Москва, г. Москва и Московская область, Россия
Как известно, дифференциальная геометрия изучает свойства кривых линий (касательная, кривизна, кручение), поверхностей (изгибание, первая и вторая основные квадратичные формы) и их семейств в малом, т.е. в окрестности точки средствами дифференциального исчисления. Алгебраическая геометрия изучает свойства алгебраических кривых, поверхностей, а также алгебраических многообразий в целом [1; 17]: порядок, класс, жанр, наличие особых точек и линий, пересечения семейства кривых линий и поверхностей (пучки, связки, конгруэнции, комплексы и их характеристики). Особое место среди них занимают рациональные кривые и поверхности: • их конструирование посредством бирациональных (кремоновых) преобразований [10; 21]; • исследование их свойств путем отображения на прямые и плоскости [9; 21; 22]; • конструирование гладких обводов из дуг рациональных кривых, принадлежащих поверхностям [10]. Представляется, что основные результаты, полученные в этом направлении математиками во второй половине XIX в. конструктивно-геометрическими методами, должны составлять теоретическое обеспечение способов проектирования технических форм, удовлетворяющих ряду наперед заданных требований с использованием современной вычислительной техники и информационных технологий. Очевидно, что применение мощного аппарата кремоновых преобразований целесообразно при конструировании, например, трубопроводов сложной геометрии по заданным линиям тока, тонкостенных оболочек по заданному сетчатому каркасу линий кривизны и т.д. По-видимому, этот этап должен предшествовать вычислительным процедурам компьютерной графики. Однако в отечественных публикациях по прикладной (инженерной) геометрии вопросам исследования поверхностей в целом уделяется мало внимания. Использование такого подхода для решения указанных прикладных задач автору вообще неизвестно. В связи с этим целью предлагаемой статьи является: • иллюстрация способа отображения поверхности на плоскость для изучения ее свойств в целом на примере построения плоской модели однополостного гиперболоида; • конструктивный подход к построению гладких одномерных обводов на рациональных поверхностях.
нормкривая, однополостный гиперболоид, отображение, стереографическое, криволинейное и косое проецирования, преобразование Гирста, одномерный обвод.
В первой половине XIX в. появились новые виды геометрии: проективная и алгебраическая, неевклидовы геометрии Лобачевского — Бойяи и Римана.
1. Александров А.Д. Геометрия в целом [Текст] / А.Д. Александров, В.А. Залгаллер // Математическая энциклопедия. — Т. 1. — М., 1977. — С. 943–944.
2. Божко А.Н. Компьютерная графика [Текст] / А.Н. Божко, Д.М. Жук, В. Б. Маничев. — М.: Из-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2007. — 396 с.
3. Боровиков И.Ф. Новые подходы преподавания начертательной геометрии в условиях использования информационных образовательных технологий [Текст] / И.Ф. Боровиков, Г.С. Иванов, В.И. Серегин, Н.Г. Суркова // Инженерный вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. — 2014. — № 12.
4. Глаголев Н.А. Проективная геометрия [Текст] / Н.А. Глаголев. — М.: Высшая школа, 1963. — 343 с.
5. Голованов Н.Н. Геометрическое моделирование [Текст] / Н.Н. Голованов. — М.: Изд-во физико-математической литературы, 2002. — 472 с.
6. Гузненков В.Н. Геометро-графическая подготовка как интегрирующий фактор образовательного процесса [Текст] / В.Н. Гузненков, В.И. Якунин // Образование и общество. — 2014. — № 2. — С. 26–28.
7. Гузненков В.Н. Принципы формирования структуры и содержания геометро-графической подготовки [Текст] / В.Н. Гузненков, В.И. Якунин // Стандарты и мониторинг в образовании. — 2013. — № 6. — С. 34–39.
8. Ефимов Н.В. Неевклидовы геометрии [Текст] / Н.В. Ефимов // Математическая энциклопедия. — Т. 3. — М., 1982. — С. 910–914.
9. Иванов Г.С. Теоретические основы начертательной геометрии [Текст] / Г.С. Иванов. — М.: Машиностроение, 1988. — 158 с.
10. Иванов Г.С. Конструирование технических поверхностей (математическое моделирование на основе нелинейных преобразований) [Текст] / Г.С. Иванов. — М.: Машиностроение, 1987. — 192 с.
11. Иванов Г.С. Нормкривая трехмерного пространства как частный случай пересечения двух квадрик [Текст] / Г.С. Иванов // Труды XXII международной научно-технической конференции «Информационные средства и технологии». — Т. 2. — М.: Изд-во МЭИ, 2014. — С. 51–56.
12. Иванов Г.С. Как обеспечить общегеометрическую подготовку студентов технических университетов [Текст] / Г.С. Иванов, В.О. Москаленко, К.А. Муравьев // Наука и образование, МГТУ им. Н.Э. Баумана. — 2012. — № 8. — URL:http://technomag.edu.ru/doc/445140.html/
13. Иванов Г.С. Инженерная геометрия — теоретическая база построения геометрических моделей [Текст] / Г.С. Иванов, В.И. Серегин // Сб. статей международной научно-практической конференции «Инновационное развитие современной науки». — Уфа: Изд-во БашГУ, 2014. — Ч. 3. — С. 339–346.
14. Конокбаев К.К. Конструирование обводов из дуг уникурсальных циркулярных кривых посредством кремоновых инволюций [Текст]: автореф. дис. … канд. техн. наук / К.К. Конокбаев. — М.: Изд-во МАИ, 1972. — С. 21.
15. Миролюбова Т.И. Геометрические модели фасонных элементов однорукавных каналовых поверхностей [Текст]: автореф. дис. … канд. техн. наук / Т.И. Миролюбова. — М.: Изд-во МАИ, 2004, — С. 23.
16. Мульдеков И.О. Решение конструктивных задач описания кривых и поверхностей на основе методов оптимизации [Текст]: автореф. дис. … канд. техн. наук / И.О. Мульдеков. — М.: Изд-во МГУПП, 1996. — С. 30.
17. Позняк Э.Г. Геометрия [Текст] / Э.Г. Позняк // Математическая энциклопедия. — Т. 1. — М., 1977. — С. 940–943.
18. Розенфельд Б.А. Неевклидовы геометрии [Текст] / Б.А. Розенфельд, И.М. Яглом // Энциклопедия элементарной математики. — Т. 5. — М., 1966. — С. 394–476.
19. Серегин В.И. Междисциплинарные связи начертательной геометрии и смежных разделов высшей математики [Текст] / В.И. Серегин, Г.С. Иванов, И.М. Дмитриева, К.А. Муравьев // Геометрия и графика. — 2013. — Т. 1. — № 3–4. — С. 8–12. — DOI: 10.12737/2124.
20. Фокс А. Вычислительная геометрия [Текст] / А. Фокс, М. Пратт. — М.: Мир, 1982. — 304 с.
21. Hudson H.P. Cremona transformation in plane and space. Cambridge, 1927. 454 p.
22. Semple J.G., Roth L. Introduction to algebraic geometry, Oxford, 1985. 480 p.
