Благовещенск, Амурская область, Россия
УДК 53 Физика
УДК 57 Биологические науки
УДК 61 Медицина. Охрана здоровья
Основной задачей данной работы было построение математической модели тепловлагообмена в дыхательных путях человека. Разработан алгоритм решения задачи, получены и проанализированы основные уравнения.
дыхательные пути, слизистая оболочка, тепловлагообмен, математическая модель, система уравнений
УДК 612.221.4:001.891.573
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ТЕПЛОВЛАГООБМЕНА В ДЫХАТЕЛЬНЫХ ПУТЯХ ЧЕЛОВЕКА (построение)
© 2018. Н.В. Ульянычев2, канд. физ.-мат. наук, В.Ф. Ульянычева1, канд. физ.-мат. наук
1ФГБОУ ВО «Амурский государственный университет»,
2 Дальневосточный научный центр физиологии и патологии дыхания, Благовещенск
Основной задачей данной работы было построение математической модели тепловлагообмена в дыхательных путях человека. Разработан алгоритм решения задачи, получены и проанализированы основные уравнения.
Ключевые слова: дыхательные пути, слизистая оболочка, тепловлагообмен, математическая модель, система уравнений.
A MATHEMATICAL MODEL OF HEAT AND MOISTURE EXCHANGE IN THE RESPIRATORY TRACT OF A HUMAN (MODEL BUILDING)
N.V. Ulyanychev, PhD; V.F. Ulyanycheva, PhD
Amur State University, Blagoveshchensk
Far-Eastern Scientific Center of Physiology and Pathology of Respiration, Blagoveshchensk
The main objective of this work was to build a mathematical model of heat and moisture exchange in the human respiratory tract. There was developed an algorithm for solving the task and there were made and analyzed the basic equations.
Key words: respiratory tract, mucous membrane, heat and moisture exchange, mathematical model, system of equations.
Введение. Процесс тепломассобмена между вдыхаемым воздухом и стенками участков респираторного тракта непосредственно зависит от температуры и влажности окружающей среды, аэродинамики и особенностей слизистой оболочки, обеспечивающих адекватный массоперенос и теплопередачу [19, 20]. Согласно современным представлениям о процессе распределения тепла и влаги в дыхательных путях человека весь дыхательный тракт можно разбить с достаточной степенью приближения на однородные участки [19, 20, 26]. Однородность участков в данном случае означает неизменность ряда физических характеристик на всем протяжении участка. Математически тепломассобмен на таком однородном участке описывается локальной моделью тепловлагообмена.
Локальная модель тепловлагообмена
Однородный участок схематично представлен на рис. 1.
Тепловой поток из крови qB(x) равняется:
qB(x) = kT*(TB – TM(x))/dY; (1)
где kT - коэффициент теплопроводности слизистой; TB – температура крови;
TM(x) - температура поверхности раздела слизистой и воздуха; dY – толщина слизистой.
Тепловой поток из слизистой в результате конвекции qCONV(x) находится как:
qCONV(x) = hC*(TM(x) – TA(x)); (2)
где hC – коэффициент теплопередачи, определяемый по величине числа Нуссельта;
TA(x) – температура воздуха.
Рис. 1. Схема однородного участка тракта (1 – кровь; 2 – слизистая; 3 – воздух.)
На рис. 1 обозначены величины:
TB – температура крови;
CB – концентрация паров воды в крови;
qB – тепловой поток из крови;
dy – толщина слизистой;
TM – температура поверхности раздела слизистой и воздуха;
CM – концентрация паров воды на поверхности раздела слизистой и воздуха;
qL – тепловой поток из слизистой в виде энергии, переносимой испаряющейся влагой;
qCONV – тепловой поток из слизистой в результате конвекции;
v – скорость потока воздуха;
TA – температура воздуха;
CA – концентрация паров воды в воздухе.
В свою очередь поток тепла, переносимый испаряющейся влагой qL равняется:
qL = N(x)*hfg; (3)
где N(x) – массовый поток паров воды от стенки;
hfg – теплота испарения воды.
N(x) зависит от концентрации воды на стенке слизистой и в воздухе:
N(x) = kC*(CM(x) – CA(x)); (4)
где kC – коэффициент массопереноса, вычисляемый с помощью числа Шервуда;
СM(x) – концентрация воды на стенке слизистой;
СA(x) – концентрация воды в воздухе.
В источниках [19, 20] даны формулы вычисления СM(x), полученные методом интерполяции.
В источнике [26] формула вычисления СM(x) основана на зависимости СM(x) от давления паров воды и температуры на поверхности слизистой:
СM(x) = 1,059*PM(x)/(1 + 0,00366*TM(x))/1000; (5)
где PM(x) – давление паров воды непосредственно над слизистой.
В свою очередь давление паров воды зависит от температуры на поверхности слизистой:
PM(x) = 0,459*10-14,04*(100 + TM(x))7,51 ; (6)
Если в данной модели тепловлагообмена на однородном участке пренебречь тем, что тепло может передаваться "наружу" по слизистой, и считать, что тепло передается только с потоком воздуха, то тепловой поток из крови будет равен сумме потока из слизистой qCONV и qL.
Отсюда верным будет соотношение на основании формул (1), (2), (3):
kT*(TB – TM(x))/dY = hC*(TM(x) – TA(x)) + N(x)*hfg; (7)
Кроме этого существуют еще соотношения для концентрации воды в воздухе:
v*dCA/dx = P*kC*(CM(x) – CA(x))/A; (8)
где v – скорость потока воздуха;
P – периметр данного участка дыхательных путей;
A – поперечное сечение участка.
И соотношение для температуры воздуха:
v*dTA/dx = P*[hC*(TM(x) – TA(x)) + + CPW*N(x)*(TM(x) – TA(x))]/(A*p*CPA); (9)
где СPW – теплоемкость воды при постоянном давлении;
p – плотность воздуха;
CPA – теплоемкость воздуха при постоянном давлении.
Уравнения (7), (4), (5), (6), (8), (9) полностью описывают взаимозависимость температуры и влажности слизистой и воздуха и в совокупности представляют собой математическую модель однородного участка дыхательных путей:
На однородном участке величины: TM(x) – температура стенки слизистой, TA(x) – температура воздуха, СM(x) – влажность стенки слизистой, CA(x) – влажность воздуха являются переменными, и задача расчета модели состоит в их получении; все остальные величины - константы, поэтому однородный участок следует выбирать так, чтобы все эти константные величины оставались постоянными. Кроме того, так как система (10) имеет в своем составе дифференциальные уравнения (8) и (9), то для расчета модели необходимо задать начальные значения температуры и влажности воздуха.
Очевидно, что система (10) является нелинейной и не имеет аналитического решения. Поэтому для решения этой системы следует воспользоваться каким – либо численным методом, и получить распределения влажности и температуры воздуха а также распределения влажности и температуры слизистой в виде таблицы значений.
Тепловлагообмен в дыхательном тракте
Дыхательный тракт человека имеет структуру дерева (рис. 2).
Рис. 2 Схема дыхательного тракта человека (1 – разветвление; 2 – трубка; 3, 4, 5, 6 – соответственно 1-я, 2-я, 3-я и 4-я генерации).
Основание этого дерева – трахея, которая разделяется на два бронха, которые в свою очередь разделяются еще на два каждый, и так далее. Каждое разделение называется генерацией и всего их бывает до двадцати трех. В свою очередь, каждый воздухоносный путь (трахея, бронхи) относят к соответствующему поколению воздухоносных путей. Поколения нумеруют от 0 и так далее. Ввиду того, что количество ветвей в каждом поколении удваивается, справедлива формула (11).
n = 2z; (11)
где n – количество ветвей в поколении;
z – номер поколения.
В модели дыхательного тракта человека будем считать, что все ветви в одном поколении имеют одинаковые физические характеристики.
Также физические характеристики ветви будем считать постоянными на всем ее протяжении (кроме величин, считающихся в системе (10) переменными).
Таким образом, ветвь дыхательного тракта будет представлять из себя однородный участок, описываемый системой (10).
Исходя из вышесказанного, отметим, что рассчитав распределения влажности и температуры для одной ветви поколения будем считать эти распределения верными для всех остальных ветвей поколения, то есть мы пренебрегаем различиями физических параметров однородных участков в одном поколении. Это пренебрежение делаем на основании того, что для исследователя важно узнать общую тенденцию, глобальный характер распределения тепла и влаги во всем дыхательном тракте; частные случаи, тепломассобмен на каком-то конкретном участке не важен, поскольку, во-первых, до сих пор не известно, как часто такие различия имеют место, и, во-вторых, не известно, насколько эти различия велики.
Таким образом, полная модель дыхательного тракта человека будет иметь вид, изображенный на рис. 3.
Массовая скорость потока на участке поколения z рассчитывается по формуле:
Vz = 2*Vz-1 * Sz-1/Sz ; (12)
где V – скорость потока на участке;
S – площадь поперечного сечения участка.
Рис. 3. Схема полной модели дыхательного тракта человека (1, 2, 3 – соответственно 1-е, 2-е, 3-е поколения ветвей; 4 – ветви (однородные участки).
Таким образом, если задана массовая скорость потока в первой ветви (у нулевого поколения), то можно последовательно рассчитать массовые скорости для всех последующих поколений.
Из источника [33] известно, что средний диаметр для поколений 2 – 10 подчиняется закону, выраженному с точностью 6%:
dz = dz-1*21/3; (13)
где d – средний диаметр.
При этом диаметры ветвей поколений 0 и 1 превышают те, что они имели бы по этому закону примерно на 50%. Ветви от 11 поколения и дальше также имеют больший диаметр, чем они имели бы по формуле (13).
Также в источнике [33] приведены результаты исследования закономерности зависимости длин ветвей от номера поколения. Формула (14) является зависимостью для поколений 0 – 3 при длине трахеи L0 = const = 12 см.:
L1(z) = L0*e-0,92*z ; (14)
где L – средняя длина.
Формула (15) выражает зависимость длины ветвей от номера поколения для 4 – 10 поколений (здесь L0' = const = 2,5 см.).
L2(z) = L0'*e-0,17*z ; (15)
Для формул (14) и (15) среднее отклонение составляет 6%.
Заключение. Таким образом, построена математическая модель тепловлагообмена в дыхательных путях человека. Получены и проанализированы основные уравнения модели на основе представления дыхательного тракта как бинарного дерева. Способы численного решения существенно нелинейной системы уравнений будут рассмотрены в следующей статье.
ЛИТЕРАТУРА
- Вериго В.В. Системные методы в космической биологии и медицине. М.: Наука, 1987. 212 с.
- Прогресс биологической и медицинской кибернетики / под ред. акад. Л.И.Берга. М.: Медицина, 1974. 482 с.
- Судаков К.В. Функциональные системы организма как объект физиологического анализа // Вестник АМН СССР. 1985. N 3. С. 3-11.
- Лищук В.А., Потемкина И.С. Организация медицинских знаний и обеспечение решений современными алгоритмическими методами // Вестник АМН СССР. 1988. N 8. С. 47-52.
- West J.M., Skytte J. Anatomical modelling with computer aided design // Computers and biomedical research. 1986. Vol. 19. P. 535-542.
- Hanna L.M., Scherer P.W. Measurement of Local Mass Transfer Coefficients in a Cast Model of the Human Upper Respiratory // Biomechanical Engineering. 1986. Vol. 108. P. 12-18.
- Massad E., Engel A.B., and Nicolelis A.L. A Mathematical Model for Spirometry // Computers and biomedical research. 1987. Vol. 20. P. 105-112.
- Moslehi F., Ligas J.R., Pisani M.A. and Epstein M.A.F. The unsteady form of the Bernoulli eguation for estimating pressure drop in the airways // Respiration Physiology. 1989. Vol. 76. P. 319-326.
- Elad D., Kamm R.D., and Shapiro A.H. Mathematical simulation of forced expiration // J. Appl. Physiol. 1988. Vol. 65 (1). P. 14-25.
- Wilson T.A., Fredberg J.J., Rodarte J.R. and Hyatt R.E. Interdependence of regional expiratory flow // J. Appl. Physiol. 1985. Vol. 59. P. 1924-1928.
- Humphrey J.D. A possible role of the pleura in lung mechanics // J. Biomechanics. 1987. Vol. 20, N. 8. P. 773-777.
- Sprigings E.J. Simulation of the force enhancement phenomenon in muscle // Comput. Biol. Med. 1986. Vol. 16. N. 6. P. 423-430.
- Bean J.C., Chaffin D.B. and Schultz A.B. Biomechanical model calculation of muscle contraction forces: a double linear programming method // J. Biomechanics. 1988. Vol. 21. N. 1. P. 59-66.
- Kelman G.R. Digital computer subroutine for the conversion oxygen tension into saturation // J. Appl. Physiol. 1966. Vol.21. P. 1375-1376.
- Kelman G.R. Digital computer procedure for the conversion of PCO2 into blood CO2 content // Resp. Physiol. 1967. Vol.3. P. 111-115.
- Gronlund J., Garby L., Lorenzen A.G. and Carter A.M. An improved algorithm and a computer program for the analysis of capillary gas exchange // Acta Physiol Scand. 1986. Vol. 126. P. 259-270.
- Peterman B.F., Longtin A. Multicompartment model of lung dynamics // Computers and Biomedical Research. 1984. Vol. 17. P. 580-589.
- Paiva M., Engel L.A. Model analysis of intra-acinar gas exchange // Resp. Physiol. 1985. Vol. 62. P. 257-272.
- Hanna L.M., Scherer P.W. A theoretical model of localized heat and water vapor transport in human respiratory tract // Asme Journal of Biomeechanical Engineering. 1986. V. 108. P. 19-27.
- Hanna L.M., Scherer P.W. Regional control of local airway heat and water vapor losses // J. Appl. Phisiol. 1986. V. 61. P. 624-632.
- Любимов Г.А., Скобелева И.М. Влияние физических параметров легких на форму кривой поток-обьем форсированного выдоха // Физиология человека. 1992. Т. 18. С. 32-42.
- Гродинз Ф. Теория регулирования и биологические системы. М.: Мир, 1966. 234 с.
- Computer and control in clinical medicine / Ed. by E.R.Carson and D.G.Cramp. New York: Plenum Press, 1985. 263 p.
- Rummel J.A. Integrated simulation of multiple physiological systems in the space life sciences: Report of Johnson Space Center NASA. Houston. 1979. 70p.
- Шабельников В.Г., Дьяченко А.И., Вериго В.В. Возможности оценки силы тяжести на легочное кровообращение по показателям газообмена // Моделирование систем в биологии и медицине. Прага: ЧСНТО, 1980. Т. 8. С. 240.
- Ульянычев Н.В. Модель внешнего дыхания человека. Благовещенск, 1990. 57с.
- Дьяченко А.И., Шабельников В.Г. Математические модели действия гравитации на функции легких. М.: Наука, 1985. 274с.
- Шик Л.Л., Токарева Е.М. Количественный анализ зависимости артериализации крови от неравномерности вентиляционно-перфузионных отношений // Бюлл. экспер. биол. и мед. 1980. Т.89. С. 267-263.
- Macklem P.T. Action of the diaphragm on the rib cage // Proc. 28-th Int. Congr. Phisiol. Sci. Budapest. 1981. V. 10. P. 47-61.
- Rochester D.F. The diaphragm: Contractile properties and fatique // J. Clin. Invest. 1985. V. 75. P. 1397-1402.
- Любимов Г.А. Механика органов дыхания // Биомеханика кровообращения, дыхания и биологических тканей. Рига: Зинатне. 1981. С. 109-120.
- Drazen J.M. Physiological basis and interpretation of indices of pulmonary mechanics // Environ. Health Persp. 1984. V. 56. P. 3-9.
- Вейбель Э. Р. Морфометрия легких человека / пер. с англ. Н. Н. Вольберг. М.:1970. С. 174.
- Турчак Л.И. Основы численных методов: Учеб. пособие. М.: Наука. Гл. ред. физ-мат. лит., 1987. 320с.
- Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2000. 624 с.: ил.
- Мак-Кракен Д., Дорн У. Численные методы и программирование на фортране. М.: Мир, 1977. 584с.
- Hull T. E., Greemer A. L. Efficiency of predictor – corrector procedures. Houston. 1963. 412 с.
- Ralston and Wilf, Mathematical methods for digital computers, Wiley, 1960, ch. 9.
- Вержбицкий В.М. Численные методы (линейная алгебра и нелинейные уравнения): Учеб. пособие для вузов. М.: Высш. шк., 2000. 266с.: ил.
- Методы программирования. Учебное пособие. 2-ое издание / под ред. др. ф-м. наук Г.А.Угольницкого. М.: Вузовская книга, 2000. 280 с.
- Прата Стивен Язык программирования С. Лекции и упражнения: пер. с англ./ Стивен Прата К.: Издательство "ДиаСофт", 2000. 432 с.
1. Вериго В.В. Системные методы в космической биологии и медицине. М.: Наука, 1987. 212 с.
2. Прогресс биологической и медицинской кибернетики / под ред. акад. Л.И.Берга. М.: Медицина, 1974. 482 с.
3. Судаков К.В. Функциональные системы организма как объект физиологического анализа // Вестник АМН СССР. 1985. N 3. С. 3-11.
4. Лищук В.А., Потемкина И.С. Организация медицинских знаний и обеспечение решений современными алгоритмическими методами // Вестник АМН СССР. 1988. N 8. С. 47-52.
5. West J.M., Skytte J. Anatomical modelling with computer aided design // Computers and biomedical research. 1986. Vol. 19. P. 535-542.
6. Hanna L.M., Scherer P.W. Measurement of Local Mass Transfer Coefficients in a Cast Model of the Human Upper Respiratory // Biomechanical Engineering. 1986. Vol. 108. P. 12-18.
7. Massad E., Engel A.B., and Nicolelis A.L. A Mathematical Model for Spirometry // Computers and biomedical research. 1987. Vol. 20. P. 105-112.
8. Moslehi F., Ligas J.R., Pisani M.A. and Epstein M.A.F. The unsteady form of the Bernoulli eguation for estimating pressure drop in the airways // Respiration Physiology. 1989. Vol. 76. P. 319-326.
9. Elad D., Kamm R.D., and Shapiro A.H. Mathematical simulation of forced expiration // J. Appl. Physiol. 1988. Vol. 65 (1). P. 14-25.
10. Wilson T.A., Fredberg J.J., Rodarte J.R. and Hyatt R.E. Interdependence of regional expiratory flow // J. Appl. Physiol. 1985. Vol. 59. P. 1924-1928.
11. Humphrey J.D. A possible role of the pleura in lung mechanics // J. Biomechanics. 1987. Vol. 20, N. 8. P. 773-777.
12. Sprigings E.J. Simulation of the force enhancement phenomenon in muscle // Comput. Biol. Med. 1986. Vol. 16. N. 6. P. 423-430.
13. Bean J.C., Chaffin D.B. and Schultz A.B. Biomechanical model calculation of muscle contraction forces: a double linear programming method // J. Biomechanics. 1988. Vol. 21. N. 1. P. 59-66.
14. Kelman G.R. Digital computer subroutine for the conversion oxygen tension into saturation // J. Appl. Physiol. 1966. Vol.21. P. 1375-1376.
15. Kelman G.R. Digital computer procedure for the conversion of PCO2 into blood CO2 content // Resp. Physiol. 1967. Vol.3. P. 111-115.
16. Gronlund J., Garby L., Lorenzen A.G. and Carter A.M. An improved algorithm and a computer program for the analysis of capillary gas exchange // Acta Physiol Scand. 1986. Vol. 126. P. 259-270.
17. Peterman B.F., Longtin A. Multicompartment model of lung dynamics // Computers and Biomedical Research. 1984. Vol. 17. P. 580-589.
18. Paiva M., Engel L.A. Model analysis of intra-acinar gas exchange // Resp. Physiol. 1985. Vol. 62. P. 257-272.
19. Hanna L.M., Scherer P.W. A theoretical model of localized heat and water vapor transport in human respiratory tract // Asme Journal of Biomeechanical Engineering. 1986. V. 108. P. 19-27.
20. Hanna L.M., Scherer P.W. Regional control of local airway heat and water vapor losses // J. Appl. Phisiol. 1986. V. 61. P. 624-632.
21. Любимов Г.А., Скобелева И.М. Влияние физических параметров легких на форму кривой поток-обьем форсированного выдоха // Физиология человека. 1992. Т. 18. С. 32-42.
22. Гродинз Ф. Теория регулирования и биологические системы. М.: Мир, 1966. 234 с.
23. Computer and control in clinical medicine / Ed. by E.R.Carson and D.G.Cramp. New York: Plenum Press, 1985. 263 p.
24. Rummel J.A. Integrated simulation of multiple physiological systems in the space life sciences: Report of Johnson Space Center NASA. Houston. 1979. 70p.
25. Шабельников В.Г., Дьяченко А.И., Вериго В.В. Возможности оценки силы тяжести на легочное кровообращение по показателям газообмена // Моделирование систем в биологии и медицине. Прага: ЧСНТО, 1980. Т. 8. С. 240.
26. Ульянычев Н.В. Модель внешнего дыхания человека. Благовещенск, 1990. 57с.
27. Дьяченко А.И., Шабельников В.Г. Математические модели действия гравитации на функции легких. М.: Наука, 1985. 274с.
28. Шик Л.Л., Токарева Е.М. Количественный анализ зависимости артериализации крови от неравномерности вентиляционно-перфузионных отношений // Бюлл. экспер. биол. и мед. 1980. Т.89. С. 267-263.
29. Macklem P.T. Action of the diaphragm on the rib cage // Proc. 28-th Int. Congr. Phisiol. Sci. Budapest. 1981. V. 10. P. 47-61.
30. Rochester D.F. The diaphragm: Contractile properties and fatique // J. Clin. Invest. 1985. V. 75. P. 1397-1402.
31. Любимов Г.А. Механика органов дыхания // Биомеханика кровообращения, дыхания и биологических тканей. Рига: Зинатне. 1981. С. 109-120.
32. Drazen J.M. Physiological basis and interpretation of indices of pulmonary mechanics // Environ. Health Persp. 1984. V. 56. P. 3-9.
33. Вейбель Э. Р. Морфометрия легких человека / пер. с англ. Н. Н. Вольберг. М.:1970. С. 174.
34. Турчак Л.И. Основы численных методов: Учеб. пособие. М.: Наука. Гл. ред. физ-мат. лит., 1987. 320с.
35. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2000. 624 с.: ил.
36. Мак-Кракен Д., Дорн У. Численные методы и программирование на фортране. М.: Мир, 1977. 584с.
37. Hull T. E., Greemer A. L. Efficiency of predictor – corrector procedures. Houston. 1963. 412 с.
38. Ralston and Wilf, Mathematical methods for digital computers, Wiley, 1960, ch. 9.
39. Вержбицкий В.М. Численные методы (линейная алгебра и нелинейные уравнения): Учеб. пособие для вузов. М.: Высш. шк., 2000. 266с.: ил.
40. Методы программирования. Учебное пособие. 2-ое издание / под ред. др. ф-м. наук Г.А.Угольницкого. М.: Вузовская книга, 2000. 280 с.
41. Прата Стивен Язык программирования С. Лекции и упражнения: пер. с англ./ Стивен Прата К.: Издательство "ДиаСофт", 2000. 432 с.
