Belgorod, Belgorod, Russian Federation
GRNTI 55.01 Общие вопросы машиностроения
BBK 345 Общая технология машиностроения. Обработка металлов
In article mathematical drying model of materials with not curved surface is offered on the basis of the classical Stefan problem. Asymptotic solution of single-phase problem is obtained at high values of drying time.
temperature, Stefan problem, heat of vaporization, specific heat, layer of dried material
Введение. В таких отраслях промышленности как производство цемента, деревообработка, химическая промышленность и другие применяются процессы сушки материала. Управление такими процессами включает в себя расчёты их продолжительности, затрат тепловой и электрической энергии и, как следствие, себестоимости и рентабельности. Эти расчёты часто требуют оценки количества высохшего материала в зависимости от времени сушки, температурного режима, влажности материала или, наоборот, временных затрат для достижения нужного количества высохшего материала. Предлагаются формулы для таких оценок и способы их применения.
Физическая модель процесса. Рассмотрим сначала физическую модель процесса сушки – основу математической модели.
Рис. 1. К постановке задачи для неискривлённой поверхности
Процесс сушки будем рассматривать с того момента, когда интенсивное испарение воды с поверхности материала прекратилось, а в пар превращается только жидкость, находящаяся внутри материала в «защемлённом» состоянии. На поверхности температура сухого материала равна температуре фазового перехода 100 °C. Эта поверхность движется внутрь материала по мере поглощения им тепла (теплота парообразования). В начальный момент времени будем считать весь материал с неискривлённой поверхностью нагретым до 100 °C (то есть ).
За время фазовая поверхность (плоскость ) переместится на расстояние . При этом в пар превратится масса , где – плотность воды, – влажность материала, и поглотится количество тепла , где – удельная теплота парообразования воды. Для выполнения теплового баланса при должно выполняться условие Стефана:
,
где – коэффициент теплопроводности сухого материала. На границе газ-материал ( ) выполняется условие теплообмена:
,
где – коэффициент теплообмена.
Математическая модель. Обозначив для краткости , , , и записав условие Стефана в виде [1], получим математическую модель высыхания материала с неискривлённой поверхностью:
, , ; (1)
, ; (2)
, ; (3)
, ; (4)
; (5)
где – коэффициент температуропроводности сухого материала с удельной теплоёмкостью и плотностью .
Здесь искомой является зависимость размера слоя высохшего материала от времени . Эту зависимость можно получить в виде степенного ряда [2]:
(6)
Отсюда можно получить представление о ходе процесса сушки, но только лишь в его начале. Для оценок за длительные промежутки времени потребовалась бы трудоёмкая работа по вычислению других слагаемых в (6) при неизвестном интервале сходимости этого ряда.
Верхнюю границу для при длительном процессе сушки можно получить, рассмотрев идеальный материал с нулевой удельной теплоёмкостью , не поглощающий тепло. В этом случае , а (1) принимает вид: . Отсюда . Согласно (2) и (3) определяем произвольные функции и , а затем решаем задачу Коши (4) и (5), получаем
или, после умножения и деления на сопряжённое выражение
. (7)
Так как всё тепло в идеальном материале идёт только на испарение, то , . Из (7), в частности, следует, что даже для идеального материала при данных условиях скорость роста слоя высохшего материала стремится к нулю при , а, следовательно, тоже.
Далее рассмотрим реальный материал. Продифференцируем (3) по :
. (8)
Записав (4) в виде и подставив в (8), получим
(9)
Так как при (1) имеет вид , то учитывая (9), получим
.
Считая параметром, отсюда получаем дифференциальное уравнение второго порядка:
.
Из него находим . Заменив здесь произвольную постоянную произвольной функцией времени , получим
. (10)
Следовательно, в соответствии с (4)
. (11)
Умножив обе части (11) на , получим
. (12)
Интегрируя по уравнение (10), получим:
, (13)
где произвольная функция.
Эта функция зависит только от времени и не зависит от , а это возможно лишь при , то есть .
Из (13) в соответствии с (3) имеем:
,
отсюда
.
Но при достаточно большой продолжительности сушки температура поверхности высохшего материала возрастает и выравнивается с температурой газа . Таким образом,
,
а потому возрастает и величина , следовательно,
.
Отсюда
. (14)
Интегрируя (12), получим
,
отсюда
.
Переходя здесь к пределу при , учитывая, что в силу (14) интеграл расходится, по правилу Лопиталя имеем:
.
Это значит, что при больших значениях величина асимптотически стремится к значениям
, (15)
оставаясь меньше их.
Для обеспечения большей точности расчётов дополним (15) ещё одной возможностью оценки . Для этого заметим, что из (12) с учётом (14) следует, что величина монотонно убывает и ограничена. Тогда, выразив из (11) и учитывая, что при , получаем, что , монотонно убывая, стремится к нулю при . Из (11), учитывая (5) и то, что из (6) , найдём - максимальное значение . Заменяя в (11) максимальным значением, получим
.
Интегрируя это уравнение с начальным условием , получим
. (16)
Очевидно, что истинное значение . Сравнивая (7) и (16), заметим, что при величины и совпадают, при имеем , а при . Представим графически полученные зависимости (для случая ).
Рис. 2. К оценке
Выводы. Обозначим , тогда при имеем , следовательно, истинное значение надо оценивать как при и как при ,
где – корень уравнения (см. рис. 2).
При имеем , поэтому истинное значение надо оценивать как при и как при где – корень уравнения .
Полученные формулы для , , удобны для практического применения при организации и расчёте технологических процессов сушки материалов в различных отраслях промышленности.
1. Tihonov A.N., Samarskiy A.A. Urav-neniya matematicheskoy fiziki. M: Izd-vo MGU, 2004. 798 s.
2. Petrashev V.I. Ob ocenke tolschiny vysohshego sloya shlama v cementnoy pechi // Izvestiya vuzov, «Stroitel'stvo». 2000. № 10(502). S. 124–129.
3. Fedorenko B.Z. Ocenki teplotehnolo-gicheskih processov v cepnyh zavesah cement-nyh pechey / Matematicheskoe modelirovanie tehnologicheskih processov v proizvodstve stroitel'nyh materialov i konstrukciy // Sb. nauchn. Trudov, Belgorod: BelGTASM, 1998. S. 10 – 16.
4. Mushtaev V.I., Ul'yanov V.M. Sushka dispersnyh materialov. M.: Himiya, 1988. 352 s.
5. Rubinshteyn L.I. Problema Stefana. Riga: Zvayzgne, 1967. 458 s.
6. Meyrmanov A.M. Zadacha Stefana. No-vosibirsk: Nauka, 1986. 239 s.
7. Lykov M.V. Sushka v himicheskoy pro-myshlennosti. M.: Himiya, 1988. 352 s.
8. Kartashov E.M. Analiticheskie metody v teorii teploprovodnosti tverdyh tel. M.: Vysshaya shkola, 2001. 550 s.
9. Danilyuk I.I. O zadache Stefana // Uspehi matematicheskih nauk. 1985. 40:5(245). S. 135–185.
10. Oleynik O.A. Ob odnom metode resheniya obschey zadachi Stefana // Doklady AN SSSR. 1960. № 5. S. 135.
11. Melamed V.G. Svedeniya zadachi Stefana k sisteme obyknovennyh differen-cial'nyh uravneniy // Izvestiya AN SSSR, Seriya: Geofizika. 1958. № 7.
