В работе получены три типа автомодельных замен для задачи тепловой конвекции, осредненной по тонкому слою испаряющейся жидкости и являющейся моделью высыхания невязкой, нетемпературопроводной протяженной капли. Для построения автомодельных решений в работе выполнен переход к инвариантам Римана. Автомодельные решения представляют собой функции времени и координаты, определяющие высоту капли, а также скорость массопереноса и тепловой поток, осредненные по толщине капли. Осуществлена классификация найденных автомодельных решений на основании поведения функции, описывающей высоту капли в процессе испарения-конденсации. Выявлена область применимости различных автомодельных решений к моделированию различных ситуаций высыхания капель и пленок.
математическая модель, автомодельные решения, капля, испарение-конденсация.
. Математическое моделирование процессов тепло- и массопереноса при испарении-конденсации капель жидкостей применимо в настоящее время во множестве современных технологий: медицинской диагностике [1], фармакологических исследованиях [2], кристаллографии белка [3], для растягивания ДНК и РНК [4], полиграфии [5], создании структурированных поверхностей [6], производстве наноструктур [7], микроматриц, в том числе однокристальных лабораторий (labs-on-a-chip) [8]. В связи с этим в последние годы разработано большое количество моделей, описывающих высыхание капель, либо пленок жидкостей. Для математического моделирования процессов в испаряющейся капле применяются различные подходы: в первую очередь, те или иные следствия системы уравнений Навье-Стокса, а также метод осреднения трехмерных задач по высоте пленки, либо капли испаряющейся жидкости.
Метод осреднений (аналог уравнений мелкой воды) для моделирования высыхающих капель и пленок использован в работах [9–12]. Несмотря на существенные успехи при моделировании конкретных ситуаций в физике, медицине и биологии, используемый подход имеет ряд дефектов, таких как необходимость задания плотности пара на поверхности капли (на основе эмпирических предположений), потребность во множестве локальных допущений, понижающих уровень общности модели, а также преимущественно численный подход к исследованию получающихся начально-краевых задач. Процесс осреднения, используемый в перечисленных работах также проводится на основе упрощающих предположений и при отсутствии четких математических обоснований.
1. Гольбрайх, Е. О. формировании узора трещины в свободно высыхающей пленке водного раствора белка / Е. Гольбрайх, Е. Г. Рапис, С. С. Моисеев // Журнал технической физики, 2003. — Т. 73, вып. 10. — С. 116–121.
2. Способ оценки общетоксического действия лекарственных средств на организм : патент 2232387 Рос. Федерация : G01N33/15, G01N33/49 / А. А. Ющенко, А. Д. Даудова, А. К. Аюпова, Н. Г. Урляпова , С. Н. Шатохина. — № 2002129685/15 ; заявл. 04.11.2002 ; опубл. 10.07.2004. — 7 с.
3. Рапис, Е. Белок и жизнь (самосборка и симметрия наноструктур белка) / Е. Рапис. — Иерусалим; Москва : ЗЛ. Милта-ПКП ГИТ, 2002. — 257 с.
4. Abramchuk S.S., Khokhlov A.R., Iwataki T., Oana H., Yoshikawa K. Direct observation of DNA molecules in a convection flow of a drying droplet // Europhys. Lett. 2001. – Vol. 55. P. 294–300.
5. Harris D. J., Hu H., Conrad J. C., Lewis J. A. Patterning Colloidal Films via Evaporative Lithography // Physical Review Letters. 2007. – Apr. Vol. 98, no. 14. P. 148301.
6. Xu J., Xia J., Hong S. W. et al. Self-Assembly of Gradient Concentric Rings via Solvent Evaporation from a Capillary Bridge // Physical Review Letters. 2006.–Feb. Vol. 96, no. 6. P. 066104.
7. Helseth L. E., Fischer T. M. Particle interactions near the contact line in liquid drops // Physical Review E. 2003.– Oct. Vol. 68, no. 4. P. 042601.
8. Rieger B., van den Doel L. R., van Vliet L. J. Ring formation in nanoliter cups: Quantitative measurements of flow in micromachined wells // Physical Review E. 2003.–Sep. Vol. 68, no. 3. P. 036312.
9. Deegan R.D., Bakajin O., Dupont T.F., Huber G., Nagel S.R., Witten T.A. Contact line deposits in an evaporating drop // Physical Review E. – 2000. – vol. 62. – P. 756–765.
10. Maki K. L., Kumar S. Fast Evaporation of Spreading Droplets of Colloidal Suspensions // Langmuir. 2011. Vol. 27, no. 18. P. 11347– 11363.
11. Widjaja E., Harris M. Particle deposition study during sessile drop evaporation // AIChE J. 2008.–September. Vol. 54, no. 9. P. 2250– 2260.
12. Tarasevich Y. Y., Vodolazskaya I.V., Sakharova L.V. Mathematical modeling of pattern formation caused by drying of colloidal film under a mask // Eur. Phys. J. E. – 2016. – Vol. 39, no. 2.
13. Жуков, М. Ю. Моделирование испарения капли жидкости / М. Ю. Жуков, Е. В. Ширяева, Н. М. Полякова. — Ростов-на-Дону : Издательство Южного федерального университета, 2015. — 208 с.
14. Баренблатт, Г. И. Подобие, автомодельность, промежуточная асимптотика. Теория и приложения к геофизической гидродинамике / Г. И. Баренблатт. — Ленинград : Гидрометиоиздат. — 1982. — 257 с.
15. Рождественский, Б. Л. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике / Б. Л. Рождественский, Н. Н. Яненко. — Москва : Наука — 1978.— 687 с.
