойчивости реологических тел [Текст] / Кирсанов М.Н. Кирсанов // Эффективные композиты и конструкции. – Воронеж: ВПИ, 1988. – С. 120–127.
9. Кирсанов М.Н. Особые бифуркационные точки процесса деформирования продольными силами гибкого стержня из материала, обладающего свойством ползучести со степенным законом упрочнения [Текст] / М.Н. Кирсанов // Методы и алгоритмы расчета сооружений и конструкций. – Воронеж: ВПИ, 1990. – С. 97–100.
10. Кирсанов М.Н. Стабильность решения дифференциального уравнения и анализ движения механических систем [Текст] / М.Н. Кирсанов // Пятый международный симпозиум по классической и небесной механике. 23–28 августа 2004 г. Великие Луки. Россия (тезисы докладов). – Москва-Великие Луки: ВЦ РАН, 2004. – С. 103, 104.
11. Кирсанов М.Н. Определение, свойства и приложения одного нелинейного дифференциального оператора [Текст] / М.Н. Кирсанов // Вестник ТГГПУ. – 2010. – № 4(22). – C. 43–48.
12. Кирсанов М.Н. Точки нестабильности дифференциального уравнения [Текст] / М.Н. Кирсанов // Вестник ЧГПУ. Механика предельного состояния. – 2010. – № 2(8). – С. 191–197.
13. Кирсанов М.Н. Выпучивание пластины из нелинейного реологического материала при переменном нагружении [Текст] / М.Н. Кирсанов // Вестник ТГГПУ. – 2011. – 2(24). – С. 19–23.
14. Кирсанов М.Н. Maple и Maplet. Решение задач механики [Текст] / М.Н. Кирсанов. – СПб.: Лань, 2012. – 512 с.
15. Кирсанов М.Н. Нестабильность распределения напряжений в плоской задаче теории упругости неоднородного тела [Текст] / М.Н. Кирсанов // ПМТФ. – 2013. – № 3. – С. 166–169.
16. Кирсанов М.Н. Нестабильность решения уравнения задачи о растекании пластического материала [Текст] / М.Н. Кирсанов, С.В. Выльева, М.И. Федорова // Расширенный научный семинар по проблемам фундаментальной механики и теории обработки давлением. – МГТУ «МАМИ», 2008.
17. Клюшников В.Д. Устойчивость упругопластических систем [Текст] / В.Д. Клюшников. – М.: Наука, 1980. – 240 с.
18. Куршин Л.М. Об устойчивости стержней и пластин в условиях ползучести [Текст] / Л.М. Куршин // ДАН СССР. – 1961. – Т. 140. – № 3. – С. 549–552.
19. Работнов Ю.Н. Устойчивость стержней и пластинок в условиях ползучести [Текст] / Ю.Н. Работнов, С.А. Шестериков // ПММ. – 1957. – Т. 21. – № 3. – С. 406–412.
20. Сафронов В.М. Оценка возможности заклинивания поршня в пневмоприводах [Текст] / В.М. Сафронов, М.Н. Кирсанов // Приборы и системы. Управление, контроль, диагностика. – 2006. – № 10. – С. 37–40.
21. Шестериков С.А. О критерии устойчивости при ползучести [Текст] / С.А. Шестериков // ПММ. – 1959. – № 6. – С. 1101–1106.
22. Kirsanov, M.N. Singular Points Of The Creep Deformation And Buckling Of A Column [Text] / M.N. Kirsanov // International Journal Eng.Science. – 1997. – V 5. – N 3. – Pр. 221–227.
23. Gerard, G. A creep buckling hypothesis [Text] / G. Gerard // J. Aeron. Sci. – 1956. – V. 23. – P. 879.
24. Shanley, F.R. Weight-strength analysis of aircraft structures [Тext] / F.R. Shanley. – N.Y.: Mc Graw-Hill Book Co, 1952. – Рр. 343–385.
