Three types of self-simulated replacements for the problem of thermal convection averaged over a thin layer of the vaporizing liquid are presented. It is a model of the drying non-viscous extended droplet specified by the non-thermal diffusivity. For the construction of self-simulated solutions, a transition to the Riemann invariants is performed. Self-simulated solutions are functions of time and position determining the drop height, the mass-transfer rate and the heat flow averaged over the drop thickness. The found self-simulated solutions are classified on the basis of the behavior of the function that describes the drop height under the evaporation-condensation. The domains of applicability of various self-simulated solutions to the simulation of different situations of drying drops and films are identified.
mathematical model, self-simulated solutions, drop, evaporation- condensation.
. Математическое моделирование процессов тепло- и массопереноса при испарении-конденсации капель жидкостей применимо в настоящее время во множестве современных технологий: медицинской диагностике [1], фармакологических исследованиях [2], кристаллографии белка [3], для растягивания ДНК и РНК [4], полиграфии [5], создании структурированных поверхностей [6], производстве наноструктур [7], микроматриц, в том числе однокристальных лабораторий (labs-on-a-chip) [8]. В связи с этим в последние годы разработано большое количество моделей, описывающих высыхание капель, либо пленок жидкостей. Для математического моделирования процессов в испаряющейся капле применяются различные подходы: в первую очередь, те или иные следствия системы уравнений Навье-Стокса, а также метод осреднения трехмерных задач по высоте пленки, либо капли испаряющейся жидкости.
Метод осреднений (аналог уравнений мелкой воды) для моделирования высыхающих капель и пленок использован в работах [9–12]. Несмотря на существенные успехи при моделировании конкретных ситуаций в физике, медицине и биологии, используемый подход имеет ряд дефектов, таких как необходимость задания плотности пара на поверхности капли (на основе эмпирических предположений), потребность во множестве локальных допущений, понижающих уровень общности модели, а также преимущественно численный подход к исследованию получающихся начально-краевых задач. Процесс осреднения, используемый в перечисленных работах также проводится на основе упрощающих предположений и при отсутствии четких математических обоснований.
1. Golbraykh, Е.О., Rapis, E.G., Moiseev, S.S. O formirovanii uzora treshchiny v svobodno vysykhayushchey plenke vodnogo rastvora belka. [On the formation of the crack pattern in a free drying film of aqueous protein solution.] Technical Physics, 2003, vol. 73, iss. 10, pp. 116–121 (in Russian).
2. Yushchenko, A.A., Daudova, A.D., Ayupova, A.K., Urlyapova, N.G., Shatokhina, S.N. Sposob otsenki obshchetoksicheskogo deystviya lekarstvennykh sredstv na organizm: patent 2232387 Ros. Federatsiya : G01N33/15, G01N33/49. [A method of estimating general toxical action of drugs on the body.] Patent RF, no. 2232387, 2004 (in Russian).
3. Rapis, E. Belok i zhizn´ (samosborka i simmetriya nanostruktur belka). [Protein and life (self-assembly and symmetry of protein nanostructures.)] Jerusalem; Moscow: ZL. Milta-PKP GIT, 2002, 257 p. (in Russian).
4. Abramchuk, S.S., Khokhlov, A.R., Iwataki, T., Oana, H., Yoshikawa, K. Direct observation of DNA molecules in a convection flow of a drying droplet. Europhys. Lett., 2001, vol. 55, pp. 294–300.
5. Harris, D. J., Hu, H., Conrad, J. C., Lewis, J. A. Patterning Colloidal Films via Evaporative Lithography. Physical Review Letters, 2007, vol. 98, no. 14, p. 148301.
6. Xu J., Xia J., Hong S.W., et al. Self-Assembly of Gradient Concentric Rings via Solvent Evaporation from a Capillary Bridge. Physical Review Letters, 2006, vol. 96, no. 6, p. 066104.
7. Helseth, L. E., Fischer, T. M. Particle interactions near the contact line in liquid drops. Physical Review E, 2003, vol. 68, no. 4, p. 042601.
8. Rieger, B., van den Doel, L. R., van Vliet, L. J. Ring formation in nanoliter cups: Quantitative measurements of flow in micromachined wells. Physical Review E, 2003, vol. 68, no. 3, p. 036312.
9. Deegan, R.D., Bakajin, O., Dupont, T.F., Huber, G., Nagel, S.R., Witten, T.A. Contact line deposits in an evaporating drop. Physical Review E, 2000, vol. 62,pp. 756–765.
10. Maki, K. L., Kumar, S. Fast Evaporation of Spreading Droplets of Colloidal Suspensions. Langmuir, 2011, vol. 27, no. 18, pp. 11347– 11363.
11. Widjaja, E., Harris, M. Particle deposition study during sessile drop evaporation. AIChE J., 2008, vol. 54, no. 9, pp. 2250– 2260.
12. Tarasevich, Y. Y., Vodolazskaya, I.V., Sakharova, L.V. Mathematical modeling of pattern formation caused by drying of colloidal film under a mask. Eur. Phys. J. E, 2016, vol. 39, no. 2.
13. Zhukov, М.Y., Shiryaeva, E.V., Polyakova, N.M. Modelirovanie ispareniya kapli zhidkosti. [Simulation of the liquid drop evaporation.] Rostov-on-Don: SFU Press, 2015, 208 p. (in Russian).
14. Barenblatt, G.I. Podobie, avtomodel´nost´, promezhutochnaya asimptotika. Teoriya i prilozheniya k geofizicheskoy gidrodinamike. [Similarity, self-similarity, intermediate asymptotics. Theory and applications to geophysical hydrodynamics .] Leningrad: Gidrometioizdat, 1982, 257 с. (in Russian).
15. Rozhdenstvenskiy, B.L., Yanenko, N.N. Sistemy kvazilineynykh uravneniy i ikh prilozheniya k gazovoy dinamike. [Systems of quasilinear equations and their applications to gas dynamics.] Moscow: Nauka, 1978, 687 p. (in Russian).
