employee
Dolgoprudnyy, Russian Federation
In the article, on the basis of a wide range of studies, the views of foreign and domestic scientists on the specifi cs of mathematical abilities are presented, a comparative analysis of approaches is given and their structure is described. The most important cognitive characteristics of mathematically gifted students are described: the ability to memorize mathematical information, the ability to build and use mathematical structures, the ability to reverse the direction of thought, the ability to capture complex structures and work with them, the ability to build and use mathematical analogies, mathematical sensitivity and mathematical creativity. The most frequently encountered problems of mathematically gifted students are indicated: asynchronous development, problems of socialization, as well as problems with self-learning. The main features of mathematical abilities are generalized: the ability to generalize; logical and formalized thinking; fl exibility and depth, systematic, rational and reasoned reasoning; mathematical perception and memory.
Mathematical abilities, mathematical giftedness, teaching mathematics, mathematical activity, mathematical talent.
В современном мире цифровых технологий роль математики постоянно возрастает, что инициирует необходимость усиления внимания к математически одаренным детям и актуализирует проблему исследования математических способностей. Исследованием математических способностей занимались психологи А. Бинэ [11], Э. Торндайк [8], Г. Ревеш [6] и др., математики А. Пуанкаре [5], Ж. Адамар [1], А. Колмогоров [2], В. Тихомиров [7] и др. При этом все исследователи сходятся в одном: следует различать обычные школьные способности к усвоению математических знаний, к их репродуцированию и самостоятельному применению и творческие математические способности, связанные с самостоятельным созданием оригинального и имеющего общественную ценность продукта в сфере математической деятельности. Единство взглядов проявляется и в вопросе о врожденности или приобретен ности математических способностей. По мнению большинства исследователей, творческие способности ученого-математика являются врожденными, благоприятная среда необходима только для их проявления и развития. В отношении школьных (учебных) способностей доминирует теория параллельного действия двух факторов — био логического потенциала и социальной среды. На рис. 1 представлены взгляды А. Бинэ, А. Пуанкаре, Ж. Адамара и Г. Ревеша на специфику математических способностей. Особое внимание в исследованиях посвящено вопросу о структуре математических учебных способностей. Так, А. Пуанкаре считал [5], что для математика обладать хорошей памятью и вниманием недостаточно и указывал на творческий характер математических способностей, выделяя в них такие важнейшие компоненты, как:
■ математическую интуицию;
■ умение логически выстроить цепь операций, позволяющих решить задачу;
■ способность оперировать математическими символами;
■ умение уловить порядок, в котором следует расположить элементы, необходимые для математического доказательства;
■ математическое творчество.
Ж. Адамар видел разницу между решением учеником задач по алгебре или геометрии и математическим творчеством лишь в уровне и в качестве, так как обе работы, по его мнению, носят аналогичный характер [1]. Всестороннему исследованию математических способностей, их природы и структуры посвящены труды В.А. Крутецкого, который описывал математическую одаренность как уникальную совокупность математических способностей, что открывает возможность для успешной математической деятельности [4]. Он определил способность как личный признак, что дает возможность выполнить поставленную задачу быстро и хорошо, и противопоставил это привычке или навыку, который относится к качествам или особенностям деятельности человека, ее осуществляющего. В.А. Крутецкий [3] использует термин «математический склад ума», включая в него способность к быстрому и широкому обобщению математических отношений и операций, а также гибкость психических процессов. Учитывая специфичность математической одаренности, он рассматривает ее как совокупность определенных математических способностей и личностных качеств.
1. Adamar Zh. Issledovanie psixologii processa izobreteniya v oblasti matematiki [Investigation of the psychology of the invention process in the field of mathematics]. Moscow, Sovetskoe radio Publ., 1970. 152 p.
2. Kolmogorov A.N. O razvitii matematicheskix sposobnostej (Pis`mo V.A. Kruteczkomu) [On the development of mathematical abilities (Letter to VA Krutetsky)]. Voprosy` psixologii [Questions of Psychology]. 2001, I. 3, pp. 103–106.
3. Kruteczkij V.A. Psixologiya [Psychology]. Moscow, Prosveshhenie Publ., 1980. 352 p.
4. Kruteczkij V.A. Psixologiya matematicheskix sposobnostej shkol`nikov [Psychology of mathematical abilities of schoolchildren]. Moscow, Prosveshhenie Publ., 1968. 431 p.
5. Puankare A. O nauke [About science]. Moscow, Nauka Publ., 1983. 560 p.
6. Revesh G. Rannee proyavlenie odaryonnosti i eyo uznavanie [Early manifestation of giftedness and its recognition]. Chto takoe odaryonnost` [What is giftedness]. Moscow, CheRo Publ., 2006, p. 11.
7. Tixomirov V.M. O nekotory`x problemax matematicheskogo obrazovaniya [On some problems of mathematical education]. Vserossijskaya konferenciya «Matematika i obshhestvo. Matematicheskoe obrazovanie na rubezhe vekov» (Dubna, sentyabr` 2000) [«Mathematics and society. Mathematical Education at the Turn of the Century» (Dubna, September 2000)]. Moscow, MCzNMO Publ., 2000, pp. 3–15.
8. Torndajk E`. Process ucheniya u cheloveka [The process of learning in man]. Moscow, Uchpedgiz Publ., 1935. 160 p.
9. Assmus D. Characteristics of mathematical giftedness in early primary school age (To appear in the Proceedings of ICME13). Hamburg, Germany, 2016.
10. Bicknell B. Who are the mathematically gifted? Student, parent, and teacher perspectives // Proceedings of ICME11. TG6: Activities and Programs for Gifted Students, 2008.
11. Binet A., Simon T. The Development of Intelligence in Children. Baltimore: Williams & Wilkins, 1916.
12. Diezmann C.M., Watters J.J. Characteristics of young gifted children // Educating Young Children. 2000. № 6 (2). P. 41-42.
13. Freehill M. Gifted children. New York: MacMillan, 1961.
14. Heller K., Ziegler A. Begabt sein in Deutschland. Berlin: LIT, 2007.
15. Käpnick F. Mathematisch begabte Kinder. Mo d e l l e , empi r i s c h e S t u d i e n u n d Förderungsprojekte für das Grundschulalter. Frankfurt am Main, 1998.
16. Nolte M. Mathematically gifted young children — Questions about the development of mathematical giftedness // Stöger H., Aljughaiman A., Harder B. Talent development and excellenceBerlin, London: Lit Verlag, 2012. P. 155-176.
17. Nordheimer S., Brandl M. Students with hearing impairment: Challenges facing the identification of mathematical giftedness // Krainer K., Vondrová N. CERME 9 Proceedings. Prague, Czech Republic: Charles University and ERME, 2016. P. 1032-1038.
18. Sriraman B. Are giftedness and creativity synonyms in mathematics? An analysis of constructs within the professional and school realms // Journal of Secondary Gifted Education. 2005. № 17 (1). P. 20-36.
19. Stepanak J. Meeting the needs of gifted students: Differentiating mathematics and science instruction. USA: Nor thwest Regional Educational Laboratory The differentiation toolbox KUDs, 2009. URL: http://people.virginia.edu/~mws6u/diff/index.htm.
20. Usiskin Z. The development into the mathematically talented // The Journal of Secondary Gifted Education. 2000. № 11. P. 152-162.
21. Winkler S., Brandl M. Process-based analysis of mathematically gifted pupils in a regular class at primary school // Krainer K., Vondrová N. Proceedings of the 22. Ninth Conference of the European Society for Research in Mathematics Education (CERME9, 4-8 February 2015). Prague, Czech Republic: Charles University, Faculty of Ed. and ERME, 2016. P. 1101-1102.
