In the paper, spin 1 particle with an anomalous magnetic moment is examined in presence of an external uniform electric field. The generalized ten-dimensional Duffin-Kemmer equation is specified in Cartesian coordinates (t, x, y, z) . On its solutions there are diagonalized operators of energy and linear momentums Px and Py. The external electric field is oriented along the axes z. The system of ten differential equations in the variable z is derived. With the use of the generator j03 for ten-component field we introduce three projective operators which permit us to divide the complete ten-component wave function into three projective constituents. One of them is taken as the primary constituent, it depends on four functions; the two remaining projective constituents are defined by the primary one. For these four functions we derive one linear constraint and the system of second order equations for three functions. This system after linear transformation is reduced to three separated equations for three new variables. Their solutions are constructed in terms of confluent hypergeometric functions. Properties of the obtained solutions are studied.
vector particle, anomalous magnetic moment, external electric field, method of projective operators, exact solutions
Введение
В настоящей работе будут найдены точные решения
уравнения Даффина-Кеммера для частицы со спином 1
и дополнительной электромагнитной характеристикой —
аномальным магнитным моментом [1–7]. Используется де-
картовая сиcтема координат. Для 10-компонентного поля
вводятся три проективных оператора [8], которые позволя-
ют разложить волновую функцию в сумму трех частей. Од-
на из составляющих, зависящая от четырех функций, яв-
ляется основной, две другие могут быть выражены через
нее. Для этих четырех функций выведено линейное усло-
вие связи, в результате возникает система из трех связан-
ных дифференциальных уравнений 2-го порядка для трех
функций. Эта система после специального линейного пре-
образования приводится к трем несвязанным уравнениям
Известия Коми научного центра УрО РАН, серия «Физико-математические науки» № 5 (57), 2022
www.izvestia.komisc.ru 51
для трех новых функций. Их решения построены в терми-
нах вырожденных гипергеометрических функций.
1. Обобщенное уравнение Даффина-Кеммера,
разделение переменных
Исходим из общего уравнения для частицы со спином 1
и аномальным магнитным моментом
n
βc(∂c − ieAc) + λ
1
2
Fab(x)JabP −M
o
Ψ = 0,
P =
I4 0
0 0
, (1)
где P — проективный оператор, выделяющий векторную
компоненту из волновой функции. В однородном электри-
ческом поле At = −Ez, Ftz = F03 = E уравнение
записывается в виде
β0
∂
∂z
+ iEz
+ β1 ∂
∂x
+ β2 ∂
∂y
+
+β3 ∂
∂z
+ ΓJ03P −M
Ψ = 0, (2)
где размерности величин такие:
[M] = 1/L, Γ = iλE, |, [Γ] = 1/L,
[E] = 1/L2, [t] = 1/L;
величина Γ — чисто мнимая. Для волновой функции ис-
пользуем подстановку
Ψ = e
−iϵteiaxeiby
H1
H2
,
H1 = (h0(z), h1(z), h2(z), h3(z))t,
H2 = (E1(z),E2(z),E3(z),B1(z),B2(z),B3(z))t,
где t обозначает транспонирование. Соответственно, урав-
нение принимает вид
i(Ez − ϵ)β0 + iaβ1 + ibβ2+
+β3 d
dz
+ Γj03P −M
Ψ(z) = 0. (3)
При использовании блочной формы
βa =
0 La
Ka 0
имеем два уравнения
i(Ez − ϵ)L0 + iaL1 + ibL2+
+L3 d
dz
H2 + Γj03
1 H1 −MH1 = 0, (4)
i(Ez − ϵ)K0 + iaK1 + ibK2+
+K3 d
dz
H1 −MH2 = 0. (5)
Приводим явный вид всех матриц в декартовом базисе
L0 =
0
B@
0 0 0 0 0 0
−1 0 0 0 0 0
0 −1 0 0 0 0
0 0 −1 0 0 0
1
CA
,
L1 =
0
B@
−1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 −1 0
1
CA
,
L2 =
0
B@
0 −1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 −1
0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0
1
CA
,
L3 =
0
B@
0 0 −1 0 0 0
0 0 0 0 +1 0
0 0 0 −1 0 0
0 0 0 0 0 0
1
CA
,
K0 =
0
BBBBB@
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
1
CCCCCA
,
K1 =
0
BBBBB@
−1 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 −1
0 0 1 0
1
CCCCCA
,
K2 =
0
BBBBB@
0 0 0 0
−1 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 1
0 0 0 0
0 −1 0 0
1
CCCCCA
,
K3 =
0
BBBBB@
0 0 0 0
0 0 0 0
−1 0 0 0
0 0 −1 0
0 1 0 0
0 0 0 0
1
CCCCCA
,
j03
1 =
0
B@
0 0 0 1
0 0 0 0
0 0 0 0
1 0 0 0
1
CA
,
j03
2 =
0
BBBBB@
0 0 0 0 1 0
0 0 0 −1 0 0
0 0 0 0 0 0
0 −1 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
1
CCCCCA
.
52
Известия Коми научного центра УрО РАН, серия «Физико-математические науки» № 5 (57), 2022
www.izvestia.komisc.ru
После простых вычислений получаем систему уравнений
по переменной z
−iaE1 − ibE2 + Γh3 − E
′
3 = mh0,
−ibB3 − i(Ez − ϵ)E1 + B
′
2 = Mh1,
iaB3 − i(Ez − ϵ)E2 − B
′
1 = Mh2,
ibB1 − iaB2 − i(Ez − ϵ)E3 + Γh0 = Mh3,
−iah0 + i(Ez − ϵ)h1 = ME1,
−ibh0 + i(Ez − ϵ)h2 = ME2,
i(Ez − ϵ)h3 − h0′ = ME3,
ibh3 − h
′
2 = MB1,
−iah3 + h
′
1 = MB2,
−ibh1 + iah2 = MB3,
(6)
где штрих обозначает производную по z.
2. Проективные операторы, метод Федорова-
Гронского
Ниже будем использовать метод Федорова-Гронского
[8]. Пусть
Y =
j03
1 0
0 J03
2
.
Убеждаемся, что выполняется минимальное уравнение
Y (Y − 1)(Y + 1) = 0. Это уравнение позволяет ввести
три проективных оператора
Π1 =
1
2
Y (Y + 1), Π2 =
1
2
Y (Y − 1),
Π3 = 1 − Y 2. (7)
С учетом их явного вида получаем выражения для трех
проективных составляющих
Ψ1 = Π1Ψ =
= (h0,
1
2
h1,
1
2
h2, h3,E1,E2,
1
2
E3,B1,B2,
1
2
B3)t,
Ψ2 = Π2Ψ =
= (0,−1
2
h1,−1
2
h2, 0, 0, 0,−1
2
E3, 0, 0,−1
2
B3)t,
Ψ3 = Π3Ψ = (0, h1, h2, 0, 0, 0,E3, 0, 0,B3)t.
Будем рассматривать переменную Ψ3 как основ-
ную, она зависит от функций h1, h2,E3,B3. Снача-
ла шесть уравнений из системы (6) решаем как ал-
гебраические относительно неосновных переменных
h0, h3,E1,E2,B1,B2, это дает
h0 = − 1
(a2 + b2 +M2)2 − Γ2M2
−ah1(a2+b2+M2)·
·(Ez −ϵ)−a2bEzh2 +a2bϵh2 +a2ME
′
3 +iaΓMh
′
1+
+b3(−E)zh2+b3ϵh2+b2ME
′
3
−bM2Ezh2+bM2ϵh2+
+ibΓMh
′
2 +M3E
′
3 + iΓM2E3(Ez − ϵ)
,
h3 = − 1
(a2 + b2 +M2)2 − Γ2M2
i(a3h
′
1 +ME3×
×(a2+b2+M2)(Ez−ϵ)+b(a2+b2+M2)h
′
2+ab2h
′
1+
+aM2h
′
1 + iaΓMh1(Ez − ϵ) + ibΓMEzh2−
−ibΓMϵh2 − iΓM2E3)],
E1 = − 1
M(a2 + b2 +M2)2 − Γ2M3
i(a(bh2×
×(a2 + b2 +M2)(Ez − ϵ) −M((a2 + b2 +M2)E
′
3+
+iΓ(ah
′
1+bh2)))−h1(Ez−ϵ)((b2+M2)(a2+b2+M2)−
−Γ2M2) − iaΓM2E3(Ez − ϵ))
,
E2 = − 1
M(a2 + b2 +M2)2 − Γ2M3
i(a4Ezh2−
−a4ϵh2 − abh1(a2 + b2 +M2)(Ez − ϵ)+
+a2b2Ezh2 − a2b2ϵh2 + a2bME
′
3+
+2a2M2Ezh2 − 2a2M2ϵh2 + iabΓMh
′
1+
+b3ME
′
3 + b2M2Ezh2 − b2M2ϵh2 + ib2ΓMh
′
2+
+bM3E
′
3 + ibΓM2E3(Ez − ϵ) +M4Ezh2−
−M4ϵh2 − Γ2M2Ezh2 + Γ2M2ϵh2)
,
B1 =
1
M(a2 + b2 +M2)2 − Γ2M3
bM((Ez − ϵ)×
×(E3(a2 + b2 +M2) + iΓ(ah1 + bh2)) − iΓME
′
3)−
−ah
′
2((a2 +M2)(a2 + b2 +M2) − Γ2M2)+
+ab(a2 + b2 +M2)h
′
1
,
B2 =
1
M(a2 + b2 +M2)2 − Γ2M3 [−aME3×
×(a2 + b2 +M2)(Ez − ϵ) − ab(a2 + b2 +M2)h
′
2+
+a2b2h
′
1 + a2M2h
′
1
− ia2ΓMh1(Ez − ϵ)−
−iabΓMEzh2 + iabΓMϵh2 + iaΓM2E
′
3+
+b4h
′
1 + 2b2M2h
′
1 +M4h
′
1
− Γ2M2h
′
1
.
Полученные выражения подставляем в оставшиеся четыре
уравнения; в результате находим уравнения для основных
функций h1, h2,E3,B3. Будем использовать новые пере-
менные
G = ah1 + bh2, H = bh1 − ah2, (8)
тогда уравнения для функций G,H,E3,B3 запишутся
так:
1) −a
a2E + b2E +M
ME − iΓ(ϵ − Ez)2
(a2 + b2 +M2)2 − Γ2M2 E3+
+
iaΓM
(a2 + b2 +M2)2 − Γ2M2E
′′
3+
+
aM(a2 + b2 − Γ2 +M2)
(a2 + b2)
(a2 + b2 +M2)2 − Γ2M2
G
′′
+
Известия Коми научного центра УрО РАН, серия «Физико-математические науки» № 5 (57), 2022
www.izvestia.komisc.ru 53
+
b
(a2 + b2)M
H
′′ − b
M2 − (ϵ − Ez)2
M(a2 + b2)
H−
− 1
(a2 + b2)
(a2 + b2 +M2)2 − Γ2M2
a
a4M+
+a2(2b2M + 2M3 −M(ϵ − Ez)2 + iΓE) + b4M+
+b2(2M3−M(ϵ−Ez)2+iΓE)+M(M−Γ)(Γ+M)×
×
M2 − (ϵ − Ez)2
G − ibB3 = 0,
2) − b
a2E + b2E +M
ME − iΓ(ϵ − Ez)2
(a2 + b2 +M2)2 − Γ2M2 E3+
+
iaΓM
(a2 + b2 +M2)2 − Γ2M2E
′′
3+
+
bM(a2 + b2 − Γ2 +M2)
(a2 + b2)((a2 + b2 +M2)2 − Γ2M2)
G
′′−
− a
M(a2 + b2H
′′
+
a(M2 − (ϵ − Ez)2)
M(a2 + b2)
H−
− 1
(a2 + b2)
(a2 + b2 +M2)2 − Γ2M2
b
a4M+
+a2
2b2M + 2M3 −M(ϵ − Ez)2 + iΓE
+ b4M+
+b2
2M3−M(ϵ−Ez)2+iΓE
+M(M−Γ)(Γ+M)×
×
M2 − (ϵ − Ez)2
G + iaB3 = 0,
3)
M(a2 + b2 +M2)
(a2 + b2 +M2)2 − Γ2M2E
′′
3+
+
1
(a2 + b2 +M2)2 − Γ2M2M
−a4 + a2(−2b2−
−2M2 + (ϵ − Ez)2) − b4 + b2((ϵ − Ez)2 − 2M2)+
+M
−M3 +M
Γ2 + (ϵ − Ez)2
+ iΓE
E3+
+
iΓM
(a2 + b2 +M2)2 − Γ2M2G
′′−
−
a2E + b2E +M
ME − iΓ(ϵ − Ez)2
(a2 + b2 +M2)2 − Γ2M2 G = 0,
4) −MB3 − iH = 0 ⇒ B3 = − i
M
H.
Складываем и вычитаем уравнения 1) и 2), в результате по-
лучаем
iΓM(a + b)
(a2 + b2 +M2) − Γ2M2E
′′
3
−
−(a + b)
a2E + b2E +M
ME − iΓ(ϵ − Ez)2
(a2 + b2 +M2)2 − Γ2M2 E3+
+
(b − a)
M(a2 + b2)
H
′′
+
(a − b)
M2 − (ϵ − Ez)2
M(a2 + b2)
H+
+
M(a + b)(a2 + b2 − Γ2 +M2)
(a2 + b2)
(a2 + b2 +M2)2 − Γ2M2
G
′′
+
+
1
(a2 + b2)
(a2 + b2 +M2) − Γ2M2
(a+b)
a4(−M)+
+a2
−2b2M − 2M3 +M(ϵ − Ez)2 − iΓE
− b4M+
+b2
−2M3 +M(ϵ − Ez)2 − iΓE
−M(M2 − Γ2)×
×(M + Ez − ϵ)(M − Ez + ϵ)
G + i(a − b)B3 = 0;
iΓM(a − b)
(a2 + b2 +M2)2 − Γ2M2E
′′
3
−
−(a − b)
a2E + b2E +M
ME − iΓ(ϵ − Ez)2
(a2 + b2 +M2)2 − Γ2M2 E3+
+
(a + b)
a2M + b2M
H
′′ − (a + b)
M2 − (ϵ − Ez)2
M(a2 + b2)
H+
+
M(a − b)(a2 + b2 − Γ2 +M2)
(a2 + b2)
(a2 + b2 +M2)2 − Γ2M2
G
′′
+
+
1
(a2 + b2)
(a2 + b2 +M2) − Γ2M2
(a+b)
a4(−M)+
+a2
−2b2M − 2M3 +M(ϵ − Ez)2 − iΓE
− b4M+
+b2
−2M3 +M(ϵ − Ez)2 − iΓE
−M(M2 − Γ2)×
×(M + Ez − ϵ)(M − Ez + ϵ)
G − i(a + b)B3 = 0.
Данные уравнения можно записать в более короткой
форме, если использовать обозначения
K =
iΓM
D
,
L =
a2E + b2E +M
ME − iΓ(ϵ − Ez)2
D
,
N = − 1
M(a2 + b2)
, P =
M2 − (ϵ − Ez)2
M(a2 + b2)
,
O =
M(a2 + b2 − Γ2 +M2)
(a2 + b2)D
,
T =
1
(a2 + b2)D
−Ma4 + a2
−2b2M − 2M3+
+M(ϵ−Ez)2−iΓE
−b4M+b2
−2M3+M(ϵ−Ez)2−
−iΓE
−M(M2 − Γ2)
M2 − (ϵ − Ez)2
,
D = (a2 + b2 +M2) − Γ2M2.
Тогда они примут вид
(a + b)
K
d2
dz2
− L
E3 + (a − b)
N
d2
dz2 + P
H+
+(a + b)
O
d2
dz2 + T
G + i(a − b)B3 = 0,
(a − b)
K
d2
dz2
− L
E3 − (a + b)
N
d2
dz2 + P
H+
+(a − b)
O
d2
dz2 + T
G − i(a + b)B3 = 0. (9)
54
Известия Коми научного центра УрО РАН, серия «Физико-математические науки» № 5 (57), 2022
www.izvestia.komisc.ru
В (9) первое уравнение разделим на (a+b) , а второе — на
(a − b)
K
d2
dz2
− L
E3 +
a − b
a + b
N
d2
dz2 + P
H+
+
O
d2
dz2 + T
G + i
a − b
a + b
B3 = 0,
K
d2
dz2
− L
E3 − a + b
a − b
N
d2
dz2 + P
H+
+
O
d2
dz2 + T
G − i
a + b
a − b
B3 = 0 (10)
и вычтем результаты, получим
a − b
a + b
+
a + b
a − b
(
N
d2
dz2 + P
H + iB3
)
= 0.
Откуда следует
N
d2
dz2 + P
H + iB3 = 0. (11)
Из (11), учитывая четвертое уравнение
iB3 =
H
M
, (12)
находим уравнение для функции H:
N
d2
dz2 + P +
1
M
H = 0. (13)
Теперь первое уравнение в (9) разделим на (a − b) , а
второе — на (a + b)
a + b
a − b
K
d2
dz2
− L
E3 +
N
d2
dz2 + P
H+
+
a + b
a − b
O
d2
dz2 + T
G + iB3 = 0,
a − b
a + b
K
d2
dz2
− L
E3 −
N
d2
dz2 + P
H+
+
a − b
a + b
O
d2
dz2 + T
G − iB3 = 0. (14)
Складывая два последних уравнения, получаем
K
d2
dz2
− L
E3 +
O
d2
dz2 + T
G = 0. (15)
Осталось неиспользованным третье уравнение
3)
M(a2 + b2 +M2)
(a2 + b2 +M2)2 − Γ2M2E
′′
3+
+
1
(a2 + b2 +M2)2 − Γ2M2M
−a4 + a2(−2b2−
−2M2 + (ϵ − Ez)2) − b4 + b2((ϵ − Ez)2 − 2M2)+
+M
−M3 +M
Γ2 + (ϵ − Ez)2
+ iΓE
E3+
+
iΓM
(a2 + b2 +M2)2 − Γ2M2G
′′−
−
a2E + b2E +M
ME − iΓ(ϵ − Ez)2
(a2 + b2 +M2)2 − Γ2M2 G = 0,
его можно записать так:
O
′ d2
dz2 + T
′
E3 +
K
d2
dz2
− L
G = 0, (16)
где учитываем прежние и добавленные обозначения
O
′
=
1
D
M(a2 + b2 +M2),
T
′
=
1
D
h
−Ma4−2Ma2b2−2M3a2+Ma2(ϵ−Ez)2−
−Mb4 +Mb2(ϵ − Ez)2 − 2M3b2 −M5+
+M3Γ2 +M3(ϵ − Ez)2 + iM2ΓE
i
.
Выпишем уравнения для функций E3,G (пусть E3 = F):
K
d2
dz2
− L
F +
O
d2
dz2 + T
G = 0,
O
′ d2
dz2 + T
′
F +
K
d2
dz2
− L
G = 0. (17)
Умножаем первое уравнение в (17) на некоторый параметр
α, второе — на параметр β и результаты складываем. Есть
две возможности.
Первая возможность:
αK + βO
′
= 1, αO + βK = 0 ⇒
⇒ d2
dz2 F + (−αL + βT
′
)F + (αT − βL)G = 0,
при этом
α =
K
K2 − OO′ = −iΓ(a2 + b2)
M
,
β = − O
K2 − OO′ =
a2 + b2 − Γ2 +M2
M
(18)
и уравнение 2-го порядка принимает вид
d2
dz2 F +
−a2 − b2 + Γ2 −M2+
+
iΓE
M
+W2
F +
− E
M
+ iΓ
G = 0. (19)
Вторая возможность:
αK + βO
′
= 0, αO + βK = 1 ⇒
⇒ (−αL + βT
′
)F +
d2
dz2G + (αT − βL)G = 0,
при этом
α =
O′
OO′ − K2 =
(a2 + b2)(a2 + b2 +M2)
M
,
β = − K
OO′ − K2 = −iΓ(a2 + b2)
M
(20)
Известия Коми научного центра УрО РАН, серия «Физико-математические науки» № 5 (57), 2022
www.izvestia.komisc.ru 55
и уравнение 2-го порядка примет вид
−(a2 + b2)(E − iΓM)
M
F +
d2
dz2G+
+(−a2 − b2 −M2 +W2)G = 0. (21)
После необходимых вычислений находим явный вид урав-
нений (19) и (21):
d2
dz2 +W2 − a2 − b2 −M2
F =
= −Γ
Γ +
iE
M
F − i
Γ +
iE
M
G,
d2
dz2 +W2 − a2 − b2 −M2
G =
= −i(a2 + b2)
Γ +
iE
M
F. (22)
Введем обозначения
Δ =
d2
dz2 +W2 − a2 − b2 −M2
,
a2 + b2 = p2, Γ +
iE
M
= σ = iλE +
iE
M
,
тогда система принимает вид
ΔF = −σΓF − iσG, ΔG = −iσp2F,
или
Δ
F
G
= −σA
F
G
, A =
Γ i
ip2 0
. (23)
Найдем преобразование, диагонализирующее матрицу
смешивания A:
ΔΨ = −σAΨ, Ψ
′
= SΨ, S
−1ψ
′
= Ψ ⇒
ΔΨ
′
= −σSAS
−1Ψ
′
, Ψ
′
=
¯ F
¯G
,
т. е. получаем уравнение
SAS
−1 = A
′
=
λ1 0
0 λ2
⇒
⇒
s11 s12
s21 s22
Γ i
ip2 0
=
λ1 0
0 λ2
s11 s12
s21 s22
,
или
Γ − λ1 ip2
i −λ1
s11
s12
= 0,
Γ − λ2 ip2
i −λ2
s21
s22
= 0.
С учетом уравнения для диагональных элементов −Γλ +
λ2 + p2 = 0 находим следующее решение:
λ1 =
1
2
Γ−
p
Γ2 − 4p2
=
i
2
λE−
p
λ2E2 + 4p2
,
is11 = λ1s12, s11 = −i ⇒ s12 =
1
λ1
;
λ2 =
1
2
Γ+
p
Γ2 − 4p2
=
i
2
λE+
p
λ2E2 + 4p2
,
is21 = λ2s22, s21 = −i ⇒ s22 =
1
λ2
. (24)
Таким образом, матрица преобразования S задается соот-
ношениями
S =
0
B@
−i
1
λ1
−i
1
λ2
1
CA
,
S
−1 =
0
B@
iλ1
λ1 − λ2
− iλ2
λ1 − λ2
− λ1λ2
λ1 − λ2
λ1λ2
λ1 − λ2
1
CA
. (25)
После выполненного преобразования имеем два раздель-
ных уравнения:
(Δ + σλ1) ¯ F = 0, (Δ + σλ2)¯G = 0,
Δ =
d2
dz2 +W2 − p2 −M2. (26)
Их решения будут приведены в следующем разделе.
3. Построение решений основного уравнения
Уравнения (26) имеют ту же структуру, что и в случае
обычной скалярной частицы во внешнем электрическом
поле
d2
dz2 + (Ez + ϵ)2 − μ2
Φ(z) = 0. (27)
Преобразуем уравнение (27) к новой переменной (предпо-
лагаем, что E > 0): Z = i(Ez + ϵ)2/E, σ = μ2/4E, в
результате получаем
d2
dZ2 +
1/2
Z
d
dZ
− 1
4
+
iσ
Z
Φ(Z) = 0. (28)
Это уравнение с двумя особыми точками. Точка Z = 0 ре-
гулярная, поведение решений около нее задается форму-
лами Z → 0, Φ(Z) = ZA, A = 0, 1
2 . Точка Z = ∞
нерегулярная, ее ранг равен 2. Действительно, переходя к
обратной переменной y = Z−1, получим
d2
dy2 +
3/2
y
d
dy
− 1
4y4 +
iσ
y3
Φ = 0. (29)
Асимптотическое поведение при y → 0 должно иметь
структуру Φ = yCeD/y, откуда следует
D1 =
1
2
, C1 =
1
4
+ iσ;
D2 = −1
2
, C2 =
1
4
− iσ. (30)
На бесконечности возможны два типа асимптотик:
Z → ∞, Φ = Z
−CeDZ =
56
Известия Коми научного центра УрО РАН, серия «Физико-математические науки» № 5 (57), 2022
www.izvestia.komisc.ru
=
(
Z−C1eD1Z = Z−1/4−iσeZ/2
Z−C2eD2Z = Z−1/4+iσe−Z/2,
(31)
где (используем главную ветвь логарифмической функции)
Z = i
(ϵ + Ez)2
E
= iZ0,
Z0 > 0, e
±Z/2 = e
±iZ0/2,
Z
−1/4∓iσ = (elniZ0)
−1/4∓iσ =
elnZ0+iπ/2
−1/4∓iσ
.
Найдем решения во всей области изменения пере-
менной Z. Для этого применим подстановку Φ(Z) =
ZAeBZf(Z), что приводит к
Z
d2
dZ2 +
2A +
1
2
+ 2BZ
d
dZ
+ σ
f(Z) = 0.
Учитывая ограничения A = 0, 1/2, B = −1/2, упроща-
ем уравнение до следующего:
Z
d2
dZ2+
2A+1/2−Z
d
dy
−
A+1/4−iσ
f(Z) = 0,
Данное уравнение вырожденного гипергеометрического
типа с параметрами
a = A +
1
4
− iσ, c = 2A +
1
2
,
f(Z) = ZAe
−Z/2F(a, c;Z). (32)
Без потери общности полагаем
A = 0, a =
1
4
− iσ, c =
1
2
,
Φ(Z) = e
−Z/2f(Z). (33)
Уравнение вырожденного гипергеометрического типа
имеет разные наборы линейно независимых решений. Сна-
чала рассмотрим следующую пару:
Y1(Z) = F(a, c;Z) = eZF(c − a, c;−Z), (34)
Y2(Z) = Z1−cF(a − c + 1, 2 − c;Z) =
= Z1−ceZF(1 − a, 2 − c;−Z). (35)
Это приводит к полным решениям в виде
Φ1 = e
−Z/2F(a, c;Z) = eZ/2F(c − a, c;−Z), (36)
Φ2 = e
−Z/2Z1−cF(a − c + 1, 2 − c;Z) =
= Z1−ce+Z/2F(1 − a, 2 − c;−Z). (37)
Учитывая тождества
c =
1
2
, a =
1
4
− iσ,
c − a =
1
4
+ iσ = a
∗
, c = c
∗
=
1
2
, Z
∗
= −Z,
a−c+1 =
3
4
−iσ = (1−a)
∗
, (2−c) = (2−c)
∗
=
3
2
,
заключаем, что решение для Φ1(Z) задается веществен-
ной функцией, а второе решение Φ2(Z) обладает простой
симметрией относительно комплексного сопряжения:
Φ1(Z) = [Φ1(Z)]
∗
, Φ2(Z) = i[Φ2(Z)]
∗
. (38)
Это свойство можно представить иначе, если воспользо-
ваться другой нормировкой:
¯Φ
2(Z) =
1 − √ i
2
Φ2(Z) =
=
1√− i
2
Φ2(Z)
∗
=
¯Φ
2(Z)
∗
. (39)
При малых Z решения ведут себя так:
Y1(Z) ≈ 1, Y2(Z) ≈
√
Z =
=
p
iZ0 =
r
i
eE
(ϵ + eEz); (40)
Φ1(Z) ≈ 1, Φ2(Z) ≈
√
Z =
=
p
iZ0 =
r
i
eE
(ϵ + eEz). (41)
При больших Z = iZ0, Z0 → +∞ имеем следующую
асимптотическую формулу:
F(a, c,Z) =
Γ(c)
Γ(c − a)
(−Z)
−a + . . .
+
+
Γ(c)
Γ(a)
eZZa−c + . . .
. (42)
Учитывая тождества
(−Z)
−a = (−iZ0)
−1/4+iσ =
eln Z0−iπ/2
−1/4+iσ
=
= e
−(−1/4+iσ)iπ/2e(−1/4+iσ) ln Z0 ,
Γ(c)
Γ(c − a)
=
Γ(1/2)
Γ(1/4 + iσ)
,
Γ(c)
Γ(a)
=
Γ(1/2)
Γ(1/4 − iσ)
,
получаем
Y1(Z) = F(a, c,Z) = eiZ0/2
Γ(1/2)
Γ(1/4 + iσ)
×
×e
−(−1/4+iσ)iπ/2e(−1/4+iσ) ln Z0e
−iZ0/2+ (43)
+
Γ(1/2)
Γ(1/4 − iσ)
e(−1/4−iσ)iπ/2e(−1/4−iσ) ln Z0e+iZ0/2
.
Отсюда, после перехода к полной функции Φ1(Z), полу-
чим
Φ1(Z) =
Γ(1/2)
Γ(1/4 + iσ)
×
×e
−(−1/4+iσ)iπ/2e(−1/4+iσ) ln Z0e
−iZ0/2+ (44)
+
Γ(1/2)
Γ(1/4 − iσ)
e+(−1/4−iσ)iπ/2e(−1/4−iσ) ln Z0e+iZ0/2
.
Известия Коми научного центра УрО РАН, серия «Физико-математические науки» № 5 (57), 2022
www.izvestia.komisc.ru 57
В (44) можно увидеть два сопряженных друг другу слага-
емых. Аналогично исследуется поведение и второго реше-
ния
F(a − c + 1, 2 − c,Z) =
Γ(2 − c)
Γ(1 − a)
(−Z)
−a+c−1+
+
Γ(2 − c)
Γ(a − c + 1)
eZZa−1. (45)
Отсюда, с учетом равенств
(−Z)
−a+c−1 =
= (−iZ0)
−3/4+iσ = (eln Z0−iπ/2)
−3/4+iσ =
= e
−(−3/4+iσ)iπ/2e(−3/4+iσ) ln Z0 ,
Za−1 = (iZ0)
−3/4−iσ = (eln Z0+iπ/2)
−3/4−iσ =
= e(−3/4−iσ)iπ/2e(−3/4−iσ) ln Z0 ,
Γ(2 − c)
Γ(1 − a)
=
Γ(3/2)
Γ(3/4 + iσ)
,
Γ(2 − c)
Γ(a − c + 1)
=
Γ(3/2)
Γ(3/4 − iσ)
,
получаем следующее поведение на бесконечности
F(a − c + 1, 2 − c,Z) = eiZ0/2
Γ(3/2)
Γ(3/4 + iσ)
×
×e
−(−3/4+iσ)iπ/2e(−3/4+iσ) ln Z0e
−iZ0/2+
+
Γ(3/2)
Γ(3/4 − iσ)
e(−3/4−iσ)iπ/2×
×e(−3/4−iσ) ln Z0e+iZ0/2
. (46)
Соотвественно, для функции Φ2(Z) находим выражение
(учтем, что
√
Z = e(1/2)(ln Z0+iπ/2)
Φ2(Z) =
√
ZZ1/2F(a − c + 1, 2 − c,Z) =
= eiπ/4
Γ(3/2)
Γ(3/4 + iσ)
e
−(−3/4+iσ)iπ/2×
×e(−1/4+iσ) ln Z0e
−iZ0/2+
+
Γ(3/2)
Γ(3/4 − iσ)
e(−3/4−iσ)iπ/2×
×e(−1/4−iσ) ln Z0e+iZ0/2
. (47)
Можно построить два решения, которые на бесконечно-
сти будут вести себя как комплексно сопряженные функ-
ции. Для этого нужно использовать другую пару решений
гипергеометрического уравнения:
Y5(Z) = Ψ(a, c;Z), Y7(Z) = eZΨ(c − a, c;−Z).
Две пары {Y5, Y7} и {Y1, Y2} связаны преобразованиями
Кеммера
Y5 =
Γ(1 − c)
Γ(a − c + 1)
Y1 +
Γ(c − 1)
Γ(a)
Y2,
Y7 =
Γ(1 − c)
Γ(1 − a)
Y1 − Γ(c − 1)
Γ(c − a)
eiπcY2. (48)
С учетом этого легко находим поведение функций при
|Z| → ∞
Y5 = Ψ(a, c;Z) = Z
−a =
= (iZ0)
−1/4+iσ =
eln Z0+iπ/2
−1/4+iσ
,
Y7(Z) = eZΨ(c − a, c;−Z) = eZ (−iZ0)a−c =
= eiZ0 (−iZ0)
−1/4−iσ =
= eiZ0
eln Z0−iπ/2
−1/4−iσ
(49)
или
Φ5 = e
−Z/2Y5 =
= e
−iZ0/2
eln Z0+iπ/2
−1/4+iσ
,
Φ7 = e
−Z/2Y7(Z) =
= e+iZ0/2
eln Z0−iπ/2
−1/4−iσ
. (50)
Эти функции комплексно сопряжены друг другу.
Заключение
Решенная задача допускает обобщение по нескольким
направлениям. Так, можно построить решения с цилиндри-
ческой симметрией. При этом возникает система из 10 урав-
нений в частных производных. Зависимость 10 функций от
полярной координаты r может быть зафиксирована с ис-
пользованием проективных операторов, строящихся на ос-
нове генератора j12, после чего система из 10 уравнений по
координате z решается с применением метода, использо-
ванного в настоящей работе. Можно аналогичным спосо-
бом исследовать уравнение для такой частицы в присут-
ствии внешнего однородного электрического поля, а также
учесть два внешних поля одновременно. Наконец, похожий
метод исследования применим и в ситуации, когда учиты-
ваются две дополнительные характеристики — аномаль-
ный магнитный момент и квадрупольный электрический
момент. По существу, во всех этих ситуациях срабатывает
один и тот же метод Федорова-Гронского, впервые приме-
ненный в работе 1960 г. [8]. Можно добавить, что такой под-
ход с использованием проективных операторов применим
и в теориях частиц с более высокими значениями спинов,
в частности со спинами 3/2 и 2.
1. Bogush, A.A. Duffin-Kemmer-Petiau formalism reexamined: nonrelativistic approximation for spin 0 and spin 1 particles in the Riemannian space-time / A.A. Bogush, V.V. Kisel, N.G. Tokarevskaya, V.M. Red’kov // Annales de la Fondation Louis de Broglie. – 2007. – Vol. 32. – № 2–3. – P. 355–381.
2. Kisel, V. Spin 1 particle with anomalous magnetic moment in the external uniform magnetic field / V. Kisel, Ya. Voynova, E. Ovsiyuk, V. Balan, V. Red’kov // Nonlinear Phenomena in Complex Systems. – 2017. – Vol. 20. – № 1. – P. 21–39.
3. Ovsiyuk, E.M. Spin 1 particle with anomalous magnetic moment in the external uniform electric field / E.M. Ovsiyuk, Ya.A. Voynova, V.V. Kisel, V. Balan, V.M. Red’kov // Quaternions: Theory and Applications. – New York: Nova Science Publishers, 2017. – P. 47–84.
4. Ovsiyuk, E.M. Techniques of projective operators used to construct solutions for a spin 1 particle with anomalous magnetic moment in the external magnetic field / E.M. Ovsiyuk, Ya.A. Voynova, V.V. Kisel, V. Balan, V.M. Red’kov // Quaternions: Theory and Applications. – New York: Nova Science Publishers, 2017. – P. 11–46.
5. Ovsiyuk, E.M. Spin 1 particle with anomalous magnetic moment in the external uniform electric field / E.M. Ovsiyuk, Ya.A. Voynova, V.V. Kisel, V. Balan, V.M. Red’kov // Nonlinear Phenomena in Complex Systems. – 2018. – Vol. 21. – № 1. – P. 1–20.
6. Kisel, V.V. Elementary particles with internal structure in external fields. Vol I. General theory / V.V. Kisel, E.M. Ovsiyuk, O.V. Veko, Y.A. Voynova, V. Balan [et al.]. – New York: Nova Science Publishers, 2018. – 404 p.
7. Kisel, V.V. Elementary particles with internal structure in external fields. Vol II. Physical problems / V.V. Kisel, E.M. Ovsiyuk, O.V. Veko, Y.A. Voynova, V. Balan [et al.]. – New York: Nova Science Publishers, 2018. – 402 p.
8. Gronskiy, V.K. Magnitnyye svoystva chastitsy so spinom 3/2 [Magnetic properties of a particle with spin 3/2] / V.K. Gronskiy, F.I. Fedorov // Doklady NAN Belarusi [Doklady NAS of Belarus]. – 1960. – Vol. 4. – № 7. – P. 278–283.
