employee from 01.01.2013 until now
Federal Penal Service of Russia (Department of Mathematics and Information Technology, Associate Professor)
employee from 01.01.2016 until now
Ryazan', Orel, Russian Federation
GRNTI 14.25 Общеобразовательная школа. Педагогика общеобразовательной школы
OKSO 02.03.01 Математика
In the course of mathematics of secondary school it is not provided the consideration of a separate topic “Theory of Diophantine equations”, but such equations are increasingly appearing in the texts of additional entrance tests for technical, physical, mathematical and economic specialties of prestigious universities and in the last task of tests of the profi le level of the exam in mathematics. This material is very scattered in various publications, so for its systematization the authors developed an elective course “The solution of Diophantine equations”. Within the framework of this course, the classification of the main methods of solving equations in integers by elementary means and their adaptation for eleventh grades was carried out. Each of the considered methods of solution is provided with a detailed illustration of the features of its application on examples and a selection of tasks for solution without help of teacher.
diophantine equations, number theory, number divisibility, elective course.
В курсе математики средней школы не предусмотрено отдельной темы «Теория диофантовых уравнений», но ее изучение способствует развитию креативного мышления и формированию математической культуры обучаемого [1]. Следует отметить, что такие уравнения все чаще появляются в текстах дополнительных вступительных испытаний на технические, физико-математические и экономические специальности престижных вузов [2] и в последней задаче тестов профильного уровня ЕГЭ по математике [3]. Диофантовы уравнения (иногда их называют неопределенными) – это алгебраические уравнения с целыми коэффициентами, имеющие число неизвестных, превосходящее число уравнений, у которых требуется найти целые или рациональные решения [4]. Первые диофантовы уравнения известны со времен Диофанта и Пифагора. В XVII в. К.Г. Баше построил общую теорию их решения для уравнений первой степени, а к началу XIX в. трудами П. Ферма, Дж. Валлиса, Л. Эйлера, Ж. Лагранжа и К. Гаусса было исследовано уравнение второй степени с двумя неизвестными вида ах2+ bxy + су2 + dx
+ еу + f = 0, где а, b, с, d, е, f — целые числа. В исследованиях уравнений степени выше второй с двумя неизвестными серьезные успехи были достигнуты лишь в ХХ в. А. Туэ установил, что уравнение a0xn + a1xn–1y +... +
+ anyn = с, где a0, а1,..., an, с — целые и многочлен a0tn + a1tn–1 +...+ an неприводим в поле рациональных чисел, не может иметь бесконечного числа целых решений. А. Бейкером доказаны теоремы о границах решений некоторых таких уравнений [5]. Следует отметить, что полная теория решения диофантовых уравнений создана только для уравнений второй степени. Более того, Ю.В. Матиясевич доказал, что в принципе не существует единого алгоритма, позволяющего за конечное число шагов дать ответ на вопрос, имеет ли решения в целых числах произвольное диофантово уравнение [6]. Однако эта тема, относящаяся к сложным вопросам высшей математики, содержит и простые разделы, посильные и доступные школьникам. Материал этот интересен, но весьма разрознен и разбросан по разным публикациям, поэтому для его систематизации авторами был разработан элективный курс «Решение диофантовых уравнений». В его рамках была осуществлена классификация основных методов решения диофантовых уравнений элементарными средствами и адаптация материала для старшеклассников, увлекающихся математикой и готовящихся к сдаче профильного уровня ЕГЭ.
1. Maskina M.S. Obuchenie dokazatelstvu matematicheski odarennyh uchashchihsya na fakultativnyh kursah. Kand. Diss [Teaching proof to mathematically gifted students in the optional courses. Cand. Diss]. Saransk, 2003.
2. Maskina M.S., Kuptsov M.I. Podgotovka abiturientov k dopolnitelnym vstupitelnym ispytanijam po matematike pri postuplenii v Akademiju FSIN Rossii [Preparation of students for additional entrance tests in mathematics for admission to the Academy of the FPS of Russia]. Ryazan, 2014. 42 p.
3. Kuptsov M.I., Maskina M.S., Moiseev S.A. Edinyy gosudarstvennyy ekzamen kak instrument mon i tor ing a sos toy aniya shkol n o go matematicheskogo obrazovaniya [The Unified state exam as a tool for monitoring the state of school mathematics education]. Nauchnoe obozrenie. Seriya 2. Humanitarniye nauki [Science review. Series 2: Humanitarian science]. 2014, I. 4-5, pp. 132–134.
4. Buhshtab A.A. Teorija chisel [Theory of numbers]. Moscow, Prosveshhenie Publ., 1960.
5. Gelfond A.O. Reshenie uravnenij v celyh chislah [The solution of equations in integers]. Moscow, Nauka Publ., 1983.
6. Hamov G.G. Jelementy teorii chisel i obshhej algebry v matematicheskom klasse [Elements of number theory and general algebra in a mathematical class]. Murmansk, 1995.
7. Zhurnaly “Kvant” [Magazines “Quantum”].
8. Vinogradov I.M. Osnovy teor ii chi sel [Fundamentals of number theory]. Moscow, Nauka Publ., 1972.
9. Maskina M.S., Moiseev S.A. O nekotoryh voprosah reshenija diofantovyh uravnenij [On some issues of solving Diophantine equations]. Matematicheskie metody i informatsionnye tekhnologii v sovremennom obshchestve: materialy regional’noy nauchno-prakticheskoy konferentsii [Mathematical methods and information technologies in modern society: materials of the regional scientific and practical conference]. Ryazan, Akademija FSIN Publ., 2014, pp. 50–53.
10. Maskina M.S. O roli matematiki v formirovanii kompetencij, svjazannyh s poznaniem i kreativnostyu [About the role of mathematics in competence formation related to cognition and creativity]. Standarty i monitoring v obrazovanii [Standards and Monitoring in Education]. 2017, V. 5, I. 4, pp. 47–49.
