экспериментальное исследование устойчивости линейных САУ, исследование влияния параметров системы на устойчивость, определение критического передаточного коэффициента разомкнутой системы.
линейные САУ, устойчивость, критический передаточный коэффициент
Структурная схема системы управления уровнем жидкости в резервуаре (рисунок 1).
Рисунок 1 – Структурная схема системы управления уровнем жидкости в резервуаре
Исследуем выполнение необходимого условия устойчивости Рауса по коэффициентам характеристического полинома замкнутой системы.
num1=[10];den1=[1 1];
sys1=tf(num1,den1);
[num2,den2]=pade(1,2);
sys2=tf(num2,den2);
num3=[4];den3=[38.4 1];
sys3=tf(num3,den3);
num4=[1];den4=[1/9 1/3 1];
sys4=tf(num4,den4);
sys5=series(sys1,sys2);
sys6=series(sys5,sys3);
syss=feedback(sys6,sys4,-1);
syssm=minreal(syss)
Для того чтобы вещественные части всех корней характеристического уравнения были отрицательны, необходимо и достаточно, чтобы все элементы первого столбца таблицы Рауса были отличны от нуля и имели один и тот же знак [1].
Таблица 1. Таблица Рауса
…
…
…
…
Исходя из критерия устойчивости Рауса, для устойчивости линейной стационарной системы необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты первого столбца таблицы Рауса были положительными. Коэффициенты первого столбца Рауса не все являются положительными. Таким образом, система является неустойчивой.
Определение устойчивости по корням характеристического уравнения замкнутой системы
Определим устойчивость по корням характеристического уравнения замкнутой системы на основе теоремы А.М.Ляпунова.
num1=[10];den1=[1 1];
sys1=tf(num1,den1);
[num2,den2]=pade(1,2);
sys2=tf(num2,den2);
num3=[4];den3=[38.4 1];
sys3=tf(num3,den3);
num4=[1];den4=[1/9 1/3 1];
sys4=tf(num4,den4);
sys5=series(sys1,sys2);
sys6=series(sys5,sys3);
syss=feedback(sys6,sys4,-1);
syssm=minreal(syss);
p=pole(syssm)
p =
-3.7261 + 1.9846i
-3.7261 - 1.9846i
-1.3370 + 3.0242i
-1.3370 - 3.0242i
0.0501 + 0.7676i
0.0501 - 0.7676i
Согласно теореме А.М. Ляпунова, когда среди корней (характеристического уравнения) определяющего уравнения находятся такие, вещественные части которых положительные, невозмущенное движение неустойчиво. Таким образом, замкнутая система неустойчива.
Примените критерий устойчивости Гурвица или Рауса для исследования устойчивости системы, если передаточная функция замкнутой системы известна
m6=[10.02 130.1 56 0 0 0;1 48.22 210.3 115.2 0 0;0 10.02 130.1 56 0 0;0 1 48.22 210.3 115.2 0;0 0 10.02 130.1 56 0;0 0 1 48.262 210.3 115.2]
delta6=det(m6)
m6 =
10.0200 130.1000 56.0000 0 0 0
1.0000 48.2200 210.3000 115.2000 0 0
0 10.0200 130.1000 56.0000 0 0
0 1.0000 48.2200 210.3000 115.2000 0
0 0 10.0200 130.1000 56.0000 0
0 0 1.0000 48.2620 210.3000 115.2000
delta6 = -1.1077e+10
Согласно критерию Гурвица, необходимо и достаточно, чтобы при положительном коэффициенте характеристического уравнения α0 главный определитель Гурвица и все его диагональные миноры должны быть положительными. Соответственно, система неустойчива [2].
Критерий устойчивости Найквиста для АФХ разомкнутой системы
num1=[10];den1=[1 1];
sys1=tf(num1,den1);
[num2,den2]=pade(1,2);
sys2=tf(num2,den2);
num3=[4];den3=[38.4 1];
sys3=tf(num3,den3);
num4=[1];den4=[1/9 1/3 1];
sys4=tf(num4,den4);
sys5=series(sys1,sys2);
sys6=series(sys5,sys3);
sys7=series(sys6,sys4);
%
nyquist(sys7)
Рисунок 2 – График амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы
Согласно критерию устойчивости Найквиста, для АФХ разомкнутой системы, данная система неустойчива, так как амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы охватывает точку (-1, j0).
1. Теория автоматического управления: Учеб. для вузов по спец. «Автоматика и телемеханика». В 2-х ч. Ч. I. Теория линейных систем автоматического управления / Н. А. Бабаков, А. А. Воронов, А. А. Воронова и др.; Под ред. А. А. Воронова.—2-е изд., перераб. и доп. — М.: Высш. шк., 1986.
2. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. М.: Наука, 1972
Авторы: Байрамова Айгюн Сеймур кызы
