сотрудник
Макеевка, Украина
сотрудник
Севастополь, Россия
сотрудник
Макеевка, Украина
BISAC MAT007020 Differential Equations / Partial
В статье изложено новое видение процесса аппроксимации решения дифференциальных уравнений, основанных на построении геометрических объектов многомерного пространства, инцидентных узловым точкам, получившим название геометрических интерполянтов, которые обладают наперёд заданными дифференциальными характеристиками, соответствующими исходному дифференциальному уравнению. Условие инцидентности геометрического интерполянта узловым точкам обеспечивается особым способом построения дерева геометрической модели, полученной на основе метода подвижного симплекса, и использованием специальных дуг алгебраических кривых, полученных на основе полиномов Бернштейна. Разработан принципиальный вычислительный алгоритм решения дифференциальных уравнений на основе геометрических интерполянтов многомерного пространства, включающий выбор и аналитическое описание геометрического интерполянта, его покоординатный расчёт и дифференцирование, подстановку значений параметров узловых точек и решение системы линейных алгебраических уравнений. Предложенный метод использован на примере решения неоднородного уравнения теплопроводности с линейным лапласианом, для аппроксимации которого используется 16-точечный 2-параметрический интерполянт. Оценка точности аппроксимации была выполнена с помощью научной визуализации путём наложения полученной поверхности на поверхность эталонного решения, полученного на основе метода разделения переменных. В результате установлено практически полное совпадение аппроксимационного решения с эталонным. При этом дальнейшее использование полученного аппроксимационного решения в виде полиномиальной функции является более предпочтительным для инженерно-технических расчётов, по сравнению с уравнением, полученным методом разделения переменных. Получено обобщение предложенного решения неоднородного уравнения теплопроводности для лапласиана более высокой размерности. При этом вычислительный алгоритм решения остаётся неизменным, увеличивается только размерность геометрического интерполянта и количество уравнений покоординатного расчёта. Предложенный метод аппроксимации может быть эффективно обобщён не только в сторону увеличения размерности пространства, но и в сторону увеличения порядка исходного дифференциального уравнения. При этом как инструмент аппроксимации для обеспечения необходимой точности возможно использование не только кривых, проходящих через наперёд заданные точки, полученных на основе полинома Бернштейна, но и обводов необходимого порядка гладкости.
многомерная аппроксимация, многомерная интерполяция, геометрический интерполянт, уравнение теплопроводности, дифференциальные уравнения
1. Konopatskiy E.V. The solution of differential equations by geometric modeling methods. Proceedings of the 28th International Conference on Computer Graphics and Machine Vision GraphiCon 2018. September 24-27, 2018. Tomsk: TPU, 2018. pp. 322-325.
2. Konopatskiy E.V. Modeling an approximating 16-point compartment of the response surface as applied to solving the inhomogeneous heat equation. Geometry and Graphics. – Moscow: Infra-M, 2019. Vol. 7. No. 2. pp. 38-45. DOI: 10.12737/article_5d2c1a551a22c5.12136357.
3. Konopatskiy E.V. An approach to the construction of geometric models of multifactorial processes of multidimensional interpolation. Software Engineering. Moscow: 2019. Vol.10. No. 2. pp. 77-86.
4. Konopatskiy E.V. The principles of building computer models of multifactor processes by the method of multidimensional interpolation. Proceedings of the II International Scientific and Practical Conference: “Software Engineering: Methods and Technologies for the Development of Information and Computing Systems” (November 14-15, 2018). Donetsk: DonNTU, 2018. pp. 277-287.
5. Konopatskiy E.V. Geometric modeling and optimization of multifactor processes by the method of multidimensional interpolation. Proceedings of the International scientific conference on physical and technical informatics CPT2018 (May 28-31, 2018). Moscow-Protvino, 2018. pp.299-306.
6. Balyuba I.G. Constructive geometry of manifolds in point calculus: dis. ... Dr. tech. Sciences: 05.01.01. I.G. Balyuba. Makeevka, 1995. 227 p.
7. Balyuba I.G., Naidysh V.M. Point calculus. Melitopol: Melitopol State Pedagogical University named after B. Khmelnitsky, 2015. 236 p.
8. Bumaga A.I., Konopatskiy E.V., Krysko A.A., Chernisheva O.A. Introduction to the mathematical apparatus of BN-calculus. Materials of the VII International Scientific and Practical Internet Conference "Problems of the quality of graphic preparation of students in a technical university: traditions and innovations." Perm: PNIPU, 2017. Issue. 4. pp. 76-82.
9. Konopatskiy E.V. Modeling of arcs of curves passing through predetermined points. Bulletin of computer and information technology. Moscow: 2019. No. 2. pp. 30-36. DOI: 10.14489/vkit.2019.02.pp.030-036.
10. Konopatskiy E.V., Bezditnyi A.A. Geometric modeling and optimization of multidimensional data in Radischev integrated drawing. IoP conference series: Journal of Physics: Conf. Series 1260 (2019) 072006. – DOI: 10.1088/1742-6596/1260/7/072006.
11. Konopatskiy E.V., Bumaga A.I., Krysko A.A., Voronova O.S. Geometric modeling and optimization of physico-mechanical properties of tar polymer. Information technologies in design and production. Moscow: Compass, 2019. No.1(173). pp. 20-24.
12. Voronova O.S., Konopatskiy E.V. Geometric modeling of the parameters of the physical state of water and water vapor. Bulletin of cybernetics. Surgut: Surgut State University, 2019. No. 1 (33) 2019. pp. 29-38.
13. Chuprov I.F., Kaneva E.A., Mordvinov A.A. The equations of mathematical physics with applications to the problems of oil production and pipeline transport of gas: Textbook. Ukhta: USTU, 2004. 128 p.
14. Konopatskiy E.V. Principles of modeling multi-factor processes with a large amount of input data. Information technology in design and production. Moscow: Compass, 2018. No.4(172). pp. 20-25.
15. Figueira G., Almada-Lobo B. Hybrid simulation-optimization methods: A taxonomy and discussion. Simulation Modelling Practice and Theory. 2014. Vol. 46. pp. 118-134.
16. Foster I., Zhao Y., Raicu I., Lu S. Cloud Computing and Grid Computing 360-Degree Compared // eprint arXiv: 0901.0131, 2008 http://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/0901/0901.0131.pdf
17. Gallopoulos E.N. Houstis and J.R. Rice, «Computer as Thinker/Doer: Problem-Solving Environments for Computational Science» IEEE Computational Science & Eng., Vol. 1, No. 2, Summer 1994. pp. 11-23.
18. Szalay A. Extreme data-intensive scientific computing. Computing in Science & Engineering, 2011. Vol. 13. No 6. pp. 34-41.
19. Zadeh L. Fuzzy logic, neural networks and soft computing. Соmmutation on the ASM-1994. Vol.37. No 3. рр.77-84.
20. Voloshinov D.V. Constructive geometric modeling: theory, practice, automation. Saarbrucken: Lambert Academic Publishing, 2010. 355 p.
21. Voloshinov D.V., Solomonov K.N. Constructive geometric modeling as a perspective for teaching graphic disciplines. Geometry and graphics, 2013. Vol. 1. No. 2. pp. 10-13.
22. Gerget O.M. Bionic models for identification of biological systems. Journal of Physics: Conference Series, 2017. Vol. 803. No. 1. pp. 12-24.
23. Zakharova A.A., Korostelyov D.A., Fedonin O.N. Visualization Algorithms for Multi-criteria Alternatives Filtering (2019). Scientific Visualization 11.4: 66-80, DOI: 10.26583/sv.11.4.06.
24. Zakharova, A., Shklyar, A. Basic principles of data visual models construction, by the example of interactive systems for 3D visualization (2014) Scientific Visualization, 6 (2), pp. 62-73.
25. Zakharova, A.A., Nebaba, S.G., Zavyalov, D.A. Algorithms and Software Increasing the Efficiency of Processing Multidimensional Heterogeneous Data. Programming and Computer Software, 2019. 45 (4). pp. 196-201. doi: 10.1134/S0361768819040108.
26. Filinskikh A.D., Merzlyakov I.N. Assessment of geometric models based on the structure of their parameters. Information measuring and control systems, 2015. Vol. 13. No. 3. pp. 69–74.
27. Bondarev A.E, Galaktionov V.A. Parametric Optimizing Analysis of Unsteady Structures and Visualization of Multidimensional Data. International Journal of Modeling, Simulation and Scientific Computing, 2013. Vol. 04, No. 01, 13 p., DOI 10.1142/S1793962313410043.
28. Bondarev A.E. On visualization problems in a generalized computational experiment (2019). Scientific Visualization 11.2: 156-162. DOI: 10.26583/sv.11.2.12.
29. Bondarev A.E., Galaktionov V.A. Construction of a generalized computational experiment and visual analysis of multidimensional data. CEUR Workshop Proceedings, Vol. 2485, 2019, pp. 117-121. DOI: 10.30987/graphicon-2019-2-117-121.
30. Alekseev A.K., Bondarev A.E. Estimation of the Distance between True and Numerical Solutions. Computational mathematics and mathematical physics, 2019. Vol. 59. No. 6. pp. 857-863. DOI: 10.1134/S0965542519060034.
