сотрудник с 01.01.2013 по настоящее время
Академия ФСИН России (кафедр математики и информационных технологий управления, доцент)
сотрудник с 01.01.2016 по настоящее время
Рязань, Рязанская область, Россия
ГРНТИ 14.25 Общеобразовательная школа. Педагогика общеобразовательной школы
ОКСО 02.03.01 Математика
В курсе математики средней школы не предусмотрено рассмотрение отдельной темы «Теория диофантовых уравнений», но такие уравнения все чаще появляются в текстах дополнительных вступительных испытаний на технические, физико-математические и экономические специальности престижных вузов и в последней задаче тестов профильного уровня ЕГЭ по математике. Материал этот весьма разрознен и разбросан по различным публикациям, поэтому для его систематизации авторами разработан элективный курс «Решение диофантовых уравнений». В рамках этого курса была проведена классификация основных методов решения уравнений в целых числах элементарными средствами и их адаптация для старшеклассников. Каждый из рассматриваемых методов решения снабжен подробной иллюстрацией особенностей его применения и подборкой задач для самостоятельного решения.
диофантовы уравнения, теория чисел, делимость чисел, элективный курс.
В курсе математики средней школы не предусмотрено отдельной темы «Теория диофантовых уравнений», но ее изучение способствует развитию креативного мышления и формированию математической культуры обучаемого [1]. Следует отметить, что такие уравнения все чаще появляются в текстах дополнительных вступительных испытаний на технические, физико-математические и экономические специальности престижных вузов [2] и в последней задаче тестов профильного уровня ЕГЭ по математике [3]. Диофантовы уравнения (иногда их называют неопределенными) – это алгебраические уравнения с целыми коэффициентами, имеющие число неизвестных, превосходящее число уравнений, у которых требуется найти целые или рациональные решения [4]. Первые диофантовы уравнения известны со времен Диофанта и Пифагора. В XVII в. К.Г. Баше построил общую теорию их решения для уравнений первой степени, а к началу XIX в. трудами П. Ферма, Дж. Валлиса, Л. Эйлера, Ж. Лагранжа и К. Гаусса было исследовано уравнение второй степени с двумя неизвестными вида ах2+ bxy + су2 + dx
+ еу + f = 0, где а, b, с, d, е, f — целые числа. В исследованиях уравнений степени выше второй с двумя неизвестными серьезные успехи были достигнуты лишь в ХХ в. А. Туэ установил, что уравнение a0xn + a1xn–1y +... +
+ anyn = с, где a0, а1,..., an, с — целые и многочлен a0tn + a1tn–1 +...+ an неприводим в поле рациональных чисел, не может иметь бесконечного числа целых решений. А. Бейкером доказаны теоремы о границах решений некоторых таких уравнений [5]. Следует отметить, что полная теория решения диофантовых уравнений создана только для уравнений второй степени. Более того, Ю.В. Матиясевич доказал, что в принципе не существует единого алгоритма, позволяющего за конечное число шагов дать ответ на вопрос, имеет ли решения в целых числах произвольное диофантово уравнение [6]. Однако эта тема, относящаяся к сложным вопросам высшей математики, содержит и простые разделы, посильные и доступные школьникам. Материал этот интересен, но весьма разрознен и разбросан по разным публикациям, поэтому для его систематизации авторами был разработан элективный курс «Решение диофантовых уравнений». В его рамках была осуществлена классификация основных методов решения диофантовых уравнений элементарными средствами и адаптация материала для старшеклассников, увлекающихся математикой и готовящихся к сдаче профильного уровня ЕГЭ.
1. Маскина М.С. Обучение доказательству математически одаренных учащихся на факультативных курсах : дис. … канд. пед. наук:19.05.2003/ М.С. Маскина. — Саранск, 2003. — 187 с.
2. Маскина М.С., Купцов М.И. Подготовка абитуриентов к дополнительным вступительным испытаниям по математике при поступлении в Академию ФСИН России. Рязань, 2014. — 42 с.
3. Купцов М.И. Единый государственный экзамен как инструмент мониторинга состояния школьного математического образования/ М.И. Купцов, М.С. Маскина, С.А. Моисеев // Научное обозрение. Серия 2: Гуманитарные науки. — 2014. — № 4-5. — С. 132–134.
4. Бухштаб А.А. Теория чисел. — М.: Просвещение, 1960.
5. Гельфонд А.О. Решение уравнений в целых числах. — М.: Наука, 1983.
6. Хамов Г.Г. Элементы теории чисел и общей алгебры в математическом классе. Мурманск, 1995.
7. Журналы “Квант”.
8. Виноградов И.М. Основы теории чисел. — М.: Наука, 1972.
9. Маскина М.С., Моисеев С.А. О некоторых вопросах решения диофантовых уравнений // Математические методы и информационные технологии в современном обществе: материалы региональной научно-практической конференции. Рязань: Академия ФСИН, 2014. — С. 50–53.
10. Маскина М.С. О роли математики в формировании компетенций, связанных с познанием и креативностью // Стандарты и мониторинг в образовании. — 2017. — Т. 5. — № 4. — С. 47–49.
