Рассматривается задача о критических нагрузках сжатой пря-моугольной пластины, содержащей непрерывно распределенные источники собственных напряжений. Анализ задачи проводится на основе модификации системы нелинейных уравнений Кармана для больших прогибов упругих пластин с дисло-кациями и дисклинациями с различными вариантами краевых условий. Введением замены для функции напряжений задача сводится к исследованию двух задач: линейной краевой задачи относительно функции напряжений, вызванных внутренними источниками и системы нелинейных уравнений относительно прогиба и функции напряжений, вызванных внешними сжимающими нагрузками, которая имеет тривиальное решение. Классическая критическая нагрузка определяется как наименьшее собственное значение линейной краевой задачи, полученной линеаризацией системы нелинейных уравнений относительно тривиального решения. Рассматриваются четыре типа краевых условий: все края подвижно защемлены; все края шарнирно оперты; два противоположных края свободны от напряжений, а два других подвижно защемлены или шарнирно оперты. Равномерно распределенные сжимающие нагрузки одинаковы на противоположных краях. Установлено, что если мера несовместности является нечетной по одной переменной и четной или нечетной по другой переменной, то напряжения, вызванные только внутренними источниками, не приводят к потере устойчивости плоского равновесного состояния и не влияют на критические значения сжимающих нагрузок.
упругая пластина, дислокации и дисклинации, критическая нагрузка.
В работе Л. М. Зубова [1] на основе уравнений Кармана построена система нелинейных уравнений равновесия упругих пластин, содержащих внутренние источники напряжений, вызванных дислокациями и дисклинациями. Рассмотрена задача об изгибе мембраны вследствие релаксации вызванных дефектами внутренних напряжений, которая сведена к уравнению Монжа-Ампера. Найдено несколько точных решений о форме поверхности мембраны, содержащей распределенные дисклинации. В [2] рассмотрена задача о влиянии внутренних напряжений на прогибы и напряженное состояние круглой упругой пластины, испытывающей поперечное давление. Установлено, что наличие дисклинаций приводит к нелинейному увеличению прогиба. Исследованы задачи об устойчивости и послекритическом поведении нагруженной контурным давлением круглой пластины с непрерывно распределенными дисклинациями. Найдены вызванные дисклинациями осесимметричные закритические формы изгиба пластинки, которые существуют при отсутствии внешней нагрузки. Установлено, что при переходе пластинки из плоского состояния в изогнутую форму уменьшается величина внутренних напряжений.
В работе В. А. Треногина [3] был развит метод Ляпунова–Шмидта в операторной форме для нелинейных уравнений в банаховых пространствах. В работе [4] Л. С. Срубщик и В. А. Треногин исследовали задачу о влиянии малой поперечной нагрузки на выпучивание и послекритическое поведение пластины произвольной формы под действием параллельных осям координат сжимающих краевых усилий.
В работе Рейсснера [5] рассмотрена задача о влиянии нелинейно-упругого основания на выпучивание и начальное послекритическое поведение безмоментного плоско-напряженного состояния в случае бесконечной пластины с малыми геометрическими несовершенствами, а в случае тонкой сжатой пластины строго выпуклой формы со свободным краем при дополнительном действии малой поперечной нагрузки эта задача решена Л. С. Срубщиком [6]. В работах [7, 8] исследована задача о влиянии малой поперечной нагрузки на послекритическое поведение прямоугольной гибкой пластины, лежащей на нелинейно-упругом основании и равномерно сжатой в продольном направлении, а в [9] эта же задача рассмотрена для пластины с дислокациями и дисклинациями. С помощью операторного метода Ляпунова–Шмидта определено количество решений, соответствующих новым формам равновесий, и для каждого из них строятся асимптотические представления.
1. Зубов, Л. М. Уравнения Кармана для упругой пластинки с дислокациями и дисклинациями // Доклады РАН. — 2007. — Т.412, № 3. — С. 343–346.
2. Зубов, Л. М. Сильный изгиб круглой пластинки с непрерывно распределенными дисклинациями / Л. М. Зубов, Т. Х. Фам // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. — 2010. № 4. — С. 28–33.
3. Треногин, В. А. Разветвление решений нелинейных уравнений в банаховом пространстве / В. А. Треногин // Успехи матем. наук. — 1958. — Т. 13. Вып. 4.
4. Срубщик, Л. С. О выпучивании гибких пластин / Л. С. Срубщик, В. А. Треногин // ПММ. — 1968. — Т. 32. Вып.4. — С. 721–727.
5. Reissner E. On Postbuckling Behavior and imperfection sensitivity of Thin Elastic Plates on a Non-linear Elastic Foundation / E. Reissner // Studies in Appl. Math. — 1970. — Vol. XLIX, N. 1. — P. 45–57.
6. Срубщик, Л. С. Краевой эффект и выпучивание тонких пластин на нелинейно-упругом основании / Л. С. Срубщик // Дифференциальные уравнения. — 1985. — Т. XXI, № 10. — С.1790–1794.
7. Пешхоев, И. М. Выпучивание и послекритическое поведение сжатой прямоугольной пластины на нели-нейно-упругом основании / И. М. Пешхоев, Л. С. Срубщик. — Ростов-на-Дону, 1983. — 17 с. — Деп. в ВИНИТИ 07.83, № 4037–83.
8. Баул А. В. Влияние начальных несовершенств на выпучивание продольно сжатых прямоугольных цилин-дрических панелей и пластин / А. В. Баул, И. М. Пешхоев, Л. С. Срубщик // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. — 1986. — № 1. — С.34–37.
9. Пешхоев, И. М. Ветвление равновесий сжатой упругой прямоугольной пластины с дислокациями и дис-клинациями / И. М. Пешхоев // XI всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики, сб. докл., Казань, 20 – 24 августа 2015 г., — С. 2989–2991.
10. Тимошенко, С. П. Пластинки и оболочки / С. П. Тимошенко, С. Войновский-Кригер. — Москва : Физматгиз, — 1966. — 636 с.
11. Ворович, И. И. Математические проблемы нелинейной теории пологих оболочек/ И. И. Ворович. — Москва : Наука, 1989. — 376 с.
12. Морозов, Н. Ф. К нелинейной теории тонких пластин / Н. Ф. Морозов // Доклады АН СССР. — 1957. —Т.114, № 5. — С. 968–671.
13. Вайнберг, М. М. Теория ветвления решений нелинейных уравнений / М. М. Вайнберг, В. А. Треногин. — Москва : Наука, 1969. — 528с.
14. Пешхоев, И. М. Асимптотика и ветвление равновесий сжатых упругих прямоугольных пластин и стержней на нелинейно упругом основании : диссерт. … к-та физ.-мат. наук / И. М. Пешхоев. — Ростов-на-Дону, 1991. — 146с.
15. Михлин, С. Г. Вариационные методы в математической физике / С. Г. Михлин. — Москва : Наука, 1970. — 512с.
16. Bauer, L. Block five diagonal matrices and the fast numerical solution of the biharmonic equation / L. Bauer, E. Reiss // Math. Comput. — 1972. — V.26, 118. — P. 311–326.
