УДК 61 Медицина. Охрана здоровья
Рассматривается задача косвенного определения сходных механизмов токсического воздействия при многофакторной экспозиции токсических веществ. Показано, что применение некоторых комбинаторных и вероятностных утверждений позволяет сформулировать и проверить гипотезу о наличии одинаковых механизмов токсического воздействия для различных наборов компонент многофакторной экспозиции
многофакторное воздействие, изоболы, схема урн, проверка статистических гипотез, полиномиальное распределение
ОБ ОДНОЙ КОМБИНАТОРНОЙ ЗАДАЧЕ СРАВНИТЕЛЬНОЙ ТОКСИКОЛОГИИ
© 2018 В.Г. Панов, канд. физ.-мат. наук; Ю.В. Нагребецкая, канд. физ.-мат. наук
Институт промышленной экологии УрО РАН, Екатеринбург,
Уральский федеральный университет, Екатеринбург
Рассматривается задача косвенного определения сходных механизмов токсического воздействия при многофакторной экспозиции токсических веществ. Показано, что применение некоторых комбинаторных и вероятностных утверждений позволяет сформулировать и проверить гипотезу о наличии одинаковых механизмов токсического воздействия для различных наборов компонент многофакторной экспозиции.
Ключевые слова: многофакторное воздействие, изоболы, схема урн, проверка статистических гипотез, полиномиальное распределение.
ON A COMBINATORIAL PROBLEM IN COMPARATIVE TOXICLOGICAL RESEARCH
V.G. Panov, PhD; J.V. Nagrebetskaya, PhD
Institute of Industrial Ecology Ural Branch of RAS, Ural Federal University, Ekaterinburg
The problem of indirect determination of similar mechanisms of toxic effects of multifactorial exposure of toxic substances is considered. It is shown that some combinatorial and probabilistic statements allow us to strictly formulate and test a hypothesis of the existence of identical mechanisms of toxic effects for different sets of multifactorial exposure components.
Key words: multifactorial exposure, isoboles, urn models, statistical hypothesis testing, multinomial distribution
Введение. При проведении полного факторного эксперимента у исследователя имеется информация о воздействии на испытуемый объект любых комбинаций действующих веществ в заданных дозах. Это позволяет не только найти коэффициенты полиномиальной аппроксимации для функции отклика, но и провести сопоставление характера воздействия различных комбинаций действующих агентов. Ниже для определенности мы будем говорить о токсикологическом эксперименте типа 23, т.е. эксперимент с тремя факторами X1, X2, X3, каждый из которых действует на двух уровнях (контроль определяется условием X1 = X2 = X3 = 0; экспонированный уровень i-го фактора кодируется значением Xi = 1).
Среди всех экспериментальных комбинаций действующих веществ (иначе говоря, экспериментальных групп) имеется три бинарных комбинации факторов, а также одна комбинация трех действующих факторов. Для каждой бинарной комбинации при фиксированном уровне третьего фактора имеются полные данные эксперимента типа 22, что позволяет провести построение модели комбинированного действия этих двух факторов при отсутствии третьего агента и на фоне его присутствия. Таким образом, для каждой действующей пары агентов мы можем сопоставить характер комбинированной токсичности этих двух веществ при отсутствии третьего фактора и в его присутствии.
Один из способов такого сопоставления предложен в работе [1] (см. также [2]). Он основан на качественной (экспертной) оценке того, как изменился характер комбинированного действия двух агентов при отсутствии третьего фактора и в его присутствии. А именно, характер (тип) комбинированного действия можно определить по виду изоболограммы, которая сопоставляется паре факторов по данным соответствующего эксперимента 22. Таким образом, необходимо сопоставить две изоболограммы, а вывод можно сформулировать в трехбалльной шкале, относя изменение к классу A, если тип комбинированного действия ухудшился (стал более токсичным) при добавлении третьего агента; классу B, если он улучшился (стал менее токсичным), и к классу C, если можно считать, что он не изменился [1, 2].
В реальных токсикологических экспериментах результаты воздействия, как правило, оцениваются по отклику достаточно большого набора физиологических показателей или характеристик клеточной культуры. Таким образом, для каждой пары действующих веществ мы получим отнесение каждого физиологического показателя в один из трех классов в зависимости от того, как изменился тип комбинированной токсичности при добавлении третьего вещества. Так как токсикокинетические и токсикодинамические механизмы воздействия, как правило, остаются недостаточно известными или совсем неизвестными, то может оказаться полезным косвенное сравнение токсического эффекта бинарных комбинаций без и в присутствии третьего вещества на основании распределения ответов физиологических показателей по классам A, B и С.
Постановка задачи. Пусть в результате проведения эксперимента типа 23 получены данные отклика n показателей, которые для каждой пары действующих веществ классифицированы по классам A, B и C. Можно ли на основании этих данных оценить, является ли механизм воздействия данной пары токсикантов сходным с воздействием другой пары токсикантов?
Формализация задачи. В работе [1] для решения такой задачи было предложено оценивать вероятность того, что число показателей, попавших в один и тот же класс для двух различных пар действующих агентов будет таким же или еще больше, как наблюдается фактически. Точнее, предполагая, что распределение показателей по классам A, B, С для двух данных пар независимо, необходимо оценить вероятность того, что число общих показателей в этих классах будет таким или хуже (больше).
Эту задачу можно сформулировать в рамках задачи о распределении шаров по урнам с различными априорными условиями [3]. Там же приведены выражения для распределений вероятностей и числовых характеристик соответствующих случайных величин. Ниже мы рассмотрим пример, в котором эти выражения будут применены для решения обсуждаемой задачи.
Пример. В полном факторном эксперименте типа 23 рассматривалось совместное воздействие металлов Ni, Mn, Cr (в форме солей NiCl2, KMnO4 и K2Cr2O7) на подопытных животных (крыс) и фиксировались результаты для 30 показателей, относящихся к различным системам организма [1]. Например, для печеночных показателей (церулоплазмин, билирубин, щелочная фосфатаза и др.) получено такое распределение по классам A, B и C девяти специфических для печени показателей:
Табл. 1. Распределение показателей по классам токсического воздействия из работы [1]
|
Действующая |
Классы |
||
|
A |
B |
C |
|
|
Ni + Mn |
2 |
3 |
4 |
|
Ni + Cr |
5 |
1 |
3 |
|
Mn + Cr |
3 |
2 |
4 |
Распределения показателей по классам A, B, С (Табл. 1) показывает, что для действующих пар Ni + Mn и Mn + Cr число элементов в классах A и B различаются на единицу, а в классе С одинаково. Таким образом, можно предположить, что распределение показателей по классам в этих случаях одинаково. Действительно, проверка гипотезы об одинаковом наборе вероятностей, управляющих распределением показателей по классам, для пар Ni + Mn и Mn + Cr выполняется с высокой надежностью (p ≈ 0.9; по критерию χ2).
Вопрос, на который мы пытаемся ответить, звучит следующим образом: можно ли определить, одинаковы ли механизмы токсического воздействия для бинарных экспозиций, зная только распределение показателей по трем классам в описанной выше классификации?
Возможность положительного ответа на этот вопрос основана на том, что мы можем использовать не только количество показателей, попавших в определенный класс для каждой пары агентов, но и то, какие именно показатели попали в эти классы. Например, если для двух различных бинарных комбинаций воздействующих веществ в классы A, B, C попали одни и те же показатели, то мы можем предполагать, что механизмы токсического воздействия в этих случаях были одинаковы. Разумеется, такое рассуждение нельзя считать доказательством факта одинакового механизма воздействия, однако чем больше показателей попало в одни и те же классы, тем более вероятно это предположение.
При независимом распределении показателей по классам количество общих элементов подчиняется распределению, описанному в [3]. Следовательно, для того чтобы проверить, что имеет место возможное наличие общих механизмов в распределении показателей по классам, можно вычислить вероятность такого или большего отклонения от ожидаемых значений для каждой строки Табл. 2.
В рассматриваемом примере, кроме распределения численности показателей по классам (табл. 1) имеем следующее распределение числа показателей, попавших в одинаковые классы:
Табл. 2. Число показателей, попавших в одинаковые классы A, B, C
|
Сопоставляемые |
Классы |
||
|
A |
B |
C |
|
|
Ni + Mn и Ni + Cr |
2 |
1 |
1 |
|
Ni + Cr и Mn + Cr |
3 |
1 |
2 |
|
Mn + Cr и Ni + Mn |
2 |
2 |
3 |
Рассмотрим оценку искомой вероятности для пар Ni + Mn и Mn + Cr. Вопрос состоит в том, можно ли оценить вероятность того, что при случайном размещении показателей по классам (с одними и теми же вероятностями для пар Ni + Mn и Mn + Cr) число общих элементов в классах будет таким, как в табл. 2 или ещё больше? Если такая вероятность будет достаточно большой (например, больше 0.05), то можно говорить о том, что распределение показателей по классам для каждой пары действующих веществ Ni + Mn и Mn + Cr будет происходить независимо. Это можно трактовать как наличие различных механизмов действия на печень каждой из пар Ni + Mn и Mn + Cr, которые приводят к их наблюдаемому распределению по классам A, B, C. Если же такая вероятность окажется маленькой (например, меньше 0.05), то следует предположить, что имеется некий общий механизм, который предопределяет распределение показателей по классам A, B, C при воздействии как пары Ni + Mn, так и пары Mn + Cr.
Ниже все вероятности получены с помощью формул из работы [3].
Как было показано выше, гипотеза о том, что вероятностное распределение показателей по классам A, B, C одинаково, действительно согласуется с имеющимися данными из Табл. 1. Если двукратное размещение показателей по классам происходит независимо (первое размещение соответствует применению пары Ni + Mn, второе – пары Mn + Cr), то среднее значение (математическое ожидание) числа общих показателей для обоих распределений в классах A, B, C будет равно
где в качестве параметров общего полиномиального распределения взяты оценки наибольшего правдоподобия. Так как наблюдаемые значения числа общих показателей для каждого класса больше соответствующих средних значений (см. Табл. 2), то для оценки вероятности того, что мы получили такие или еще большие наблюдаемые значения необходимо вычислить вероятность правого хвоста полиномиального распределения с вероятностями 
. Эту вероятность можно вычислить прямым суммированием вероятностей соответствующих наборов (всего их будет 10) или с использованием представления вероятностей хвостов полиномиального распределения через неполную бета-функцию (см. [4, 5]). В итоге получаем, что вероятность таких же или больших значений для числа общих показателей будет равна 0,0012. Следовательно, можно утверждать, что имеется какой-то общий механизм воздействия пар Ni + Mn и Mn + Cr на печеночные показатели подопытных крыс, который приводит к таким близким значениям в распределениях этих показателей по классам A, B, C.
Обсуждение. В противоположность рассмотренной ситуации может оказаться, что для любой пары действующих веществ гипотеза о независимом воздействии не противоречит экспериментальным данным. Тем не менее, отсюда не следует, что во всех парах независимое воздействие описывается одними и теми же вероятностными параметрами. Эту гипотезу можно проверить по аналогичным формулам из работы [3]. С точки зрения комбинаторики в этом случае будет происходить трехкратное распределение показателей по классам A, B, C.
ЛИТЕРАТУРА
- Some patterns of metallic nanoparticles’ combined subchronic toxicity as exemplified by a combination of nickel and manganese oxide nanoparticles / Katsnelson B.A., Privalova L.I., Sutunkova M.P., Minigalieva I.A., Panov, V.G., Varaksin A.N., Gurvich V.B., Shur V.Y., Shishkina E.V., Valamina I.E., Makeyev O.H.// Food Chem. Toxicol. 2015. V. 86. P. 351–364.
- In vivo toxicity of copper oxide, lead oxide and zinc oxide nanoparticles acting in different combinations and its attenuation with a complex of innocuous bio-protectors / Minigalieva I.A., Katsnelson B.A., Panov V.G., Privalova L.I.., Varaksin A.N., Gurvich V.B., Sutunkova M.P., Shur V.Ya., Shishkina E.V., Valamina I.E., Zubarev I.V., Makeyev O.H., Meshtcheryakova E.Y., Klinova S.V. // Toxicology. 2017. V.380. P. 72–93.
- Panov V.G., Nagrebetskaya J.V. Repeated random allocations with incomplete information // Int. J Pure Appl. Math. 2018. V.118(4). P. 1021–1032.
- Olkin I., Sobel M. Integral expressions for tail probabilities of the multinomial and negative multinomial distributions // Biometrika. 1965. V.52(1/2). P. 167–179.
- Levin B. A representation for multinomial cumulative distribution functions // Ann. Stat. 1981. V. 9(5). P. 1123–1126.
1. Some patterns of metallic nanoparticles’ combined subchronic toxicity as exemplified by a combination of nickel and manganese oxide nanoparticles / Katsnelson B.A., Privalova L.I., Sutunkova M.P., Minigalieva I.A., Panov, V.G., Varaksin A.N., Gurvich V.B., Shur V.Y., Shishkina E.V., Valamina I.E., Makeyev O.H.// Food Chem. Toxicol. 2015. V. 86. P. 351–364.
2. In vivo toxicity of copper oxide, lead oxide and zinc oxide nanoparticles acting in different combinations and its attenuation with a complex of innocuous bio-protectors / Minigalieva I.A., Katsnelson B.A., Panov V.G., Privalova L.I.., Varaksin A.N., Gurvich V.B., Sutunkova M.P., Shur V.Ya., Shishkina E.V., Valamina I.E., Zubarev I.V., Makeyev O.H., Meshtcheryakova E.Y., Klinova S.V. // Toxicology. 2017. V.380. P. 72–93.
3. Panov V.G., Nagrebetskaya J.V. Repeated random allocations with incomplete information // Int. J Pure Appl. Math. 2018. V.118(4). P. 1021–1032.
4. Olkin I., Sobel M. Integral expressions for tail probabilities of the multinomial and negative multinomial distributions // Biometrika. 1965. V.52(1/2). P. 167–179.
5. Levin B. A representation for multinomial cumulative distribution functions // Ann. Stat. 1981. V. 9(5). P. 1123–1126.
