A problem on critical loads of the compressed rectangular plate containing continuously distributed sources of inherent stress is considered. The task analysis is based on the modification of the Karman nonlinear equations system for large deflections of elastic plates with dislocations and disclinations under different boundary conditions. By the introduction of a replacement for the stress function, the problem reduces to the treatment of two tasks: a linear boundary value problem concerning the stress function caused by internal sources and a system of nonlinear equations concerning the deflection and the stress function caused by external compressive loads, which possesses a trivial solution. The classical critical load is defined as the smallest eigenvalue of the linear boundary value problem obtained by the linearization of the nonlinear equations system relative to the trivial solution. Four types of boundary conditions are treated: all edges are variably restrained; all edges are simply supported; two opposite edges are stress-free, and the other two are either variably restrained or simply supported. Uniformly distributed compressive loads are equal on the opposite edges. It is established that if the measure of inconsistency is odd on one variable and odd or even on another variable, then the stresses caused only by internal sources, do not lead to the loss of the flat equilibrium state and do not affect the critical values of compressive loads.
elastic plate, dislocations and disclinations, critical load.
В работе Л. М. Зубова [1] на основе уравнений Кармана построена система нелинейных уравнений равновесия упругих пластин, содержащих внутренние источники напряжений, вызванных дислокациями и дисклинациями. Рассмотрена задача об изгибе мембраны вследствие релаксации вызванных дефектами внутренних напряжений, которая сведена к уравнению Монжа-Ампера. Найдено несколько точных решений о форме поверхности мембраны, содержащей распределенные дисклинации. В [2] рассмотрена задача о влиянии внутренних напряжений на прогибы и напряженное состояние круглой упругой пластины, испытывающей поперечное давление. Установлено, что наличие дисклинаций приводит к нелинейному увеличению прогиба. Исследованы задачи об устойчивости и послекритическом поведении нагруженной контурным давлением круглой пластины с непрерывно распределенными дисклинациями. Найдены вызванные дисклинациями осесимметричные закритические формы изгиба пластинки, которые существуют при отсутствии внешней нагрузки. Установлено, что при переходе пластинки из плоского состояния в изогнутую форму уменьшается величина внутренних напряжений.
В работе В. А. Треногина [3] был развит метод Ляпунова–Шмидта в операторной форме для нелинейных уравнений в банаховых пространствах. В работе [4] Л. С. Срубщик и В. А. Треногин исследовали задачу о влиянии малой поперечной нагрузки на выпучивание и послекритическое поведение пластины произвольной формы под действием параллельных осям координат сжимающих краевых усилий.
В работе Рейсснера [5] рассмотрена задача о влиянии нелинейно-упругого основания на выпучивание и начальное послекритическое поведение безмоментного плоско-напряженного состояния в случае бесконечной пластины с малыми геометрическими несовершенствами, а в случае тонкой сжатой пластины строго выпуклой формы со свободным краем при дополнительном действии малой поперечной нагрузки эта задача решена Л. С. Срубщиком [6]. В работах [7, 8] исследована задача о влиянии малой поперечной нагрузки на послекритическое поведение прямоугольной гибкой пластины, лежащей на нелинейно-упругом основании и равномерно сжатой в продольном направлении, а в [9] эта же задача рассмотрена для пластины с дислокациями и дисклинациями. С помощью операторного метода Ляпунова–Шмидта определено количество решений, соответствующих новым формам равновесий, и для каждого из них строятся асимптотические представления.
1. Zubov, L.М. Uravneniya Karmana dlya uprugoy plastinki s dislokatsiyami i disklinatsiyami. [Karman equations for an elastic plate with dislocations and disclinations.] Doklady Akademii Nauk, 2007, vol. 412, no. 3, pp. 343–346 (in Rus-sian).
2. Zubov, L.М., Pham Thu Huong. Sil´nyy izgib krugloy plastinki s nepreryvno raspredelennymi disklinatsiyami. [Strong bending of circular plate with continuously distributed disclinations.] Izvestiya vuzov. Severo-Kavkazskiy region. Natural Sciences. 2010, no. 4, pp. 28–33 (in Russian).
3. Trenogin, V.А. Razvetvlenie resheniy nelineynykh uravneniy v banakhovom prostranstve. [Branching of so-lutions of non-linear equations in Banach space.] Russian Mathematical Surveys, 1958, vol. 13, iss. 4 (in Russian).
4. Srubshchik, L.S., Trenogin, V.А. O vypuchivanii gibkikh plastin. [On buckling of flexible plates.] Journal of Ap-plied Mathematics and Mechanics, 1968, vol. 32, iss. 4, pp. 721–727 (in Russian).
5. Reissner E. On Postbuckling Behavior and imperfection sensitivity of Thin Elastic Plates on a Non-linear Elastic Foundation. Studies in Appl. Math., 1970, vol. XLIX, no. 1, pp. 45–57.
6. Srubshchik, L.S. Kraevoy effekt i vypuchivanie tonkikh plastin na nelineyno-uprugom osnovanii. [The edge effect and buckling of thin plates on nonlinear elastic foundation.] Differential Equations, 1985, vol. XXI, no. 10, pp.1790–1794 (in Russian).
7. Peshkhoev, I.M. Srubshchik, L.S Vypuchivanie i poslekriticheskoe povedenie szhatoy pryamougol´noy plastiny na nelineyno-uprugom osnovanii. [Buckling and post critical behavior of compressed rectangular plate on nonlinear elastic foundation.] Rostov-on-Don, 1983, 17 p. Dep. in VINITI 07.83, no. 4037–83 (in Russian).
8. Baul, А.V., Peshkhoev, I.M., Srubshchik, L.S Vliyanie nachal´nykh nesovershenstv na vypuchivanie prodol´no szhatykh pryamougol´nykh tsilindricheskikh paneley i plastin. [Influence of initial imperfections on the buckling of longitudi-nally compressed rectangular cylindrical panels and plates.] Izvestiya vuzov. Severo-Kavkazskiy region. Natural Sciences.1986, no. 1, pp. 34–37 (in Russian).
9. Peshkhoev, I.M. Vetvlenie ravnovesiy szhatoy uprugoy pryamougol´noy plastiny s dislokatsiyami i disklinatsiyami. [Branching of equilibria of compressed elastic rectangular plate with dislocations and disclinations.] XI vse-rossiyskiy s´´ezd po fundamental´nym problemam teoreticheskoy i prikladnoy mekhaniki, sb. dokl., Kazan´, 20 – 24 avgusta 2015 g. [Proc. XI All-Russian Congress on fundamental issues of Theoretical and Applied Mechanics, Kazan, 20 -. 24 August, 2015] pp. 2989–2991 (in Russian).
10. Timoshenko, S.P., Voynovsky-Krieger, S. Plastinki i obolochki. [Plates and shells.] Moscow: Fizmatgiz, 1966, 636 p. (in Russian).
11. Vorovich, I.I. Matematicheskie problemy nelineynoy teorii pologikh obolochek. [Mathematical problems of non-linear shallow-shell theory.] Moscow: Nauka, 1989, 376 p. (in Russian).
12. Morozov, N.F. K nelineynoy teorii tonkikh plastin. [On nonlinear theory of thin plates.] Doklady AN SSSR, 1957, vol. 114, no. 5, pp. 968–671 (in Russian).
13. Weinberg, М.М., Trenogin, V.А. Teoriya vetvleniya resheniy nelineynykh uravneniy. [Theory of branching of nonlinear equation solutions] Moscow: Nauka, 1969, 528 p. (in Russian).
14. Peshkhoev, I.M. Asimptotika i vetvlenie ravnovesiy szhatykh uprugikh pryamougol´nykh plastin i sterzhney na nelineyno uprugom osnovanii: dissert. … k-ta fiz.-mat. nauk. [Asymptotics and branching of equilibria of compressed elastic rectangular plates and rods on nonlinear elastic foundation: Cand.Sci. (Phys.-Math.) diss.]. Rostov-on-Don, 1991, 146 p. (in Russian).
15. Mikhlin, S.G. Variatsionnye metody v matematicheskoy fizike. [Variational methods in mathematical physics] Moscow: Naukа, 1970, 512 p. (in Russian).
16. Bauer, L., Reiss, E. Block five diagonal matrices and the fast numerical solution of the biharmonic equation. Math. Comput., 1972, vol. 26, 118, pp. 311–326.
