Пусть H (G) есть пространство аналитических функций одной переменной в односвязной области G комплексной плоскости. Известно, что линейный оператор комплексной свёртки порождается аналитической функцией одной переменной, вообще говоря, многозначной. Решается известная задача, когда все такие функции будут однозначными. Оказалось, что решение связано с геометрией области G. Назовём вычетом области G множество s(G) со свойством s(G)+G ⊆ G Описан класс односвязных областей, вычет которых есть связное множество. Пусть линейный оператор непрерывен в пространстве функций, аналитических в односвязной области G , и коммутирует с дифференцированием. Тогда он представим в виде оператора комплексной свёртки. В работе доказано, что для областей со связным вычетом порождающая такой оператор функция всегда будет однозначной. Если вычет области G не связный, то всегда существует оператор комплексной свёртки, у которого порождающая ядро функция будет многозначной.
вычет области, оператор, коммутирующий с оператором дифференцирования, ядро оператора
Введение. Рассматриваемые в статье задачи входят в направление исследований, представленное работами [1‒7]. Пусть G - односвязная область в комплексной плоскости C , и последовательность ограниченных расширяющихся областей 
с кусочно-гладкой границей исчерпывает G. H (G) - пространство Фреше аналитических в G функций с топологией равномерной сходимости на компактах.
1. Schwartz, L.Theorie generale des fonctions moyenne-periodiques / L. Schwartz // Ann. of Math. — 1947. — Series 2. — V. 48. — Pp. 857‒929.
2. Köthe, G.-J. Dualitat in der Funktionentheorie / G.-J. Köthe. — Reine angew. math. — 1953. — Bd. 191. — S. 30‒49.
3. Dickson, D. G. Analytic mean periodic functions / D. G. Dickson // Trans. Amer. Math. Soc. — 1964. — V. 110. — Pp. 361‒374.
4. Царьков, Ю. М. Изоморфизмы некоторых аналитических пространств, перестановочных со степенью оператора дифференцирования / Ю. М. Царьков // Теория функций, функциональный анализ и их приложения. — 1970. — Т. 11. — С. 86‒92.
5. Братищев, А. В. Общий вид линейных операторов, перестановочных с операцией дифференцирования / А. В. Братищев, Ю. Ф. Коробейник // Математические заметки. — 1972. — Т. 12. — С. 187‒195.
6. Коробейник, Ю. Ф. Об одном классе линейных операторов / Ю. Ф. Коробейник // Висши технически учебни заведения. Математика. — 1973. — Т. IX, кн. 3. — С. 23‒31.
7. Коробейник, Ю. Ф. О разрешимости в комплексной области некоторых общих классов операторных уравнений / Ю. Ф. Коробейник. — Ростов-на-Дону : ООО «ЦВВР», 2005. — 246 с.
8. Бурбаки, Н. Функции действительного переменного / Н. Бурбаки. — Москва : Наука, 1965. — 424 с.
9. Братищев, А. В. Операторы обобщённого дифференцирования Гельфонда—Леонтьева и полиномы Бренке / А. В. Братищев // Вестник Дон. гос. техн. ун-та. — 2010. — Т. 10. — № 6 (79). — С. 813‒824.
10. Братищев, А. В. Об операторах комплексной свёртки и обобщённого дифференцирования / А.В. Братищев // Труды математического центра им. Н. И. Лобачевского. — 2013. — Т. 46. — С. 127‒130.
