Исследуется частица со спином 1 и аномальным маг- нитным моментом в присутствии внешнего однородного электрического поля. Используется обобщенное уравне- ние Даффина-Кеммера, записанное в декартовых коор- динатах (t, x, y, z). На его решениях диагонализируются операторы энергии и операторы проекций импульса Px и Py. Внешнее электрическое поле направлено вдоль оси z. Найдена система из 10 дифференциальных уравнений по переменной z. С использовнием генератора j03 для 10- компонентного поля вводятся три проективных оператора, которые позволяют представить полную волновую функ- цию в виде суммы трех частей. Одна из проективных со- ставляющих, зависящая от четырех функций, выбирает- ся как основная, две других определяются через нее. Для этих четырех функций выведены одно линейное условие связи и система из трех уравнений 2-го порядка для трех функций. Эта система после необходимого линейного пре- образования приводится к виду трех несвязанных урав- нений для трех новых функций. Они решаются в терминах вырожденных гипергеометрических функций, исследова- ны свойства найденных решений.
векторная частица, аномальный магнитный момент, внеш- нее электрическое поле, метод проективных операторов, точные решения
Введение
В настоящей работе будут найдены точные решения
уравнения Даффина-Кеммера для частицы со спином 1
и дополнительной электромагнитной характеристикой —
аномальным магнитным моментом [1–7]. Используется де-
картовая сиcтема координат. Для 10-компонентного поля
вводятся три проективных оператора [8], которые позволя-
ют разложить волновую функцию в сумму трех частей. Од-
на из составляющих, зависящая от четырех функций, яв-
ляется основной, две другие могут быть выражены через
нее. Для этих четырех функций выведено линейное усло-
вие связи, в результате возникает система из трех связан-
ных дифференциальных уравнений 2-го порядка для трех
функций. Эта система после специального линейного пре-
образования приводится к трем несвязанным уравнениям
Известия Коми научного центра УрО РАН, серия «Физико-математические науки» № 5 (57), 2022
www.izvestia.komisc.ru 51
для трех новых функций. Их решения построены в терми-
нах вырожденных гипергеометрических функций.
1. Обобщенное уравнение Даффина-Кеммера,
разделение переменных
Исходим из общего уравнения для частицы со спином 1
и аномальным магнитным моментом
n
βc(∂c − ieAc) + λ
1
2
Fab(x)JabP −M
o
Ψ = 0,
P =
I4 0
0 0
, (1)
где P — проективный оператор, выделяющий векторную
компоненту из волновой функции. В однородном электри-
ческом поле At = −Ez, Ftz = F03 = E уравнение
записывается в виде
β0
∂
∂z
+ iEz
+ β1 ∂
∂x
+ β2 ∂
∂y
+
+β3 ∂
∂z
+ ΓJ03P −M
Ψ = 0, (2)
где размерности величин такие:
[M] = 1/L, Γ = iλE, |, [Γ] = 1/L,
[E] = 1/L2, [t] = 1/L;
величина Γ — чисто мнимая. Для волновой функции ис-
пользуем подстановку
Ψ = e
−iϵteiaxeiby
H1
H2
,
H1 = (h0(z), h1(z), h2(z), h3(z))t,
H2 = (E1(z),E2(z),E3(z),B1(z),B2(z),B3(z))t,
где t обозначает транспонирование. Соответственно, урав-
нение принимает вид
i(Ez − ϵ)β0 + iaβ1 + ibβ2+
+β3 d
dz
+ Γj03P −M
Ψ(z) = 0. (3)
При использовании блочной формы
βa =
0 La
Ka 0
имеем два уравнения
i(Ez − ϵ)L0 + iaL1 + ibL2+
+L3 d
dz
H2 + Γj03
1 H1 −MH1 = 0, (4)
i(Ez − ϵ)K0 + iaK1 + ibK2+
+K3 d
dz
H1 −MH2 = 0. (5)
Приводим явный вид всех матриц в декартовом базисе
L0 =
0
B@
0 0 0 0 0 0
−1 0 0 0 0 0
0 −1 0 0 0 0
0 0 −1 0 0 0
1
CA
,
L1 =
0
B@
−1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 −1 0
1
CA
,
L2 =
0
B@
0 −1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 −1
0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0
1
CA
,
L3 =
0
B@
0 0 −1 0 0 0
0 0 0 0 +1 0
0 0 0 −1 0 0
0 0 0 0 0 0
1
CA
,
K0 =
0
BBBBB@
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
1
CCCCCA
,
K1 =
0
BBBBB@
−1 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 −1
0 0 1 0
1
CCCCCA
,
K2 =
0
BBBBB@
0 0 0 0
−1 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 1
0 0 0 0
0 −1 0 0
1
CCCCCA
,
K3 =
0
BBBBB@
0 0 0 0
0 0 0 0
−1 0 0 0
0 0 −1 0
0 1 0 0
0 0 0 0
1
CCCCCA
,
j03
1 =
0
B@
0 0 0 1
0 0 0 0
0 0 0 0
1 0 0 0
1
CA
,
j03
2 =
0
BBBBB@
0 0 0 0 1 0
0 0 0 −1 0 0
0 0 0 0 0 0
0 −1 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
1
CCCCCA
.
52
Известия Коми научного центра УрО РАН, серия «Физико-математические науки» № 5 (57), 2022
www.izvestia.komisc.ru
После простых вычислений получаем систему уравнений
по переменной z
−iaE1 − ibE2 + Γh3 − E
′
3 = mh0,
−ibB3 − i(Ez − ϵ)E1 + B
′
2 = Mh1,
iaB3 − i(Ez − ϵ)E2 − B
′
1 = Mh2,
ibB1 − iaB2 − i(Ez − ϵ)E3 + Γh0 = Mh3,
−iah0 + i(Ez − ϵ)h1 = ME1,
−ibh0 + i(Ez − ϵ)h2 = ME2,
i(Ez − ϵ)h3 − h0′ = ME3,
ibh3 − h
′
2 = MB1,
−iah3 + h
′
1 = MB2,
−ibh1 + iah2 = MB3,
(6)
где штрих обозначает производную по z.
2. Проективные операторы, метод Федорова-
Гронского
Ниже будем использовать метод Федорова-Гронского
[8]. Пусть
Y =
j03
1 0
0 J03
2
.
Убеждаемся, что выполняется минимальное уравнение
Y (Y − 1)(Y + 1) = 0. Это уравнение позволяет ввести
три проективных оператора
Π1 =
1
2
Y (Y + 1), Π2 =
1
2
Y (Y − 1),
Π3 = 1 − Y 2. (7)
С учетом их явного вида получаем выражения для трех
проективных составляющих
Ψ1 = Π1Ψ =
= (h0,
1
2
h1,
1
2
h2, h3,E1,E2,
1
2
E3,B1,B2,
1
2
B3)t,
Ψ2 = Π2Ψ =
= (0,−1
2
h1,−1
2
h2, 0, 0, 0,−1
2
E3, 0, 0,−1
2
B3)t,
Ψ3 = Π3Ψ = (0, h1, h2, 0, 0, 0,E3, 0, 0,B3)t.
Будем рассматривать переменную Ψ3 как основ-
ную, она зависит от функций h1, h2,E3,B3. Снача-
ла шесть уравнений из системы (6) решаем как ал-
гебраические относительно неосновных переменных
h0, h3,E1,E2,B1,B2, это дает
h0 = − 1
(a2 + b2 +M2)2 − Γ2M2
−ah1(a2+b2+M2)·
·(Ez −ϵ)−a2bEzh2 +a2bϵh2 +a2ME
′
3 +iaΓMh
′
1+
+b3(−E)zh2+b3ϵh2+b2ME
′
3
−bM2Ezh2+bM2ϵh2+
+ibΓMh
′
2 +M3E
′
3 + iΓM2E3(Ez − ϵ)
,
h3 = − 1
(a2 + b2 +M2)2 − Γ2M2
i(a3h
′
1 +ME3×
×(a2+b2+M2)(Ez−ϵ)+b(a2+b2+M2)h
′
2+ab2h
′
1+
+aM2h
′
1 + iaΓMh1(Ez − ϵ) + ibΓMEzh2−
−ibΓMϵh2 − iΓM2E3)],
E1 = − 1
M(a2 + b2 +M2)2 − Γ2M3
i(a(bh2×
×(a2 + b2 +M2)(Ez − ϵ) −M((a2 + b2 +M2)E
′
3+
+iΓ(ah
′
1+bh2)))−h1(Ez−ϵ)((b2+M2)(a2+b2+M2)−
−Γ2M2) − iaΓM2E3(Ez − ϵ))
,
E2 = − 1
M(a2 + b2 +M2)2 − Γ2M3
i(a4Ezh2−
−a4ϵh2 − abh1(a2 + b2 +M2)(Ez − ϵ)+
+a2b2Ezh2 − a2b2ϵh2 + a2bME
′
3+
+2a2M2Ezh2 − 2a2M2ϵh2 + iabΓMh
′
1+
+b3ME
′
3 + b2M2Ezh2 − b2M2ϵh2 + ib2ΓMh
′
2+
+bM3E
′
3 + ibΓM2E3(Ez − ϵ) +M4Ezh2−
−M4ϵh2 − Γ2M2Ezh2 + Γ2M2ϵh2)
,
B1 =
1
M(a2 + b2 +M2)2 − Γ2M3
bM((Ez − ϵ)×
×(E3(a2 + b2 +M2) + iΓ(ah1 + bh2)) − iΓME
′
3)−
−ah
′
2((a2 +M2)(a2 + b2 +M2) − Γ2M2)+
+ab(a2 + b2 +M2)h
′
1
,
B2 =
1
M(a2 + b2 +M2)2 − Γ2M3 [−aME3×
×(a2 + b2 +M2)(Ez − ϵ) − ab(a2 + b2 +M2)h
′
2+
+a2b2h
′
1 + a2M2h
′
1
− ia2ΓMh1(Ez − ϵ)−
−iabΓMEzh2 + iabΓMϵh2 + iaΓM2E
′
3+
+b4h
′
1 + 2b2M2h
′
1 +M4h
′
1
− Γ2M2h
′
1
.
Полученные выражения подставляем в оставшиеся четыре
уравнения; в результате находим уравнения для основных
функций h1, h2,E3,B3. Будем использовать новые пере-
менные
G = ah1 + bh2, H = bh1 − ah2, (8)
тогда уравнения для функций G,H,E3,B3 запишутся
так:
1) −a
a2E + b2E +M
ME − iΓ(ϵ − Ez)2
(a2 + b2 +M2)2 − Γ2M2 E3+
+
iaΓM
(a2 + b2 +M2)2 − Γ2M2E
′′
3+
+
aM(a2 + b2 − Γ2 +M2)
(a2 + b2)
(a2 + b2 +M2)2 − Γ2M2
G
′′
+
Известия Коми научного центра УрО РАН, серия «Физико-математические науки» № 5 (57), 2022
www.izvestia.komisc.ru 53
+
b
(a2 + b2)M
H
′′ − b
M2 − (ϵ − Ez)2
M(a2 + b2)
H−
− 1
(a2 + b2)
(a2 + b2 +M2)2 − Γ2M2
a
a4M+
+a2(2b2M + 2M3 −M(ϵ − Ez)2 + iΓE) + b4M+
+b2(2M3−M(ϵ−Ez)2+iΓE)+M(M−Γ)(Γ+M)×
×
M2 − (ϵ − Ez)2
G − ibB3 = 0,
2) − b
a2E + b2E +M
ME − iΓ(ϵ − Ez)2
(a2 + b2 +M2)2 − Γ2M2 E3+
+
iaΓM
(a2 + b2 +M2)2 − Γ2M2E
′′
3+
+
bM(a2 + b2 − Γ2 +M2)
(a2 + b2)((a2 + b2 +M2)2 − Γ2M2)
G
′′−
− a
M(a2 + b2H
′′
+
a(M2 − (ϵ − Ez)2)
M(a2 + b2)
H−
− 1
(a2 + b2)
(a2 + b2 +M2)2 − Γ2M2
b
a4M+
+a2
2b2M + 2M3 −M(ϵ − Ez)2 + iΓE
+ b4M+
+b2
2M3−M(ϵ−Ez)2+iΓE
+M(M−Γ)(Γ+M)×
×
M2 − (ϵ − Ez)2
G + iaB3 = 0,
3)
M(a2 + b2 +M2)
(a2 + b2 +M2)2 − Γ2M2E
′′
3+
+
1
(a2 + b2 +M2)2 − Γ2M2M
−a4 + a2(−2b2−
−2M2 + (ϵ − Ez)2) − b4 + b2((ϵ − Ez)2 − 2M2)+
+M
−M3 +M
Γ2 + (ϵ − Ez)2
+ iΓE
E3+
+
iΓM
(a2 + b2 +M2)2 − Γ2M2G
′′−
−
a2E + b2E +M
ME − iΓ(ϵ − Ez)2
(a2 + b2 +M2)2 − Γ2M2 G = 0,
4) −MB3 − iH = 0 ⇒ B3 = − i
M
H.
Складываем и вычитаем уравнения 1) и 2), в результате по-
лучаем
iΓM(a + b)
(a2 + b2 +M2) − Γ2M2E
′′
3
−
−(a + b)
a2E + b2E +M
ME − iΓ(ϵ − Ez)2
(a2 + b2 +M2)2 − Γ2M2 E3+
+
(b − a)
M(a2 + b2)
H
′′
+
(a − b)
M2 − (ϵ − Ez)2
M(a2 + b2)
H+
+
M(a + b)(a2 + b2 − Γ2 +M2)
(a2 + b2)
(a2 + b2 +M2)2 − Γ2M2
G
′′
+
+
1
(a2 + b2)
(a2 + b2 +M2) − Γ2M2
(a+b)
a4(−M)+
+a2
−2b2M − 2M3 +M(ϵ − Ez)2 − iΓE
− b4M+
+b2
−2M3 +M(ϵ − Ez)2 − iΓE
−M(M2 − Γ2)×
×(M + Ez − ϵ)(M − Ez + ϵ)
G + i(a − b)B3 = 0;
iΓM(a − b)
(a2 + b2 +M2)2 − Γ2M2E
′′
3
−
−(a − b)
a2E + b2E +M
ME − iΓ(ϵ − Ez)2
(a2 + b2 +M2)2 − Γ2M2 E3+
+
(a + b)
a2M + b2M
H
′′ − (a + b)
M2 − (ϵ − Ez)2
M(a2 + b2)
H+
+
M(a − b)(a2 + b2 − Γ2 +M2)
(a2 + b2)
(a2 + b2 +M2)2 − Γ2M2
G
′′
+
+
1
(a2 + b2)
(a2 + b2 +M2) − Γ2M2
(a+b)
a4(−M)+
+a2
−2b2M − 2M3 +M(ϵ − Ez)2 − iΓE
− b4M+
+b2
−2M3 +M(ϵ − Ez)2 − iΓE
−M(M2 − Γ2)×
×(M + Ez − ϵ)(M − Ez + ϵ)
G − i(a + b)B3 = 0.
Данные уравнения можно записать в более короткой
форме, если использовать обозначения
K =
iΓM
D
,
L =
a2E + b2E +M
ME − iΓ(ϵ − Ez)2
D
,
N = − 1
M(a2 + b2)
, P =
M2 − (ϵ − Ez)2
M(a2 + b2)
,
O =
M(a2 + b2 − Γ2 +M2)
(a2 + b2)D
,
T =
1
(a2 + b2)D
−Ma4 + a2
−2b2M − 2M3+
+M(ϵ−Ez)2−iΓE
−b4M+b2
−2M3+M(ϵ−Ez)2−
−iΓE
−M(M2 − Γ2)
M2 − (ϵ − Ez)2
,
D = (a2 + b2 +M2) − Γ2M2.
Тогда они примут вид
(a + b)
K
d2
dz2
− L
E3 + (a − b)
N
d2
dz2 + P
H+
+(a + b)
O
d2
dz2 + T
G + i(a − b)B3 = 0,
(a − b)
K
d2
dz2
− L
E3 − (a + b)
N
d2
dz2 + P
H+
+(a − b)
O
d2
dz2 + T
G − i(a + b)B3 = 0. (9)
54
Известия Коми научного центра УрО РАН, серия «Физико-математические науки» № 5 (57), 2022
www.izvestia.komisc.ru
В (9) первое уравнение разделим на (a+b) , а второе — на
(a − b)
K
d2
dz2
− L
E3 +
a − b
a + b
N
d2
dz2 + P
H+
+
O
d2
dz2 + T
G + i
a − b
a + b
B3 = 0,
K
d2
dz2
− L
E3 − a + b
a − b
N
d2
dz2 + P
H+
+
O
d2
dz2 + T
G − i
a + b
a − b
B3 = 0 (10)
и вычтем результаты, получим
a − b
a + b
+
a + b
a − b
(
N
d2
dz2 + P
H + iB3
)
= 0.
Откуда следует
N
d2
dz2 + P
H + iB3 = 0. (11)
Из (11), учитывая четвертое уравнение
iB3 =
H
M
, (12)
находим уравнение для функции H:
N
d2
dz2 + P +
1
M
H = 0. (13)
Теперь первое уравнение в (9) разделим на (a − b) , а
второе — на (a + b)
a + b
a − b
K
d2
dz2
− L
E3 +
N
d2
dz2 + P
H+
+
a + b
a − b
O
d2
dz2 + T
G + iB3 = 0,
a − b
a + b
K
d2
dz2
− L
E3 −
N
d2
dz2 + P
H+
+
a − b
a + b
O
d2
dz2 + T
G − iB3 = 0. (14)
Складывая два последних уравнения, получаем
K
d2
dz2
− L
E3 +
O
d2
dz2 + T
G = 0. (15)
Осталось неиспользованным третье уравнение
3)
M(a2 + b2 +M2)
(a2 + b2 +M2)2 − Γ2M2E
′′
3+
+
1
(a2 + b2 +M2)2 − Γ2M2M
−a4 + a2(−2b2−
−2M2 + (ϵ − Ez)2) − b4 + b2((ϵ − Ez)2 − 2M2)+
+M
−M3 +M
Γ2 + (ϵ − Ez)2
+ iΓE
E3+
+
iΓM
(a2 + b2 +M2)2 − Γ2M2G
′′−
−
a2E + b2E +M
ME − iΓ(ϵ − Ez)2
(a2 + b2 +M2)2 − Γ2M2 G = 0,
его можно записать так:
O
′ d2
dz2 + T
′
E3 +
K
d2
dz2
− L
G = 0, (16)
где учитываем прежние и добавленные обозначения
O
′
=
1
D
M(a2 + b2 +M2),
T
′
=
1
D
h
−Ma4−2Ma2b2−2M3a2+Ma2(ϵ−Ez)2−
−Mb4 +Mb2(ϵ − Ez)2 − 2M3b2 −M5+
+M3Γ2 +M3(ϵ − Ez)2 + iM2ΓE
i
.
Выпишем уравнения для функций E3,G (пусть E3 = F):
K
d2
dz2
− L
F +
O
d2
dz2 + T
G = 0,
O
′ d2
dz2 + T
′
F +
K
d2
dz2
− L
G = 0. (17)
Умножаем первое уравнение в (17) на некоторый параметр
α, второе — на параметр β и результаты складываем. Есть
две возможности.
Первая возможность:
αK + βO
′
= 1, αO + βK = 0 ⇒
⇒ d2
dz2 F + (−αL + βT
′
)F + (αT − βL)G = 0,
при этом
α =
K
K2 − OO′ = −iΓ(a2 + b2)
M
,
β = − O
K2 − OO′ =
a2 + b2 − Γ2 +M2
M
(18)
и уравнение 2-го порядка принимает вид
d2
dz2 F +
−a2 − b2 + Γ2 −M2+
+
iΓE
M
+W2
F +
− E
M
+ iΓ
G = 0. (19)
Вторая возможность:
αK + βO
′
= 0, αO + βK = 1 ⇒
⇒ (−αL + βT
′
)F +
d2
dz2G + (αT − βL)G = 0,
при этом
α =
O′
OO′ − K2 =
(a2 + b2)(a2 + b2 +M2)
M
,
β = − K
OO′ − K2 = −iΓ(a2 + b2)
M
(20)
Известия Коми научного центра УрО РАН, серия «Физико-математические науки» № 5 (57), 2022
www.izvestia.komisc.ru 55
и уравнение 2-го порядка примет вид
−(a2 + b2)(E − iΓM)
M
F +
d2
dz2G+
+(−a2 − b2 −M2 +W2)G = 0. (21)
После необходимых вычислений находим явный вид урав-
нений (19) и (21):
d2
dz2 +W2 − a2 − b2 −M2
F =
= −Γ
Γ +
iE
M
F − i
Γ +
iE
M
G,
d2
dz2 +W2 − a2 − b2 −M2
G =
= −i(a2 + b2)
Γ +
iE
M
F. (22)
Введем обозначения
Δ =
d2
dz2 +W2 − a2 − b2 −M2
,
a2 + b2 = p2, Γ +
iE
M
= σ = iλE +
iE
M
,
тогда система принимает вид
ΔF = −σΓF − iσG, ΔG = −iσp2F,
или
Δ
F
G
= −σA
F
G
, A =
Γ i
ip2 0
. (23)
Найдем преобразование, диагонализирующее матрицу
смешивания A:
ΔΨ = −σAΨ, Ψ
′
= SΨ, S
−1ψ
′
= Ψ ⇒
ΔΨ
′
= −σSAS
−1Ψ
′
, Ψ
′
=
¯ F
¯G
,
т. е. получаем уравнение
SAS
−1 = A
′
=
λ1 0
0 λ2
⇒
⇒
s11 s12
s21 s22
Γ i
ip2 0
=
λ1 0
0 λ2
s11 s12
s21 s22
,
или
Γ − λ1 ip2
i −λ1
s11
s12
= 0,
Γ − λ2 ip2
i −λ2
s21
s22
= 0.
С учетом уравнения для диагональных элементов −Γλ +
λ2 + p2 = 0 находим следующее решение:
λ1 =
1
2
Γ−
p
Γ2 − 4p2
=
i
2
λE−
p
λ2E2 + 4p2
,
is11 = λ1s12, s11 = −i ⇒ s12 =
1
λ1
;
λ2 =
1
2
Γ+
p
Γ2 − 4p2
=
i
2
λE+
p
λ2E2 + 4p2
,
is21 = λ2s22, s21 = −i ⇒ s22 =
1
λ2
. (24)
Таким образом, матрица преобразования S задается соот-
ношениями
S =
0
B@
−i
1
λ1
−i
1
λ2
1
CA
,
S
−1 =
0
B@
iλ1
λ1 − λ2
− iλ2
λ1 − λ2
− λ1λ2
λ1 − λ2
λ1λ2
λ1 − λ2
1
CA
. (25)
После выполненного преобразования имеем два раздель-
ных уравнения:
(Δ + σλ1) ¯ F = 0, (Δ + σλ2)¯G = 0,
Δ =
d2
dz2 +W2 − p2 −M2. (26)
Их решения будут приведены в следующем разделе.
3. Построение решений основного уравнения
Уравнения (26) имеют ту же структуру, что и в случае
обычной скалярной частицы во внешнем электрическом
поле
d2
dz2 + (Ez + ϵ)2 − μ2
Φ(z) = 0. (27)
Преобразуем уравнение (27) к новой переменной (предпо-
лагаем, что E > 0): Z = i(Ez + ϵ)2/E, σ = μ2/4E, в
результате получаем
d2
dZ2 +
1/2
Z
d
dZ
− 1
4
+
iσ
Z
Φ(Z) = 0. (28)
Это уравнение с двумя особыми точками. Точка Z = 0 ре-
гулярная, поведение решений около нее задается форму-
лами Z → 0, Φ(Z) = ZA, A = 0, 1
2 . Точка Z = ∞
нерегулярная, ее ранг равен 2. Действительно, переходя к
обратной переменной y = Z−1, получим
d2
dy2 +
3/2
y
d
dy
− 1
4y4 +
iσ
y3
Φ = 0. (29)
Асимптотическое поведение при y → 0 должно иметь
структуру Φ = yCeD/y, откуда следует
D1 =
1
2
, C1 =
1
4
+ iσ;
D2 = −1
2
, C2 =
1
4
− iσ. (30)
На бесконечности возможны два типа асимптотик:
Z → ∞, Φ = Z
−CeDZ =
56
Известия Коми научного центра УрО РАН, серия «Физико-математические науки» № 5 (57), 2022
www.izvestia.komisc.ru
=
(
Z−C1eD1Z = Z−1/4−iσeZ/2
Z−C2eD2Z = Z−1/4+iσe−Z/2,
(31)
где (используем главную ветвь логарифмической функции)
Z = i
(ϵ + Ez)2
E
= iZ0,
Z0 > 0, e
±Z/2 = e
±iZ0/2,
Z
−1/4∓iσ = (elniZ0)
−1/4∓iσ =
elnZ0+iπ/2
−1/4∓iσ
.
Найдем решения во всей области изменения пере-
менной Z. Для этого применим подстановку Φ(Z) =
ZAeBZf(Z), что приводит к
Z
d2
dZ2 +
2A +
1
2
+ 2BZ
d
dZ
+ σ
f(Z) = 0.
Учитывая ограничения A = 0, 1/2, B = −1/2, упроща-
ем уравнение до следующего:
Z
d2
dZ2+
2A+1/2−Z
d
dy
−
A+1/4−iσ
f(Z) = 0,
Данное уравнение вырожденного гипергеометрического
типа с параметрами
a = A +
1
4
− iσ, c = 2A +
1
2
,
f(Z) = ZAe
−Z/2F(a, c;Z). (32)
Без потери общности полагаем
A = 0, a =
1
4
− iσ, c =
1
2
,
Φ(Z) = e
−Z/2f(Z). (33)
Уравнение вырожденного гипергеометрического типа
имеет разные наборы линейно независимых решений. Сна-
чала рассмотрим следующую пару:
Y1(Z) = F(a, c;Z) = eZF(c − a, c;−Z), (34)
Y2(Z) = Z1−cF(a − c + 1, 2 − c;Z) =
= Z1−ceZF(1 − a, 2 − c;−Z). (35)
Это приводит к полным решениям в виде
Φ1 = e
−Z/2F(a, c;Z) = eZ/2F(c − a, c;−Z), (36)
Φ2 = e
−Z/2Z1−cF(a − c + 1, 2 − c;Z) =
= Z1−ce+Z/2F(1 − a, 2 − c;−Z). (37)
Учитывая тождества
c =
1
2
, a =
1
4
− iσ,
c − a =
1
4
+ iσ = a
∗
, c = c
∗
=
1
2
, Z
∗
= −Z,
a−c+1 =
3
4
−iσ = (1−a)
∗
, (2−c) = (2−c)
∗
=
3
2
,
заключаем, что решение для Φ1(Z) задается веществен-
ной функцией, а второе решение Φ2(Z) обладает простой
симметрией относительно комплексного сопряжения:
Φ1(Z) = [Φ1(Z)]
∗
, Φ2(Z) = i[Φ2(Z)]
∗
. (38)
Это свойство можно представить иначе, если воспользо-
ваться другой нормировкой:
¯Φ
2(Z) =
1 − √ i
2
Φ2(Z) =
=
1√− i
2
Φ2(Z)
∗
=
¯Φ
2(Z)
∗
. (39)
При малых Z решения ведут себя так:
Y1(Z) ≈ 1, Y2(Z) ≈
√
Z =
=
p
iZ0 =
r
i
eE
(ϵ + eEz); (40)
Φ1(Z) ≈ 1, Φ2(Z) ≈
√
Z =
=
p
iZ0 =
r
i
eE
(ϵ + eEz). (41)
При больших Z = iZ0, Z0 → +∞ имеем следующую
асимптотическую формулу:
F(a, c,Z) =
Γ(c)
Γ(c − a)
(−Z)
−a + . . .
+
+
Γ(c)
Γ(a)
eZZa−c + . . .
. (42)
Учитывая тождества
(−Z)
−a = (−iZ0)
−1/4+iσ =
eln Z0−iπ/2
−1/4+iσ
=
= e
−(−1/4+iσ)iπ/2e(−1/4+iσ) ln Z0 ,
Γ(c)
Γ(c − a)
=
Γ(1/2)
Γ(1/4 + iσ)
,
Γ(c)
Γ(a)
=
Γ(1/2)
Γ(1/4 − iσ)
,
получаем
Y1(Z) = F(a, c,Z) = eiZ0/2
Γ(1/2)
Γ(1/4 + iσ)
×
×e
−(−1/4+iσ)iπ/2e(−1/4+iσ) ln Z0e
−iZ0/2+ (43)
+
Γ(1/2)
Γ(1/4 − iσ)
e(−1/4−iσ)iπ/2e(−1/4−iσ) ln Z0e+iZ0/2
.
Отсюда, после перехода к полной функции Φ1(Z), полу-
чим
Φ1(Z) =
Γ(1/2)
Γ(1/4 + iσ)
×
×e
−(−1/4+iσ)iπ/2e(−1/4+iσ) ln Z0e
−iZ0/2+ (44)
+
Γ(1/2)
Γ(1/4 − iσ)
e+(−1/4−iσ)iπ/2e(−1/4−iσ) ln Z0e+iZ0/2
.
Известия Коми научного центра УрО РАН, серия «Физико-математические науки» № 5 (57), 2022
www.izvestia.komisc.ru 57
В (44) можно увидеть два сопряженных друг другу слага-
емых. Аналогично исследуется поведение и второго реше-
ния
F(a − c + 1, 2 − c,Z) =
Γ(2 − c)
Γ(1 − a)
(−Z)
−a+c−1+
+
Γ(2 − c)
Γ(a − c + 1)
eZZa−1. (45)
Отсюда, с учетом равенств
(−Z)
−a+c−1 =
= (−iZ0)
−3/4+iσ = (eln Z0−iπ/2)
−3/4+iσ =
= e
−(−3/4+iσ)iπ/2e(−3/4+iσ) ln Z0 ,
Za−1 = (iZ0)
−3/4−iσ = (eln Z0+iπ/2)
−3/4−iσ =
= e(−3/4−iσ)iπ/2e(−3/4−iσ) ln Z0 ,
Γ(2 − c)
Γ(1 − a)
=
Γ(3/2)
Γ(3/4 + iσ)
,
Γ(2 − c)
Γ(a − c + 1)
=
Γ(3/2)
Γ(3/4 − iσ)
,
получаем следующее поведение на бесконечности
F(a − c + 1, 2 − c,Z) = eiZ0/2
Γ(3/2)
Γ(3/4 + iσ)
×
×e
−(−3/4+iσ)iπ/2e(−3/4+iσ) ln Z0e
−iZ0/2+
+
Γ(3/2)
Γ(3/4 − iσ)
e(−3/4−iσ)iπ/2×
×e(−3/4−iσ) ln Z0e+iZ0/2
. (46)
Соотвественно, для функции Φ2(Z) находим выражение
(учтем, что
√
Z = e(1/2)(ln Z0+iπ/2)
Φ2(Z) =
√
ZZ1/2F(a − c + 1, 2 − c,Z) =
= eiπ/4
Γ(3/2)
Γ(3/4 + iσ)
e
−(−3/4+iσ)iπ/2×
×e(−1/4+iσ) ln Z0e
−iZ0/2+
+
Γ(3/2)
Γ(3/4 − iσ)
e(−3/4−iσ)iπ/2×
×e(−1/4−iσ) ln Z0e+iZ0/2
. (47)
Можно построить два решения, которые на бесконечно-
сти будут вести себя как комплексно сопряженные функ-
ции. Для этого нужно использовать другую пару решений
гипергеометрического уравнения:
Y5(Z) = Ψ(a, c;Z), Y7(Z) = eZΨ(c − a, c;−Z).
Две пары {Y5, Y7} и {Y1, Y2} связаны преобразованиями
Кеммера
Y5 =
Γ(1 − c)
Γ(a − c + 1)
Y1 +
Γ(c − 1)
Γ(a)
Y2,
Y7 =
Γ(1 − c)
Γ(1 − a)
Y1 − Γ(c − 1)
Γ(c − a)
eiπcY2. (48)
С учетом этого легко находим поведение функций при
|Z| → ∞
Y5 = Ψ(a, c;Z) = Z
−a =
= (iZ0)
−1/4+iσ =
eln Z0+iπ/2
−1/4+iσ
,
Y7(Z) = eZΨ(c − a, c;−Z) = eZ (−iZ0)a−c =
= eiZ0 (−iZ0)
−1/4−iσ =
= eiZ0
eln Z0−iπ/2
−1/4−iσ
(49)
или
Φ5 = e
−Z/2Y5 =
= e
−iZ0/2
eln Z0+iπ/2
−1/4+iσ
,
Φ7 = e
−Z/2Y7(Z) =
= e+iZ0/2
eln Z0−iπ/2
−1/4−iσ
. (50)
Эти функции комплексно сопряжены друг другу.
Заключение
Решенная задача допускает обобщение по нескольким
направлениям. Так, можно построить решения с цилиндри-
ческой симметрией. При этом возникает система из 10 урав-
нений в частных производных. Зависимость 10 функций от
полярной координаты r может быть зафиксирована с ис-
пользованием проективных операторов, строящихся на ос-
нове генератора j12, после чего система из 10 уравнений по
координате z решается с применением метода, использо-
ванного в настоящей работе. Можно аналогичным спосо-
бом исследовать уравнение для такой частицы в присут-
ствии внешнего однородного электрического поля, а также
учесть два внешних поля одновременно. Наконец, похожий
метод исследования применим и в ситуации, когда учиты-
ваются две дополнительные характеристики — аномаль-
ный магнитный момент и квадрупольный электрический
момент. По существу, во всех этих ситуациях срабатывает
один и тот же метод Федорова-Гронского, впервые приме-
ненный в работе 1960 г. [8]. Можно добавить, что такой под-
ход с использованием проективных операторов применим
и в теориях частиц с более высокими значениями спинов,
в частности со спинами 3/2 и 2.
1. Bogush, A.A. Duffin-Kemmer-Petiau formalism reexamined: nonrelativistic approximation for spin 0 and spin 1 particles in the Riemannian space-time / A.A. Bogush, V.V. Kisel, N.G. Tokarevskaya, V.M. Red’kov // Annales de la Fondation Louis de Broglie. – 2007. – Vol. 32. – № 2–3. – P. 355–381.
2. Kisel, V. Spin 1 particle with anomalous magnetic moment in the external uniform magnetic field / V. Kisel, Ya. Voynova, E. Ovsiyuk, V. Balan, V. Red’kov // Nonlinear Phenomena in Complex Systems. – 2017. – Vol. 20. – № 1. – P. 21–39.
3. Ovsiyuk, E.M. Spin 1 particle with anomalous magnetic moment in the external uniform electric field / E.M. Ovsiyuk, Ya.A. Voynova, V.V. Kisel, V. Balan, V.M. Red’kov // Quaternions: Theory and Applications. – New York: Nova Science Publishers, 2017. – P. 47–84.
4. Ovsiyuk, E.M. Techniques of projective operators used to construct solutions for a spin 1 particle with anomalous magnetic moment in the external magnetic field / E.M. Ovsiyuk, Ya.A. Voynova, V.V. Kisel, V. Balan, V.M. Red’kov // Quaternions: Theory and Applications. – New York: Nova Science Publishers, 2017. – P. 11–46.
5. Ovsiyuk, E.M. Spin 1 particle with anomalous magnetic moment in the external uniform electric field / E.M. Ovsiyuk, Ya.A. Voynova, V.V. Kisel, V. Balan, V.M. Red’kov // Nonlinear Phenomena in Complex Systems. – 2018. – Vol. 21. – № 1. – P. 1–20.
6. Kisel, V.V. Elementary particles with internal structure in external fields. Vol I. General theory / V.V. Kisel, E.M. Ovsiyuk, O.V. Veko, Y.A. Voynova, V. Balan [et al.]. – New York: Nova Science Publishers, 2018. – 404 p.
7. Kisel, V.V. Elementary particles with internal structure in external fields. Vol II. Physical problems / V.V. Kisel, E.M. Ovsiyuk, O.V. Veko, Y.A. Voynova, V. Balan [et al.]. – New York: Nova Science Publishers, 2018. – 402 p.
8. Гронский, В.К. Магнитные свойства частицы со спином 3/2 / В.К. Гронский, Ф.И. Федоров // Доклады НАН Беларуси. – 1960. – Т. 4. – № 7. – С. 278–283.
