Белгород, Белгородская область, Россия
ГРНТИ 55.01 Общие вопросы машиностроения
ББК 345 Общая технология машиностроения. Обработка металлов
В статье на основе классической задачи Стефана предложена математическая модель высыхания материалов с неискривлённой поверхностью и получено асимптотическое решение однофазной задачи при больших значениях времени высыхания.
температура, задача Стефана, теплота парообразования, удельная теплоёмкость, слой вы-сохшего материала.
Введение. В таких отраслях промышленности как производство цемента, деревообработка, химическая промышленность и другие применяются процессы сушки материала. Управление такими процессами включает в себя расчёты их продолжительности, затрат тепловой и электрической энергии и, как следствие, себестоимости и рентабельности. Эти расчёты часто требуют оценки количества высохшего материала в зависимости от времени сушки, температурного режима, влажности материала или, наоборот, временных затрат для достижения нужного количества высохшего материала. Предлагаются формулы для таких оценок и способы их применения.
Физическая модель процесса. Рассмотрим сначала физическую модель процесса сушки – основу математической модели.
Рис. 1. К постановке задачи для неискривлённой поверхности
Процесс сушки будем рассматривать с того момента, когда интенсивное испарение воды с поверхности материала прекратилось, а в пар превращается только жидкость, находящаяся внутри материала в «защемлённом» состоянии. На поверхности температура сухого материала равна температуре фазового перехода 100 °C. Эта поверхность движется внутрь материала по мере поглощения им тепла (теплота парообразования). В начальный момент времени будем считать весь материал с неискривлённой поверхностью нагретым до 100 °C (то есть ).
За время фазовая поверхность (плоскость ) переместится на расстояние . При этом в пар превратится масса , где – плотность воды, – влажность материала, и поглотится количество тепла , где – удельная теплота парообразования воды. Для выполнения теплового баланса при должно выполняться условие Стефана:
,
где – коэффициент теплопроводности сухого материала. На границе газ-материал ( ) выполняется условие теплообмена:
,
где – коэффициент теплообмена.
Математическая модель. Обозначив для краткости , , , и записав условие Стефана в виде [1], получим математическую модель высыхания материала с неискривлённой поверхностью:
, , ; (1)
, ; (2)
, ; (3)
, ; (4)
; (5)
где – коэффициент температуропроводности сухого материала с удельной теплоёмкостью и плотностью .
Здесь искомой является зависимость размера слоя высохшего материала от времени . Эту зависимость можно получить в виде степенного ряда [2]:
(6)
Отсюда можно получить представление о ходе процесса сушки, но только лишь в его начале. Для оценок за длительные промежутки времени потребовалась бы трудоёмкая работа по вычислению других слагаемых в (6) при неизвестном интервале сходимости этого ряда.
Верхнюю границу для при длительном процессе сушки можно получить, рассмотрев идеальный материал с нулевой удельной теплоёмкостью , не поглощающий тепло. В этом случае , а (1) принимает вид: . Отсюда . Согласно (2) и (3) определяем произвольные функции и , а затем решаем задачу Коши (4) и (5), получаем
или, после умножения и деления на сопряжённое выражение
. (7)
Так как всё тепло в идеальном материале идёт только на испарение, то , . Из (7), в частности, следует, что даже для идеального материала при данных условиях скорость роста слоя высохшего материала стремится к нулю при , а, следовательно, тоже.
Далее рассмотрим реальный материал. Продифференцируем (3) по :
. (8)
Записав (4) в виде и подставив в (8), получим
(9)
Так как при (1) имеет вид , то учитывая (9), получим
.
Считая параметром, отсюда получаем дифференциальное уравнение второго порядка:
.
Из него находим . Заменив здесь произвольную постоянную произвольной функцией времени , получим
. (10)
Следовательно, в соответствии с (4)
. (11)
Умножив обе части (11) на , получим
. (12)
Интегрируя по уравнение (10), получим:
, (13)
где произвольная функция.
Эта функция зависит только от времени и не зависит от , а это возможно лишь при , то есть .
Из (13) в соответствии с (3) имеем:
,
отсюда
.
Но при достаточно большой продолжительности сушки температура поверхности высохшего материала возрастает и выравнивается с температурой газа . Таким образом,
,
а потому возрастает и величина , следовательно,
.
Отсюда
. (14)
Интегрируя (12), получим
,
отсюда
.
Переходя здесь к пределу при , учитывая, что в силу (14) интеграл расходится, по правилу Лопиталя имеем:
.
Это значит, что при больших значениях величина асимптотически стремится к значениям
, (15)
оставаясь меньше их.
Для обеспечения большей точности расчётов дополним (15) ещё одной возможностью оценки . Для этого заметим, что из (12) с учётом (14) следует, что величина монотонно убывает и ограничена. Тогда, выразив из (11) и учитывая, что при , получаем, что , монотонно убывая, стремится к нулю при . Из (11), учитывая (5) и то, что из (6) , найдём - максимальное значение . Заменяя в (11) максимальным значением, получим
.
Интегрируя это уравнение с начальным условием , получим
. (16)
Очевидно, что истинное значение . Сравнивая (7) и (16), заметим, что при величины и совпадают, при имеем , а при . Представим графически полученные зависимости (для случая ).
Рис. 2. К оценке
Выводы. Обозначим , тогда при имеем , следовательно, истинное значение надо оценивать как при и как при ,
где – корень уравнения (см. рис. 2).
При имеем , поэтому истинное значение надо оценивать как при и как при где – корень уравнения .
Полученные формулы для , , удобны для практического применения при организации и расчёте технологических процессов сушки материалов в различных отраслях промышленности.
1. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Урав-нения математической физики. М: Изд-во МГУ, 2004. 798 с.
2. Петрашев В.И. Об оценке толщины высохшего слоя шлама в цементной печи // Известия вузов, «Строительство». 2000. № 10(502). С. 124–129.
3. Федоренко Б.З. Оценки теплотехноло-гических процессов в цепных завесах цемент-ных печей / Математическое моделирование технологических процессов в производстве строительных материалов и конструкций // Сб. научн. Трудов, Белгород: БелГТАСМ, 1998. С. 10 – 16.
4. Муштаев В.И., Ульянов В.М. Сушка дисперсных материалов. М.: Химия, 1988. 352 с.
5. Рубинштейн Л.И. Проблема Стефана. Рига: Звайзгне, 1967. 458 с.
6. Мейрманов А.М. Задача Стефана. Но-восибирск: Наука, 1986. 239 с.
7. Лыков М.В. Сушка в химической про-мышленности. М.: Химия, 1988. 352 с.
8. Карташов Э.М. Аналитические методы в теории теплопроводности твёрдых тел. М.: Высшая школа, 2001. 550 с.
9. Данилюк И.И. О задаче Стефана // Успехи математических наук. 1985. 40:5(245). С. 135–185.
10. Олейник О.А. Об одном методе решения общей задачи Стефана // Доклады АН СССР. 1960. № 5. С. 135.
11. Меламед В.Г. Сведения задачи Стефана к системе обыкновенных дифферен-циальных уравнений // Известия АН СССР, Серия: Геофизика. 1958. № 7.
